实例分析

实例分析 • 某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统一的标准选择60名2型糖尿病患者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行试验。表9-1是治疗4周后的血糖下降值。检验三组受试对象血糖下降值差别有无统计学意义？

表9-2 从已知正态总体N(10,52)随机抽取10个样本（ni=20）的结果

表9-3 45次比较中5次有统计学意义的结果

方差分析Analysis of variance(ANOVA) 一个或多个处理因素，多个水平样本均数的比较

主要内容 • 方差分析基本思想 • 完全随机设计资料的方差分析 • 随机区组设计资料的方差分析 • 析因设计资料的方差分析 • 多个样本均数间的两两比较

有关方差分析的几个符号 • 离均差 • 离均差平方和SS • 方差（2 S2）；均方（MS） • 自由度：  • 关系： MS= SS/ 

一、方差分析的基本思想 就是把全部观察值间的变异——总变异按设计和需要分解成两个或多个组成部分，再作分析。变异的大小用方差来衡量，只不过将方差的分子离均差平方和及分母自由度分开，分别考虑。

分析： 该资料有三个不同的组别，称为3个处理组，目的是检验三组样本均数（）所代表的总体均数（μ1， μ2，μ3）之差异有无统计学意义。

全部资料中存在哪些变异？用什么指标反映资料的变异？全部资料中存在哪些变异？用什么指标反映资料的变异？ -------离均差平方和之均数为方差。 -------离均差平方和SS反映各类变异。

（一）变异的分解 1.总变异(total variation) 三个处理组中，各个观察值之间及各观察值与总体均数之间不完全相同，存在变异，称为总变异。 ν总=N-1

2.组间变异(variation between groups) 各处理组间的样本均数 ( ) 各不相等，与总均数也不同，它们之间的离散程度称为组间变异。

MS组间=SS组间/ ν组间 组间均方反映的是处理因素的作用，同时也包括了随机误差。

3.组内变异(variation within groups) 每一个处理组内各数据大小各不相同，此变异异称为组内变异。 ν组内=（n1-1）+ （n2-1）+ （n3-1）+….+ （nk-1） =N-k

MS组内=SS组内/ν组内 组内变异反映了观察值的随机误差，包括个体变异和随机测量误差。

4.三种变异的关系 • SS总=SS组间+SS组内 • ν总=ν组间+ν组内

分析：若各样本所代表的未知总体相同，即处理因素不起作用，那么组间变异和组内变异均由抽样误差所致，则 MS组间/MS组内≈1。

若处理因素起作用，则组间变异应较大， 那么： MS组间/MS组内将明显大于1。当F= MS组间/MS组内大于一定的界值时，可以下结论认为处理因素起作用。

此检验就是方差分析，也称F检验，检验统计量为F值服从自由度ν组间=k-1,ν组内=N-k的F分布。此检验就是方差分析，也称F检验，检验统计量为F值服从自由度ν组间=k-1,ν组内=N-k的F分布。

ANOVA 由英国统计学家R.A.Fisher创立，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验（F test）。用于推断多个总体均数有无差异。

（二）统计量F 的计算及其意义 F=MS组间/MS组内自由度： 组间= 组数 - 1 组内= N - 组数通过公式计算出统计量F，查表求出对应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率事件。

根据检验水准α，查F界值表： • 当F≥Fα(ν1, ν2) ，P≤ α,拒绝H0，接受H1，认为总体均数间有差别。 • F＜F α(ν1, ν2）, P＞ α，没有理由拒绝，还不能认为各组总体均数的差别有统计学意义。 • 注意：方差分析是单侧检验。

方差分析表 变异来源　SS ν MSFP 组间　k-1SS组间/ ν组间组内　SS总-SS组间　　N-kSS组内/ ν组内总　　　　　　　 N-1

方差分析的基本思想 将总变异分解成至少2部分比较不同变异的均方 F分布，统计学检验总自由度分解成与总变异相同数量的部分

方差分析的基本思想： 根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释，如各组均数间的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释，通过比较不同变异来源的均方，借助F分布做出统计推断，从而了解该因素对观测指标有无影响。

（三）方差分析的应用条件 • 各观察值相互独立 • 各组观察值X均服从正态分布 • 各总体方差相等（齐性）

二、完全随机设计资料的方差分析 只有1个研究因素，但该因素至少有2个以上的水平。根据随机化原则将受试对象随机分配到一个研究因素的多个水平中去，然后观察效应，比较各水平组的效应是否不同。

检验步骤： 1.建立假设，确定检验水准 H0：三个总体均数全相等，即μ1=μ2=μ3 H1：三个总体均数不全相等。 α=0.05 2.计算检验统计量 ∑X2ij=3914.33，∑Xij=411.9，C= 2827.6935

方差分析表

3.确定P值，做出推断结论。 F0.05(2,60) =3.15，F> F0.05(2,60), P<0.05。按α水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义。可认为2型糖尿病患者治疗4周，其餐后2小时血糖的总体平均水平不全相同。

三、随机区组设计资料的方差分析 例9-2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损的影响，将30只纯种新西兰实验用大白兔，按窝别相同、体重相近划分为10个区组。每个区组3只大白兔随机采用A、B、C三种处理方案，结果如表9-6所示，问A、B两种方案分别与C方案的处理效果是否不同。

（一）离均差平方和与自由度的分解 SS处理 处理 SS区组 区组 SS总 总 SS误差 误差

变异之间的关系： SS总=SS处理+ SS区组+ SS误差 总= 处理+区组+ 误差

（二）方差分析的基本步骤 1.建立检验假设，确定检验水准对于处理组： H0：三个总体均数相等， H1：三个总体均数不全相等。对于区组： H0：十个总体均数相等， H1：十个总体均数不全相等。 α=0.05

2.计算检验统计量

3.确定P值，做出推断结论。 对处理，按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，有统计学意义。可以认为A、B、C三种方案的处理效果不全相同，即三个总体均数不全相同。对区组，按α=0.05水准，不拒绝H0 ，无统计学意义。还不能认为十个区组的总体均数不全相同。

存在的问题 方差分析结果提供了各组均数间差别的总的信息，但尚未提供各组间差别的具体信息，即尚未指出哪几个组均数间的差别具有或不具有统计学意义。解决方案：多个样本均数间的两两比较。

四、多个样本均数间的两两比较 • 若要说明多个总体均数中哪些总体均数不等，需进一步作两两比较。

（一）SNK法 属多重极差检验，其检验统计量为q，故又称q检验。例9-5 对例9-1资料中治疗4周后，血糖下降值的三组均数进行两两比较。

1.建立检验假设，确定检验水准 H0：μA=μB，任两个对比组的总体均数相等 H1： μA≠μB，任两个对比组的总体均数不等 α=0.05 2.计算检验统计量：首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次。

计算统计量q的公式

表9-18 例9-1的SNK检验表

3.确定P值，做出推断结论：由表可以看出，按α=0.05水准，1与3及1与2对比组拒绝H0，接受H1，有统计学意义。2与3对比组不拒绝H0，无统计学意义。因此，可以认为血糖下降值的总体平均水平在高剂量组与对照组、高剂量组与低剂量组不同。3.确定P值，做出推断结论：由表可以看出，按α=0.05水准，1与3及1与2对比组拒绝H0，接受H1，有统计学意义。2与3对比组不拒绝H0，无统计学意义。因此，可以认为血糖下降值的总体平均水平在高剂量组与对照组、高剂量组与低剂量组不同。

（二） Dunnett法 Dunnett法检验统计量为t，故称Dunnett -t检验。适用于k-1个实验组与对照组均数的比较。例9-6 对例9-2资料，问A方案、B方案分别与C方案的总体均数是否不同？

1.建立检验假设，确定检验水准 H0：μT=μC，任一实验组与对照组的总体均数相等 H1： μT≠μC，任一实验组与对照组的总体均数不等 α=0.05 2.计算检验统计量

表9-19 例9-2的Dunnett-t检验表 3.确定P值，做出推断结论：ν误差=18，a=2(实验组数）， α=0.05，查Dunnett-t界值表， tD=2.40。按α水准，A与C、B与C拒绝H0，接受H1，有统计学意义。可以认为A方案与C方案、B方案与C方案血中白蛋白的减少量不同。

（三）Bonfferoni法 例9-7 对例9-1资料中治疗4周后，血糖下降值的三组均数进行两两比较。 1.建立检验假设，确定检验水准 H0：μA=μB，任两个对比组的总体均数相等 H1： μA≠μB，任两个对比组的总体均数不等 α′= α/m=2α/k(k-1)= 0.0167 2.计算检验统计量

计算统计量t的公式

实例分析

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