第１３回授業 (1/8) の学習目標

1. 第１３回授業 (1/8)の学習目標 • 第５章平均値の差の検定の復習を行う。 • 平均値の差の検定の実習をおこなう。

2. 平均値の差の検定の目的 • 心理学では、検査や実験により得られた得点に、あらかじめ設定した２つの条件間で差が見られるかどうかを検討することがよくある。 • 例えば、ミラーリエル錯視実験の30度３０mm条件と30度４５mm 条件の２条件間の錯視量に差がみられるであろうか。 • あるいは、30度３０mmの条件での錯視量に、男女差は見られるのであろうか。

3. 平均値の差の検定のデータの一般形 • 例えば、ミラーリエル錯視のある条件下での男子と女子の錯視量がそれぞれ Nx 人、Ny 人づつ無作為に得られたとすると、２群の標本は、一般的には、それぞれつぎのように書ける：

4. 平均値の差の検定のデータの具体例 • 例えば、２群の標本の値が、それぞれ１０名づづで、つぎのようであったとする： 　　第１群（男子） 　　　　１０、９６、２６、１２、９７、１８、９６、５７、１５、５４ 　　第２群（女子） 　　　　１０、７６、６１、１５、４０、１７、１４、０３、１４、５５

5. 平均値の差の検定の大枠 • 平均値の差の検定の一連の手順はつぎのとおり： 　　（１）最初に、両群の分散の等質性の検定を行う。 　　（２）その結果、両群の分散が等しいと見なさ れる場 　　　　合は、(5.9) 式の t の値による平均値の差の検定 　　　　を行う。 　　（３）もし、両群の分散が等しいとみなせない場合は、 (5.10) 式の t’ の値による平均値の差の検定を行 　　　　う。

6. 平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　分散の等質性の検定ー１平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　分散の等質性の検定ー１ • 平均値の差の検定に先立つ、分散の等質性の検定を 　行うには、テキスト p.２６の上部にあるように、 　　（１）２組の標本の平均を、それぞれ求める。 　　（２）２組の標本の分散を、それぞれ求める。 　　（３）一般には(５.４) 式により F-値を計算する。 　　（４）サンプル数が共に２０の場合は、テキスト p.２４の 　　　　下方の、F-検定の危険率に対応する棄却点の値 　　　　と上の F-値を比較する。

7. 両群のデータの平均の計算 • 第１群(男子）のデータの平均 • 第２群（女子）のデータの平均

8. 両群のデータの分散の計算 • 第１群(男子）のデータの分散 • 第２群（女子）のデータの分散

9. 平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー２平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー２ • ただし、実際のF-統計量の計算には、数表を用いる場合、通常の F-分布表の特徴から、(5.4) 式ではなく (5.5) 式を用いる、すなわち

10. （３）平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　　分散の等質性の検定ー３（３）平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　　分散の等質性の検定ー３ • しかし、F は両群のサンプル数 N1 及び N2 が等しい時には、テキスト p.22 の (5.6) 式、すなわち、 となり、両群のサンプルでの標本分散の比の形に書ける。そこで、（５．６）式で計算すればよい。

11. 平均値の差の検定に先立つ　　　　　　分散の等質性の検定ー４平均値の差の検定に先立つ　　　　　　分散の等質性の検定ー４ • ここで、この式の分子の分散と分母の分散は、順に であるが、前者は、２群の標本での不偏分散の大きい方に対応する分散でないといけないので、注意が必要である。ただし、２群のサンプル数が等しい場合は、単純に分散の大きい方を分子に、小さい方を分母に取ればよい。

12. F 統計量の計算 • そこで、上記２群の分散の大きい方を分子にすると、

13. 平均値の差の検定に先立つ　　　　　分散の等質性の検定ー５平均値の差の検定に先立つ　　　　　分散の等質性の検定ー５ • つぎに、分散の等質性の検定を行い、つぎに平均の差の検定を行う場合、両検定の全体的危険率の考慮が必要である。 • とりわけ、両母集団の分散が等しい場合には、分散の等質性の検定統計量 F と、平均値の差の通常の検定統計量 t とは、互いに独立であることが知られている（Hogg, 1961)。 • この独立性が成り立つ場合には、両検定の全体的危険率は、個々の危険率を α とすると、ほぼ２倍にインフレする。

14. 平均値の差の検定に先立つ　　　　　　分散の等質性の検定ー６　平均値の差の検定に先立つ　　　　　　分散の等質性の検定ー６　 これを避けるには、個々の検定の危険率 αは、全体の危険率を α* として、 にすればよい。これを実現するには、 　（１）α* =0.05 ならば、αはおよそ 0.025に、 　（２）α*=0.01 ならば、 αはおよそ 0.005に、 それぞれ取ればよい。

15. 平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー７平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー７ • 両群の標本数が共に１０の場合、標本での F-値が、つぎの棄却点の値（いずれか一方） 未満ならば、等分散仮説を採択する。この場合、分散は等しいとみなされる。

16. 　平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー８　平均値の差の検定に先立つ　　　　　　　　分散の等質性の検定ー８ • それに対して、標本での F-値が、演習時に指定された危険率に対応する棄却点の値（いずれか一方） 以上ならば、等分散仮説を棄却する。この場合、分散は異なるとみなされる。

17. 具体的な分散の等質性の検定 そこで、既に計算した標本での F 統計量と ５％水準での棄却点の値を比較すると、 このことは、等分散仮説は５％水準で採 択されることを意味する。

18. 等分散性採択の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー１等分散性採択の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー１ • （１）両群での分散が等しいとみなされる場合 　　テキスト pp.22-23 の t-統計量と対応する以下に示した自由度を計算する。 　すなわち、

19. 当該標本での具体的な　　　　　平均値の差の検定結果当該標本での具体的な　　　　　平均値の差の検定結果 • 当該標本では、等分散仮説が採択されたので、その場合の t 統計量を計算すると、

20. 等分散性採択の場合の　　　　平均値の差の検定ー２等分散性採択の場合の　　　　平均値の差の検定ー２ • t-統計量を計算し自由度を計算したら、標本で 　のtの値が、演習時に指定された危険率に対 　応するつぎの棄却点の値（いずれか一方） 未満ならば、等平均仮説を採択する。この 場合、両群の平均値は等しいとみなされる。

21. 等分散性採択の場合の　　　　　平均値の差の検定ー３等分散性採択の場合の　　　　　平均値の差の検定ー３ • 一方、標本でのtの値が、授業中に指定された危険 　率に対応するつぎの棄却点の値（いずれか一方） 以上ならば、等平均仮説を棄却する。この 場合、両群の平均値に差があることを意味す る。

22. 等分散性採択の場合の　具体例での平均値の差の検定等分散性採択の場合の　具体例での平均値の差の検定 • 上記標本での t 統計量の値と５％水準での棄却点の値を比較すると、 となり、等平均仮説は５％水準で採択され ることを意味する。

23. 等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー１等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー１ • （２）両群の分散が異なるとみなされる場合 　　　テキスト p.20 に書いたように、べーレンス・フィッシャー問題と呼ばれており、そのような場合に平均値の差の検定を行うこと自体に無理があると言う研究者もいる。 • また、この場合、F-統計量と t’-統計量は互いに独立ではないので、２つの検定を続けて行う場合の全体としての危険率の計算は困難であり、ここでは危険率のコントロールは行わず、通常の F 分布表の制約から次善の策として、t’ 検定の危険率は αで行うこととする。

24. 等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー２等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー２ • 両群での分散が異なるとみなされる場合は、テキスト pp.22-23 の t-統計量と対応する自由度を計算する。すなわち、

25. 等分散性棄却の場合の　　具体的な平均値の差の検定等分散性棄却の場合の　　具体的な平均値の差の検定 • 当該標本の場合、等分散仮説は採択されたので、ここでの計算は不要であるが、棄却されるようなデータであれば、うえの W は、つぎのように計算する：

26. 等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー３等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー３ • つぎに、この場合の t’-分布の自由度は、テキスト p.23 の下方にいろいろな方法が紹介してあるが、その中で、SAS が標準として用いているところの　 　　　（b) Satterthwaite (1946) の方法による自由度を計算すること、すなわち：

27. 等分散性棄却の場合の　　　具体的な自由度の計算等分散性棄却の場合の　　　具体的な自由度の計算 • 当該標本の場合、等分散仮説は採択されたので、ここでの計算は不要であるが、棄却されるようなデータであれば、うえの 自由度は、つぎのように計算する：

28. 等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー４等分散性棄却の場合の　　　　　　平均値の差の検定ー４ • t’-統計量を計算し、自由度を計算したら、最後に岩原の副読本の p.434 を開き、 　　　（１）授業中に指定された危険率 αと 　　　（２） (5.12) 式で計算した自由度に対応す る棄却点の値を読み取る。 • 標本での t’-値がこの棄却点の値未満ならば、等平均仮説を採択する。この場合、平均値の差がないことを意味する。

29. 等分散性棄却の場合の　　　　　　　平均値の差の検定ー５等分散性棄却の場合の　　　　　　　平均値の差の検定ー５ • それに対して、標本での t’-値がこの棄却点の値以上ならば、等平均仮説を棄却する。この場合、両群の平均値に差があることを意味する。

30. （５）平均値の差の検定の再実習 • 岩原テキスト末尾の乱数表から、各自のデータを抽出し、平均値の差の検定をおこなってみよう。 • 今日は、標本数は各群とも１０とし、各自の学籍に対応する岩原テキストの乱数の位置から数えて６つ下から始まるデータを用いよ。 • 第１群の１０個は p.４４５から、第２群の１０個はp.４４６の同位置から取り出すこと。 • 検定の全体的危険率 α＊ は、０．０５とせよ。