市场调查与预测

1. 市场调查与预测 周刺天 2006/05/24

2. Know your world ... 了解您的世界… … seize the future …抓住未来

3. 第十一章 时间序列市场预测法（二） ——趋势模型和季节变动模型

4. 直线趋势延伸市场预测法，是以直线模型研究市场现象趋势变动的方法直线趋势延伸市场预测法，是以直线模型研究市场现象趋势变动的方法 如若市场现象时间序列具有长期趋势变动，而且呈现直线变化规律，即直线上升趋势或直线下降趋势，就配合直线方程，用直线趋势延伸法进行预测 判断时间序列趋势变动是否直线趋势，可以用时间序列图形判断，也可以用时间序列环比增长量（一次差）判断。如果时间序列环比增长量接近于一个常数或差异不大，即可用直线趋势法 §11.1 直线趋势市场预测法 概念

5. 直线趋势延伸法的一般方程式为： 在直线趋势方程中，关键是确定参数a、b的值，建立直线预测模型，然后再应用预测模型定时间变化量t，对市场现象作出预测 直线趋势延伸法确定a、b值的常用方法有直观法和最小平方法 §11.1 直线趋势市场预测法 一般公式 直线方程参数，即 Y轴上的截距 Ŷt＝a＋bt 时间序号 直线的斜率，是单位时间变化量 第 t期的趋势值（或预测值）

6. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 EX :现有某地区社会商品零售额资料，对此进行预测。资料见表1

7. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 1.用散点图观察现象的变化规律 • 由该现象的散点图观察，现象基本上呈现直线上升趋势，可用直线趋势延伸法来预测

8. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 2.建立直线趋势预测模型——求出直线方程式中的a、b值 • 方法一，用直观法建立数学模型：根据预测者的认识，在市场现象时间序列观察值散点图中，划出一条最有代表性的直线。如某预测者将点（3，39）和点（6，50）连成一条直线，将两点代入直线方程，解方程组确定a、b的值。其方程组应为： 39＝a＋3b 50＝a＋6b 解方程得：a ＝28，b＝3.667 则直线趋势预测模型为：ŶA＝28＋3.667t 根据此方程预测后两年的社会商品零售额为： Ŷ12＝28＋3.667 × 12＝72.004（亿元） Ŷ13＝28＋3.667×13＝75.671（亿元） Ŷ14＝28＋3.667×14＝79.338（亿元）

9. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 2. 建立直线趋势预测模型——求出直线方程式中的a、b值 • 直观法比较简单，也比较节省。但穿过实际观察值点或不穿过散点，都可以划出很多条直线，以哪条直线作为预测模型，是由预测者的主管判断而定 • 若另一位预测者选定（4，43）和（7，53）两点，连成一条直线，则得到另一个不同的预测模型： ŶB＝29.668＋3.333t 根据此方程预测后两年的社会商品零售额为： Ŷ12＝29.668 ＋3. 333 × 12＝69.664（亿元） Ŷ13＝29.668 ＋3. 333×13＝72.997（亿元） • 在实际应用时选择哪些模型，必须通过计算预测误差，并对预测误差加以比较，选择误差较小的直线方程作为预测模型（见表2）

10. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 直线YA的平均绝对误差 MAE＝5.346/11＝0.486（亿元） 直线YB的平均绝对误差 MAE＝12.344/11＝1.122（亿元） 因此，可采纳直线YA作为预测模型：即ŶA＝28＋3.667t

11. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 2. 建立直线趋势预测模型——求出直线方程式中的a、b值 • 方法二，用最小平方法建立数学模型：最小平方法，也称最小二乘法，它是一种对市场现象时间序列配合数字方程式，建立市场预测模型，用来确定方程中参数a、b值的方法 • 最小平方法的基本思想： • 如果对市场现象时间序列配合的趋势线满足两点： • 时间序列实际观察值Yt与趋势线各值Ŷt（在预测期内则称为预测值）的离差平方之和为最小，即∑(Yt－ Ŷt)2最小 • 时间序列实际观察值Yt与趋势线各值Ŷt离差之和为零，即 ∑(Yt－ Ŷt)＝0 • 则该直线是最理想的，是对市场现象实际观察值代表性最高的直线

12. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 2. 建立直线趋势预测模型——求出直线方程式中的a、b值 • 求解a、b值的两个标准方程式： ∑Yt＝na＋b∑t ∑tYt＝a∑t＋b∑t2 • a、b值的解得公式： a＝Y－bt b＝ 实际观察值 观察期序号 1 ∑tYt－ ∑t∑Yt n 1 ∑t2－ (∑t)2 n

13. t t §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 EX :对某地区社会商品零售额用最小平方法求直线方程参数，建立预测模型进行预测，其计算见表3

14. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 • 将表3中的有关数据代入求解a、b的标准方程： 546＝11a＋66b 3691＝66a＋506b • 若直接代入解得方程求a、b，则 b＝(3691－66×546/11) / (506－662/11)＝3.773 a＝546/11－3.773×66/11＝26.998 • 直线Yc的平均绝对误差 MAE＝4.818/11＝0.438（亿元），相比Ya和Yb为最小 a＝26.998 b＝3.773 计算结果一样 Ŷc＝26.998＋3.773t Ŷ1＝26.998＋3.773×1＝30.771（亿元） Ŷ2＝26.998＋3.773×2＝34.544（亿元） … … Ŷ11＝26.998＋3.773×11＝68.501（亿元）

15. ∑t＝0 §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 • 直线趋势模型的简化法 • 根据表4中的有关数据，用简化法计算预测模型中的参数a、b值： a＝Y＝(∑Yt) / n＝546/11＝49.636 b＝∑tYt / ∑t2＝415/110＝3.773 Ŷt＝49.636＋3.773t Ŷ1＝49.636＋3.773×(－5)＝30.771（亿元） … … Ŷ6＝49.636＋3.773×0＝49.636（亿元） … … Ŷ11＝49.636＋3.773×5＝68.501（亿元） Ŷ12＝49.636＋3.773×6＝72.274（亿元） 其预测期为12的预测值为

16. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例

17. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 3. 对预测模型进行误差检验 • 在上例测算中，我们已经知道，应用最小平方法建立的模型，其误差最小

18. §11.1 直线趋势市场预测法 应用示例 4.进行预测 Ŷ13＝26.998＋3.773 × 13＝76.047（亿元） 或 Ŷ13＝49.636＋3.773×7＝76.047（亿元）

19. 直线趋势只是曲线趋势中的一种特殊表现 对于非线性趋势变化的市场现象，必须配合各种曲线预测模型对其进行预测 曲线的具体形式有很多，最常见的几种曲线趋势预测模型为： 二次曲线趋势市场预测模型 三次曲线趋势市场预测模型 指数曲线市场预测模型 龚伯兹曲线市场预测模型 §11.2 非线性趋势市场预测法

20. 观察时间序列变动规律的方法有两种： 图形观察法 计算阶差判断法——通过计算市场现象时间序列实际观察值的环比增减量（也称阶差），来判断现象变动的规律 §11.2 非线性趋势市场预测法 一次差接近一个常数 直线趋势模型 二次差接近一个常数 二次曲线模型 三次差接近一个常数 三次曲线模型 一次比率接近一个常数 指数曲线模型

21. 一般形式为： §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 二次曲线参数 Ŷt＝a＋bt＋ct2 第 t期的趋势值（或预测值） 时间序列各观察期序号

22. 求解二次曲线方程参数的标准方程 求参数的标准方程可简化为： §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 ∑Y＝na＋b∑t＋c∑t 2 ∑tY＝a∑t＋b∑t2＋c∑t 3 ∑t2Y＝a∑t2＋b∑t3＋c∑t 4 ∑t＝0 ∑t3=0 ∑Y＝na＋c∑t2 ∑tY＝b∑t2 ∑t2Y＝ a∑t2＋c∑t4

23. §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 EX :现有某种商品11年生产量的资料，将其编制成时间序列，并用阶差法判断是否可用二次曲线模型进行预测。阶差计算见表5 二次差的值在±10之间，相对实际观察值来说不大

24. §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 1.用图形或阶差法判断模型形式 • 观察表5中二次差的计算结果，其二次差的值在±10之间，即二次差的变动相对实际观察值来说不大，可将它看作接近于一个常数，因此，可决定建立二次曲线模型进行预测

25. §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 2.计算二次曲线参数，建立趋势模型 • 为使二次曲线模型中对参数a、b、c的计算简化，即令∑t=0， ∑t3=0，见表6。 • 根据表中有关数据，求参数a、b、c： 3835＝11a＋110b 3510＝110b 38920＝110a＋1958c a＝341.99 b＝31.91 c＝0.66 Ŷt＝341.99＋31.9t＋31.9t2

26. §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 2.计算二次曲线参数，建立趋势模型

27. §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 3.对趋势模型进行误差检验 • 根据此预测模型计算： Ŷ1＝341.99＋31.9 × (－5 ) ＋0.66 × (－5)2＝198.94(万台 ) … … Ŷ6＝341.99＋31.9 × 0 ＋0.66 × 02＝341.99(万台 ) … … Ŷ11＝341.99＋31.9 × 5 ＋0.66 × 52＝518.04(万台 ) … … • 对预测模型测算预测误差： MAE= ＝22.59/11＝2.054 (万台 ) • 误差很小，模型可用 ∑|Yt- Ŷt| n

28. §11.2 非线性趋势市场预测法 1. 二次曲线趋势市场预测模型 4.利用趋势模型进行预测 • 对商品生产量后两年预测为： Ŷ12＝341.99＋31.9 × 6＋0.66 × 62＝557.21(万台 ) Ŷ13＝341.99＋31.9 × 7＋0.66 × 72＝597.70(万台 )

29. 三次曲线预测模型的公式为： §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 三次曲线参数 Ŷt＝a＋bt＋ct2 ＋dt3 时间序列各观察期序号 第 t期的趋势值（或预测值）

30. 求解三次曲线方程参数的标准方程 求参数的标准方程可简化为： §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 ∑Y＝na＋b∑t＋c∑t 2＋d∑t 3 ∑tY＝a∑t＋b∑t2＋c∑t 3＋d∑t 4 ∑t2Y＝a∑t2＋b∑t3＋c∑t 4＋d∑t 5 ∑t3Y＝a∑t3＋b∑t4＋c∑t 5＋d∑t 6 ∑t＝0 ∑t3＝0 ∑t5=0 ∑Y＝na＋c∑t2 ∑tY＝b∑t2＋d∑t4 ∑t2Y＝ a∑t2＋c∑t4 ∑t3Y＝ b∑t4＋d∑t6

31. §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 EX:现有某地区某类商品销售额11年的资料，将其编制为时间序列，并计算时间序列的三次差，看是否适合用三次曲线预测模型。三次差计算见表7。 三次差的值在±2之间，变动幅度较小

32. §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 1.计算三次曲线参数，建立趋势模型 • 为使三次曲线模型中对参数a、b、c 、d的计算简化，即令∑t=0， 则∑t3=0，∑t5=0，见表8。 • 根据表中有关数据，求参数a、b、c 、d ： 873＝11a＋110c 1452＝110b＋1958d 9464＝110a＋1958c 25206＝1958b＋41030d a＝70.81 b＝15.04 c＝0.86 d＝－0.10 Ŷt＝70.81＋15.04t＋0.86t2－0.1t3

33. §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 1. 建立三次曲线模型

34. §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 2.对三次曲线趋势模型进行误差检验 • 根据预测模型计算的各观察期趋势值为： Ŷ1＝70.81＋15.04 × (－5 ) ＋0.86 × (－5)2 －0.1 × (－5)3＝29.61 (万元 ) … … Ŷ6＝70.81＋15.04 × 0 ＋0.86 × 02 －0.1 × 03＝70.81 (万元) … … Ŷ11＝70.81＋15.04 × 5 ＋0.86 × 52 －0.1 × 53＝155.01 (万元) • 对该预测模型的预测误差进行测算（见表9），根据表中的有关数据，计算三次曲线预测模型的平均绝对误差： MAE= ＝7.69/11＝0.699 (万元) • 误差很小，模型可用 ∑|Yt- Ŷt| n

35. §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 2.对三次曲线趋势模型进行误差检验

36. §11.2 非线性趋势市场预测法 2. 三次曲线趋势市场预测模型 3.利用曲线模型进行预测 • 利用预测模型对后两年销售额进行预测： Ŷ12＝70.81＋15.04 × 6 ＋0.86 × 62－0.1 × 63＝170.41(万元 ) Ŷ13＝70.81＋15.04 × 7 ＋0.86 × 72－0.1 × 73＝183.93(万元 )

37. 指数曲线市场预测模型的公式为： §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 在市场序列的一次比率值（环比发展速度）基本一致的情况下使用 Ŷt＝aeat 或 Ŷt＝abt lgŶt＝lga＋tlgb 两边取对数 化为直线模型后，可以利用最小平方法求解参数的标准方程 令：Yt´＝lgYt A ＝lga Yt´＝ A＋Bt B ＝lgb ∑t＝0

38. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 EX :现有我国某几年农副产品收购额资料，将其编制为时间序列，并对时间序列用一次比率进行观察，同时页计算其三次差以便比较：计算见表10 都比较接近，可分别用指数曲线预测模型和三次曲线模型

39. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 1.计算模型参数建立曲线模型——指数曲线模型 • 根据表11中的数据，计算得： A＝∑Ŷt´/n＝32.7111/11＝2.9737 B＝∑tŶt´/∑t2＝7.001/110＝0.0636 • 根据指数模型： Ŷ1＝lg－1 [ 2.9737＋0.0636×(－5) ]＝ 453.6 (亿元) …… Ŷ6＝lg－1( 2.9737＋0.0636×0 )＝ 941.2 (亿元) …… Ŷ11＝lg－1 (2.9737＋0.0636×5 )＝ 1958.0 (亿元) Ŷt´＝2.9737＋0.0636t Ŷt＝lg－1(2.9737＋0.0636t)

40. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 1.计算模型参数建立曲线模型——指数曲线模型

41. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 1. 计算模型参数建立曲线模型——三次曲线模型 • 根据表12中有关数据，求参数a、b、c 、d ： 11491.1＝11a＋110c 16332＝110b＋1958d 124109.3＝110a＋1958c 294359.3＝1958b＋41030d a＝859.6 b＝138 c＝18.5 d＝0.59 Ŷt＝859.6＋138t＋18.5t2 ＋0.59t3 Ŷ1＝859.6＋138×(－5) ＋18.5×(－5)2＋0.59×(－5)3＝558.35 (亿元) …… Ŷ6＝859.6＋138×0 ＋18.5×02＋0.59×03＝859.6 (亿元) …… Ŷ11＝859.6＋138×5 ＋18.5×52＋0.59×53＝2085.85 (亿元)

42. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型

43. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 2.对曲线模型进行误差检验和比较 • 对于所建立的指数曲线模型和三次曲线模型，必须通过对其预测误差的比较，才能决定在预测中用哪一种更合适。 • 据表11计算指数曲线预测模型的预测误差为： • 据表12计算三次曲线预测模型的预测误差为： • 采用指数曲线模型进行预测 √ Yt- Ŷt ∑| | Yt MAPE＝ ＝0.289/11＝0.0263（2.63％） n Yt- Ŷt ∑| | Yt MAPE＝ ＝0.907/11＝0.0825（8.25％） n

44. §11.2 非线性趋势市场预测法 3. 指数曲线趋势市场预测模型 3.进行预测 • 采用指数曲线模型进行预测，其后两年的预测值为： Ŷ12＝lg－1（2.9737＋0.0636 × 6）＝lg－13.3553＝2266(亿元 ) Ŷ13＝lg－1（2.9737＋0.0636 × 7）＝lg－13.4189＝2623(亿元 )

45. 生长曲线法：两种生长曲线的比较 在实际的信息分析中，常会遇到这种情况：时间序列数据散点图目测可用生长曲线来描述，但是用Logistic曲线还是用Gompertz曲线，则需要做进一步分析。我们不能单纯依靠不一致系数的大小来确定采用何种模型，这是因为不一致系数只是反映了拟合已有时间序列数据点的效果，而不能很好反映预测效果。两种曲线具有不同的动态特性，我们应该对研究对象的动态特性作深入分析，以确定选用何种模型 Logistic曲线和Gompertz曲线虽都属于生长曲线，但却具有不同的动态特性。当研究对象的发展只和已生长（已代换）量（率）有关时，则选用Gompertz曲线；当研究对象的发展受已生长（已代换）量和待生长（待代换）量的双重影响时，则选用Logistic曲线。 §11.2 非线性趋势市场预测法 4. 龚伯兹曲线市场预测模型

46. Gompertz曲线市场预测法，又叫生长曲线法 Gompertz曲线是由英国统计学家和数学家B.Gompertz于1825年提出的，用下式表示： 可知Gompertz曲线是双层指数函数。对于模型参数的不同取值，Gompertz曲线有四种不同的类型。其中满足条件K>0,0<a<1，0<b<1的Gompertz曲线适用于某些技术、经济、社会现象发展过程的模拟。 §11.2 非线性趋势市场预测法 4. 龚伯兹曲线市场预测模型 由式（1－2）可知，如果K>0,0<a<1，0<b<1 则当t→∞ 时，y → K ； 当t→-∞ 时，y → 0 。

47. Gompertz曲线预测模型为： Yt＝kabt 对数形式为： lgYt＝lgk＋btlga 求解参数k、a、b的公式为： ∑3lgY－ ∑2lgY bn＝ ∑2lgY－ ∑1lgY §11.2 非线性趋势市场预测法 4. 龚伯兹曲线市场预测模型 n：观察期期数的1/3 ∑1lgY：观察期第一个1/3期数观察值的对数之和 ∑2lgY：观察期第二个1/3期数观察值的对数之和 ∑3lgY：观察期第三个1/3期数观察值的对数之和 n b＝ bn b－1 lga＝(∑2lgY－ ∑1lgY) (bn－1) 2 bn－1 1 lgk＝ [∑1lgY－ (lga) ] n b－1

48. §11.2 非线性趋势市场预测法 4. 龚伯兹曲线市场预测模型 EX:现有某种产品9年的销售量资料，对其进行增长速度变化的观察分析，见表13

49. §11.2 非线性趋势市场预测法 4. 龚伯兹曲线市场预测模型 1. 建立预测模型 • 根据表14中的有关数据，计算得： n＝9/3＝3 b3＝ ＝ ＝0.2886 b＝0.6608 lga＝（3.6376－3.2288） ＝－0.2739 lgk＝[ 3.2288－ × （－0.2739） ] / 3＝1.2677 3.7556－3.6376 0.118 3.6376－3.2288 0.4088 0.6608－1 (0.2886－1)2 0.2886－1 0.6608－1 lgŶt＝1.2677＋(－0.2739)(0.6608)t k＝anti lg1.2677＝18.52 ( 万件 )（本产品销售量上限）

50. §11.2 非线性趋势市场预测法 4. 龚伯兹曲线市场预测模型 1. 建立预测模型 • 根据预测模型得到趋势值为： lgŶ1＝1.2677＋(－0.2739)(0.6608)1 ＝1.0867 ( 万件 ) …… lgŶ5＝1.2677＋(－0.2739)(0.6608)5 ＝1.2332 ( 万件 ) …… lgŶ9＝1.2677＋(－0.2739)(0.6608)9 ＝1.2611 ( 万件 ) Ŷ1 ＝anti lg1.0867＝12.21 ( 万件 ) …… Ŷ5 ＝anti lg1.2332＝17.11 ( 万件 ) …… Ŷ9 ＝anti lg1.2611＝18.24 ( 万件 )