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第三章. 反矩陣與矩陣的基本列運算. 3-1 反矩陣. 設 A 為一個 n 階方陣，若存在另一個 n 階方陣 B 使得 AB = BA = I n ，則稱 B 為 A 之逆矩陣或反矩陣（ inverse matrix ）。通常以 A - 1 表示 A 的反矩陣，此時， A 稱為可逆矩陣（ invertible matrix ）或非奇異矩陣（ nonsingular matrix ）。若 A 的反矩陣不存在，則稱 A 為不可逆矩陣（ noninvertible matrix ）或奇異矩陣（ sin- gular matrix ）。.
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第三章 反矩陣與矩陣的基本列運算
3-1 反矩陣 設 A 為一個 n 階方陣，若存在另一個 n 階方陣 B 使得 AB = BA = In，則稱 B為 A 之逆矩陣或反矩陣（inverse matrix）。通常以 A-1表示 A 的反矩陣，此時，A 稱為可逆矩陣（invertible matrix）或非奇異矩陣（nonsingular matrix）。若 A 的反矩陣不存在，則稱 A 為不可逆矩陣（noninvertible matrix）或奇異矩陣（sin- gular matrix）。
二階方陣的反矩陣公式 令 只要D = adbc 0，則A1存在且
逆矩陣的唯一性 若 A 為可逆矩陣，則其逆矩陣是唯一的。即若 B 和 C 均為 n 階方陣 A 之逆矩 陣，則 B = C。
逆矩陣之性質 • 若 A 為可逆矩陣，則 A-1亦為可逆矩陣且(A-1) -1= A。 • 若 A 為可逆矩陣，k ≠ 0，則 kA 亦為可逆矩陣，且 • 若 A 與 B 均為 n 階可逆矩陣，則 AB亦為可逆矩陣且 (AB)-1 = B-1A-1。 • 若A1, A2 , …, Ak 均為 n 階可逆矩陣，則 A1A2…Ak 亦為可逆矩陣，且(A1A2…Ak)-1= Ak-1…A2-1A1-1 。 • (AT)-1 = (A-1)T • A-k= (Ak)-1 = (A-1)k
3-2 矩陣的列運算 • 簡化列梯形矩陣滿足下列三條件之矩陣稱之。 (1)任何一列的第一個不為零元素必須是 1，而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。 (2)每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。 (3)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。
對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算。對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算。 (1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 Rr Rs表之)。 (2)將矩陣中的第 r列乘以一不為零的實數 c(以符號 cRr 表之)。 (3)將矩陣中的第 r列乘以一不為零的實數 c後，再加到第 s 列上(以符號 cRr + Rs 表之)。 若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A和 B為列同義。可寫成 A ~ B。
若 A為 m n矩陣，矩陣 C 為 A經過一連串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C中基本行的個數，稱為矩陣 A的秩(rank)，以 r (A)表示。
若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。(此為判斷A矩陣是否可逆的方法之一) 矩陣 A 與 A1應滿足關係式[AIn] ~ [InA1]因此，我們若能利用基本列運算將矩陣 [AIn] 轉換成 [In K] 的型式，則 K必為 A 的反矩陣。(此為求出A1的方法之一) 矩陣列運算的應用 1.求反矩陣 2.解線性方程組
