Автор-создатель: Соловьева О.И., учитель математики лицея №12, г. Лениногорска РТ

1. Теорема Пифагора или путешествие на остров Самос Причина популярности теоремы Пифагора триедина - это красота, простота и значимость! Автор-создатель: Соловьева О.И., учитель математики лицея №12, г. Лениногорска РТ

2. Бухта знаний Бухта заданий Бухта любозна-тельных Пифагор и его учение Бухта треуголь-ников Бухта афоризмов

3. Проверь результат S2 b b a a Заполни и сделай вывод! с S1 с S

4. S2 b b a S = S1 + S2 25 = 32 + 42 с2 = a2 + b2 a с S1 с S Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах

5. а b Обрати внимание! b с S = ab/2 S = 4ab/2 + c2или S = 2ab + c2 S =(a + b)2 (a + b)2 = 2ab + c2 c2 = a2 + b2 с а с а с b b а Доказательство теоремы Пифагора

6. Ресурс ЕКЦОР «Три формулировки теоремы Пифагора» (№185378).

7. Это надо знать! c2 = a2 + b2 a2 = c2 - b2 b2 = c2 - a2

9. Пифагор родился в 580 г. до н. э. на острове Самос. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд. Пифагор – один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк. В молодости он много путешествовал, собирая по крупицам знания древнейших народов по математике, астрономии, технике. Вернувшись на родину, на остров Самос, он собирает вокруг себя юношей и ведёт с ними беседы. Так образовался “ пифагорейский союз”. Предание гласит, что когда Пифагор пришёл к теореме, носящей его имя, он принёс богам 100 быков. Ресурс ЕКЦОР: «Репродукции старинных трактов с доказательствами теоремы Пифагора» (№185287).

10. Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов: Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами), то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов. Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки. Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида. Согласно комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор (569—475 гг. до н. э.), использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек.

11. Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев был пентаграмм, называемый также пифагорейской звездой. Эту фигуру можно получить, если продолжить стороны правильного пятиугольника до их взаимного пересечения. Пифагорейцы пользовались этой фигурой, вычерчивая ее на песке, чтобы приветствовать и узнавать друг друга. Фигура эта в самом деле необычайно интересна: она обладает свойствами, выделяющими ее среди других звезд. Сумма углов пентаграмма, как мы увидим ниже, равняется двум прямым углам и, следовательно, напоминает нам треугольник, сумма углов которого тоже равняется 180 градусам.

12. уровень А уровень В уровень С Выбери уровень сложности задач и реши их, составляя афоризмы Пифагора

13. 5 – не гоняйся за счастьем 6 – не бегай за счастьем Найди гипотенузу! 3 4

14. 4 - оно присутствует 6 – оно всегда находится В С Вычислите сторону АВ 10 8 Д А

15. 6,5 – в тебе самом 13 – около тебя В С Вычислите длину ВО. О 5 А Д 12

16. 5 – либо молчи 6 – хочешь молчи В АС = 8 АВ = ВС ВД - высота. Найдите сторону АВ. 3 С А Д

17. 16 – либо говори то 32 – или говори о том В С СО = 10 СД = 12 Вычислите сторону ВС. О 10 12 Д А

18. В 20 – что интересно всем 40 – что ценнее молчания АВСД - ромб ВД = 16 АС = 12. Вычислите периметр ромба. О С А Д

19. Нет - числа Да - формулы В Является ли треугольник прямоугольным? 18 21 С А 30

20. 40 - управляют 30 – правят В С К АД = 13 КД = 12 АВ = 2. Найдите площадь фигуры АВСД. А Д

21. 4 12 - всем 12√3 - миром В С Найдите площадь трапеции, если ВС = 4, АД = 8. 600 Д А К 8

22. Молодец, ты справился с заданием! Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом (вариант - А) Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания (вариант-В) Числа управляют миром (вариант - С) афоризмы Другие изречения Пифагора Научись жить просто и без роскоши. Не пренебрегай здоровьем своего тела. Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не принудит раскаиваться. Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день запомни

23. Вернись назад Тебе не повезло! Попробуй еще раз!

24. Простейшее доказательство Получается в простейшем случае равнобедренного треугольника. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников. Для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, -по два. Древнекитайское доказательство В этом трактате теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3,4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большом катете-16.Ясно что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

25. Доказательство 9 века н.э. Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов. На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

26. Доказательство через равносоставленность Элегантное доказательство при помощи перестановки Если утверждение теоремы гласит о равенстве площади фигур, то наивно это можно интерпретировать как факт равносоставлености данных фигур. В нашем случае это означает, что, правильно разрезав квадраты, построенные на катетах, получившимися кусочками можно замостить квадрат, построенный на гипотенузе. В этом состоит идея доказательств методом перестановки. Существует большое число таких доказательств, соответственно числу возможных разбиений квадратов. Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах. Обрати внимание! Элегантное доказательство при помощи перестановки

27. Доказательство Евклида Обрати внимание! Идея доказательства Евклида состоит в следующем: половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Следовательно, площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Докажем равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK,AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

28. Доказательство Леонардо да Винчи Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии легко, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треуголники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

29. Пифагоровы числа Пифагорово число (пифагорова тройка) — комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2 Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа. Пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности x2 + y2 = 1. Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41)…

30. Пифагоровы треугольники Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются пифагоровыми числами, называются пифагоровыми. с b а Египетский треугольник. b = (a2 - 1)/2. c = (a2 - 1)/2. Свойства: 1. один из "катетов" должен быть кратным трем; 2. один из "катетов" должен быть кратным четырем; 3. одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти; 5 4 3

31. Пифагоровы штаны Пифаго́ровы штаны́ (школьн., устар.) — шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение: «Пифагоровы штаны — на все стороны равны».

32. Выберите формулы, которые отражают смысл теоремы Пифагора, где а и в – катеты, с – гипотенуза.

33. Попробуй реши! Задача Древней Индии Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Более цветка над водой. Нашел же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: "Как озера вода здесь глубока?" Задача Парус имеет вид четырехугольника АВСД, углы А,В,С,Д равны 450. Найдите площадь паруса, если ВД = 4 м. А В Д С