Взаємне розміщення прямих у просторі. Паралельність прямої і площини

1. Взаємне розміщення прямих у просторі. Паралельність прямої і площини Підготувала вчитель математики, директор Великоканівецького навчально-виховного комплексу “Дошкільний навчальний заклад – загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів” Литвиненко Тетяна Григорівна

2. Прямі а і в Взаємне розміщення прямих у просторі лежать в одній площині не лежать в одній площині перетинаються паралельні мимобіжні в а в а а в а ∩ в а ‖ в а · в

3. Міркуємо разом Чи правильно, що: • дві прямі, що не є паралельними, мають спільну точку; • дві прямі, що не є мимобіжними, лежать в одній площині; • дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні; • дві паралельні прямі лежать в одній площині? Не завжди Так Не завжди Так

4. D1 С1 АВСDА1В1С1D1-куб. З᾽ясуйте взаємне розміщення прямих: • СD і В1D ; • АВ і С1D1 ; • АС і DD1 ; • А1D і В1С ; • А1С і АС1. А1 В1 D С А В Мимобіжні Перетинаються Паралельні

5. Кут між мимобіжними прямими b1 Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються. b M a1 B а α

6. Через точку простору, що не лежить на прямій, • можна провести пряму, паралельну даній, • i тільки одну. Властивості паралельних прямих а b A 2. Усі паралельні прямі, що перетинають задану пряму, лежать з нею в одній площині. a d b c α

7. Міркуємо разом В С A АА1‖ВВ1‖СС1. Чи належать ці прямі одній площині? Як треба змінити рисунок, якщо додати до умов задачі існування прямої l, яка перетинає всі задані прямі? В1 Ні A1 С1

8. l A B C A1 B1 C1 a

9. Міркуємо разом Назвіть ребро паралелепіпеда, яке паралельне даному ребру і не лежить з ним в одній грані: D1 C1 А1 1) AA1; a) DD1; B1 2)BB1; b) D1C1; 3) АB; c) CC1; 4) BC; d) А1B1; D С e) А1D1; А В

10. Міркуємо разом Скільки ребер куба АВСDА1В1С1D1 проходить через дану його вершину паралельно заданому ребру: 1) А і В1С1; 2) D і ВВ1; 3) С1 і АА1. Відповідь обгрунтуйте. D1 C1 1 А1 B1 D С А В

11. Міркуємо разом D1 С1 А1 В1 Яким прямим паралельні сторони перерізу прямокутного паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1 , якщо його перерізом є прямокутник із сторонами: 1) AB i AD1; 2) B1C1 i C1D; 3) BD i BB1. D С А В

12. D1 С1 С1 А1 D1 В1 А1 В1 С D D1 С1 D С В А А1 В1 В А D С А В

13. Ознака паралельності прямих у просторі ⇒а‖в а Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. а‖с в‖с с в

14. Ознака мимобіжних прямих в Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то такі прямі мимобіжні. а і в -мимобіжні а А α

15. Міркуємо разом S Бічними гранями піраміди є трикутники. МN - середня лінія трикутника SАВ, тому МN‖АВ. АВ‖СD, оскільки основа даної піраміди – квадрат АВСD. Отже, за ознакою паралельності прямих, МN ‖СD. M N МN– середня лінія бічної грані SABправильної чотирикутної піраміди SABCD. Доведіть, щоMN ‖CD. D C А В

16. Поміркуємо разом D N K Якщо точки А,В,С і D - вершини просторового чотирикутника, то середини відрізків АВ, ВС, СD і АD є вершинами паралелограма. Доведіть дане твердження. C А P M B

17. Перевіримо свої знання α а 1. Площини α і β перетинаються. Отже, прямі а і в, зображені на малюнку А - мимобіжні; Б – перетинаються; В - паралельні; Г - можуть бути розміщені по-різному залежно від розміщення площин. в β

18. 2. Два прямокутники АВСD і АEFD лежать у різних площинах. Прямі ВС і EF … А - мимобіжні; Б – перетинаються; В – паралельні; Г - можуть бути розміщені по-різному залежно від розміщення площин. 3.Діагоналі протилежних граней АА1В1В і DD1С1С куба АВСDА1В1С1D1… А - мимобіжні; Б – паралельні; В – паралельнічи мимобіжні; Г - перетинаються.

19. Пряма і площина Взаємне розміщення прямої і площини у просторі Мають не менше ніж одну спільну точку Не мають спільних точок - паралельні Мають більше однієї спільної точки – пряма лежить у площині Мають тільки одну спільну точку – пряма перетинає площину а а α В α а В А α

20. Ознака паралельності прямої і площини Якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині. а β М b α

21. Поміркуємо разом Чи правильно, що коли одна з двох паралельних прямих паралельна деякій площині, то і друга пряма паралельна цій площині? Чи паралельні між собою прямі, які паралельні одній площині?

22. Властивості прямої, що паралельна площині β а 1. Якщо площина проходить через пряму, яка паралельна другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину паралельна даній прямій. в α

23. β а 2. Якщо через кожну із двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються, то їх лінія перетину паралельна кожній із даних прямих. в α

24. 3. Якщо пряма паралельна кожній із двох площин, що перетинаються, то вона паралельна лінії їх перетину. β α с а

25. Поміркуємо разом Чи може пряма, що паралельна деякій площині, перетинати хоча б одну, що лежить у цій площині? 2. Чи правильно, що середня лінія трапеції паралельна довільній площині, яка проходить через основу цієї трапеції?

26. 3. Задано дві площини, що перетинаються, і точку на одній із них. Чи можна через цю точку провести пряму, яка не перетинає жодної із заданих прямих? 4. Чи правильно, що пряма, яка паралельна прямій перетину двох площин, паралельна хоча б одній із них?

27. 5. Площина проходить через одну з мимобіжних прямих. Як вона може бути розміщена відносно другої прямої? 6. Чи будуть дві прямі мимобіжними, якщо одна з них паралельна деякій площині, а інша перетинає цю площину? 7. Як розміщені прямі а і в, якщо через пряму в можна провести дві площини, паралельні прямій а?

28. 8. Чи можна через одну з мимобіжних прямих провести площину, паралельну іншій прямій? 9. Чи може пряма перетинати рівно три грані куба? 10. Як розміщені прямі а і в, якщо вони паралельні одній площині? 11. Пряма а паралельна деякій площині. Чи правильно, що пряма в, яка паралельна прямій а, також паралельна цій площині?

29. Використана література: 1. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А., Геометрія 10 (академічний рівень), Київ “Зодіак-Еко”, 2010р. 2. Бабенко С.П. Усі уроки геометрії 10 клас (академічний рівень), Харків, “Основа”, 2010р.

30. Дякую за увагу!