Method of Proof

1. Method of Proof 030513122 - Discrete Mathematics Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka

2. ทำไมต้องพิสูจน์ (1) • “Mathematical proofs, like diamonds, are hard and clear, and will be touched with nothing but strict reasoning.”-John Locke • Mathematical proofs are, in a sense, the only true knowledge we have • They provide us with a guarantee as well as an explanation (and hopefully some insight)

3. ทำไมต้องพิสูจน์ (2) • การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีความจำเป็นทางด้านคอมพิวเตอร์ • ควรจะพยายามพิสูจน์ algorithm • terminates • sound, complete, optimal • finds optimal solution • เพื่อแสดงว่าวิธีดังกล่าวมีประสิทธิภาพมากกว่าวิธีอื่นๆ • การพิสูจน์คุณสมบัติของโครงสร้างข้อมูล อาจะนำทางไปสู่ algorithm ใหม่ที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่าเดิม

4. คำศัพท์ที่ควรรู้ • Theoremเป็นstatement ที่สามารถแสดงได้ว่าเป็นจริง (จากการพิสูจน์) • Proofเป็นชุดของstatements ที่ใช้สำหรับการสร้างข้อโต้แย้ง • Axiomsหรือpostulatesเป็น statements ที่มีหลักฐานในตัวมันเองว่าเป็น จริง เสมอ • Lemmaคือtheorem ที่มีประโยชน์ในการพิสูจน์ theorem อื่น • Corollaryเป็นtheorem ที่สามารถอ้างได้จาก theorem ที่ผ่านการพิสูจน์แล้ว • Propositionมีความสำคัญน้อยกว่าtheorem • Conjectureเป็นstatement ที่ไม่ทราบค่าความจริง • Rules of inferenceเป็นช่องทางในการหาค่าสรุป

5. Theorems: ตัวอย่าง • Theorem • กำหนดให้a, b, และcเป็นจำนวนเต็ม แล้ว • ถ้า a|bและa|cแล้วa|(b+c)[ a | b หมายถึง a หาร b ลงตัว ] • ถ้าa|bแล้วa|bc สำหรับ c ที่เป็นจำนวนเต็มทุกค่า • ถ้าa|bและb|c แล้วa|c • Corollary: • ถ้าa, b, และcเป็นจำนวนเต็มที่a|bและa|c แล้วa|mb+ncโดยที่ m และ n เป็นจำนวนจริง • ลองทำดู ว่าได้ Corollary จาก Theorem ได้ยังไง

6. Proofs: การพิสูจน์ทั่วไป • ข้อโต้แย้ง (argument) จะถือว่า ถูกต้อง(valid) • ถ้าทุกสมมุติฐาน (hypotheses) เป็นจริง, • แล้วข้อสรุป (conclusion) เป็นจริงด้วย • จากสมมุติฐานp1, p2, …, pn, จะสามารถหาสรุปได้เมื่อ: (p1 p2 …  pn)  q • ปกติการพิสูจน์จะทำเป็นขั้นตอนในการพิสูจน์ Theorem

7. Proofs: ตัวอย่าง • ตัวอย่าง • พิจารณาtheorem ที่ว่า ‘If x>0 and y>0, then x+y>0’ • อะไรคือสมมุติฐาน (assumptions)? • อะไรคือ ข้อสรุป (conclusion) ? • แต่ละขั้นตอนในการพิสูจน์จะต้องเป็นจริง

8. Rules of Inference (กฎของการอนุมาน) • การอนุมานด้วยวิธีการให้เหตุผลจะต้องมีการตรวจสอบความสมเหตุสมผล กฎของการอนุมานเชิงตรรกศาสตร์ ได้แก่ • Modus Ponens (MP) • Modus Tollens (MT) • Disjunctive Syllogism (DS) • Addition (Add) • Simplification (Simp) • Conjunction (Conj) • Hypothetical Syllogism (HS)

9. Modus Ponens (MP) • Modus Ponens (-elimination) P  Q P Q

10. Addition (Add) • Addition (-introduction) หรือ P P  Q Q P  Q

11. Simplification (Simp) • Simplification (-elimination) หรือ P Q P P Q Q

12. ตัวอย่างการใช้งาน Simplification • จงพิสูจน์ว่า ถ้า0 < x < 10 แล้วx  0 • 0 < x < 10  (0 < x)  (x < 10) • (x  0)  (x < 10)  (x  0)(1) Simp • (x  0)  (x  0)  (x = 0) (2) Add • (x  0)  (x = 0)  (x  0)

13. Conjunction (Conj) • Conjunction (-introduction) P Q P Q

14. Modus Tollens (MT) • Modus Tollens (-elimination) P  Q Q P • ตัวอย่าง : • ถ้าคุณเป็นนักศึกษา มจพ แล้วคุณคือลูกพระจอม • สมชายไม่ได้เป็น ลูกพระจอม • ดังนั้น สามารถสรุปได้ว่า สมชายไม่เป็นเป็นนักศึกษา มจพ

15. Hypothetical syllogism (HS) • Hypothetical syllogism (chain reasoning, chain deduction) • ตัวอย่าง : • ถ้าคุณไม่มีงานทำ คุณจะไม่มีเงิน • ถ้าคุณไม่มีเงิน คุณจะซื้อiphoneไม่ได้ • ดังนั้น สามารถสรุปได้ว่า ถ้าคุณไม่มีงานทำ คุณจะซื้อ iphoneไม่ได้ P  Q Q  R P  R

16. Disjunctive syllogism (DS) • Disjunctive Syllogism (-elimination) หรือ • ตัวอย่าง : • ท้องฟ้ามีสีฟ้าหรือสีเทา • ตอนนี้ท้องฟ้าไม่ใช่สีเทา • ดังนั้นสามารถสรุปได้ว่า ท้องฟ้ามีสีฟ้า P  Q P Q P  Q Q P

17. Rules of Inference: Resolution • For resolution, we have the following tautology ((p q) (p r))  (q  r) • Essentially, • If we have two true disjunctions that have mutually exclusive propositions • Then we can conclude that the disjunction of the two non-mutually exclusive propositions is true

18. Proofs: ตัวอย่างที่ 1 • วิธีที่ดีที่สุดในการพิสูจน์ให้ได้ คือ เห็นตัวอย่างการพิสูจน์ให้มากที่สุด • จงพิสูจน์ Theorem:The sum of two odd integers is even • กำหนดให้ m และ n เป็นเลขคี่ • เลขคี่ x คือเลขที่เกิดจากสมการ x = (2*k) + 1 สำหรับทุกค่า k ใน Z • ดังนั้น m = (2k1 + 1) และ n = (2k2 + 1) • เริ่มการพิสูจน์ • m + n = (2k1 + 1) +(2k2 + 1) = 2k1+ 2k2+ 2 = 2(k1+ k2+ 1) • k1 + k2 + 1เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 คูณกับตัวเลขอะไรก็จะได้เลขคู่

19. Proofs: ตัวอย่างที่ 2 • กำหนดstatements ด้านล่างให้เป็นจริง: • (p  q) • (r  s) • (r  p) • กำหนดให้q เป็นเท็จ • จงแสดงว่าs ต้องเป็นจริง • (p  q)assumption • (r  s) assumption • (r  p) assumption • q assumption • p (1),(4) MT • r (3),(5) DS • s (2),(6) MP

20. Fallacies (1) • ตัวอย่างที่ผิดๆ ก็มีประโยชน์เพื่อให้เรารู้ว่าไม่ควรจะทำอะไร • ข้อผิดพลาด 3 อย่างที่พบกันบ่อยครั้งคือ • Fallacy of affirming the conclusion (q  (p  q))  p • Fallacy of denying the hypothesis (p (p  q))  q • Circular reasoning ไปใช้ข้อสรุปเป็นสมมุติฐาน

21. ทบทวน Rule of References อีกนิด • Affirming the antecedent: Modus ponens (p  (p  q))  q • Denying the consequent: Modus Tollens (q (p  q))  p • Affirming the conclusion: Fallacy (q  (p  q))  p • Denying the hypothesis: Fallacy (p (p  q))  q

22. Fallacies (2) • บางครั้งการพิสูจน์ผิด เกิดขึ้นมาจากการใช้ตัวดำเนินการที่ผิด มากกว่าผิดที่ตรรก • พิจารณาการพิสูจน์ผิดๆ ของ2=1 • กำหนดให้ • a = b • a2 = ab เอา a ไปคูณทั้ง 2 ข้าง • a2 + a2 – 2ab = ab + a2 – 2abเอา a2 – 2abไปบวกทั้ง 2 ข้าง • 2(a2 – ab) = (a2 – ab)แยกตัวประกอบ และรวม term • 2 = 1 เอา (a2 – ab) หารทั้ง 2 ข้าง • ขั้นตอนไหนที่ผิดในการพิสูจน์ครั้งนี้ ??

23. การพิสูจน์แบบมี Quantifiers • Rules of inference สามารถขยายไปใช้งานกับ statement ที่มี Quantifier ได้ • Universal Instantiation: ถ้ามีหลักฐานว่าxP(x) และc  UoD(universe of discourse), เราสามารถสรุปได้ว่าP(c) เป็นจริง • Universal Generalization:ถ้าสุ่มเลือก c ที่ซึ่ง c  UoD และแสดงได้ว่า P(c) เป็นจริงแล้ว xP(x) จะเป็นจริง • Existential Instantiation: ถ้ามีหลักฐานว่าxP(x) เป็นจริง, เราสามารถกำหนดค่าคงที่เช่น c โดยที่ c  UoDเราก็จะสามารถสรุปได้ว่าP(c) เป็นจริง • Existential Generalization: ถ้า P(c) เป็นจริงสำหรับ c ที่เจาะจง จะสามารถสรุปได้ว่า xP(x) เป็นจริง

24. ตัวอย่าง: การพิสูจน์แบบมี Quantifier • จงแสดงว่าเมื่อรู้ว่า“A car in the garage has an engine problem”และ“Every car in the garage has been sold”สามารถสรุปได้ว่า“A car has been sold has an engine problem” • กำหนด • G(x): “x is in the garage” • E(x): “x has an engine problem” • S(x): “x has been sold” • Universe of discourse คือ รถทั้งหมด • ดังนั้นจะได้สมมุติฐานที่ว่า: • x (G(x)  E(x)) • x (G(x)  S(x)) • ข้อสรุปที่ต้องการคือx (S(x)  E(x))

25. Proofs with Quantifiers: Example (2) • x (G(x)  E(x)) 1stpremise • (G(c)  E(c))(1)Existential Instantiation • G(c) (2) Simp • x (G(x)  S(x)) 2ndpremise • G(c)  S(c) (4) Universal Instantiation • S(c) (3),(5) MP • E(c) (2) Simp • S(c)  E(c) (6),(7) Conj • x (S(x)  E(x)) (8) Existential generalization

26. ทำแบบฝึกหัดด้วยกันก่อนพักครึ่ง (1) • จากข้อความต่อไปนี้ มีการใช้rule of inference อะไรบ้าง • Alice is a mathematics major. Therefore, Alice is either amathematicsmajor or a computer sciencemajor. • Jerry is a mathematics major and a computer sciencemajor. Therefore, Jerry is a mathematics major. • If it is rainy, then the pool will be closed. It is rainy.Therefore, the pool is closed. • If it snows today, the university will close. The university is not closed today. Therefore, it did not snowtoday. • If I go swimming, then I will stay in the sun too long.If I stay in the sun too long, then Iwill sunburn. Therefore, if I go swimming, then I will sunburn.

27. ทำแบบฝึกหัดด้วยกันก่อนพักครึ่ง (2) • จงหาขั้นตอนที่ผิดพลาดระหว่างการพิสูจน์ว่า if ∃xP(x) ∨∃xQ(x) is true then∃x(P(x) ∧ Q(x)) is true. • ∃xP(x) ∨∃xQ(x) Premise • ∃xP(x) Simplification from (1) • P(c) Existential instantiation from (2) • ∃xQ(x) Simplification from (1) • Q(c) Existential instantiation from (4) • P(c) ∧ Q(c) Conjunction from (3) and (5) • ∃x(P(x) ∧ Q(x)) Existential generalization

28. วิธีการ Proofs • Trivial proofs • Vacuous proofs • Direct proofs • Proof by Contrapositive (indirect proof) • Proof by Contradiction (indirect proof, aka refutation) • Proof by Cases (sometimes using WLOG) • Proofs of equivalence • Existence Proofs (Constructive & Nonconstructive) • Uniqueness Proofs

29. Trivial Proofs • ข้อสรุปเป็นจริงได้ โดยไม่จำเป็นต้องมีสมมุติฐาน • Trivial proof ใช้เมื่อข้อสรุปเป็นจริงเสมอ เช่นif q เป็นtrue, แล้วpqเป็นtrue • ตัวอย่าง: จงพิสูจน์ ถ้าx>0 แล้ว(x+1)2 – 2x  x2

30. Vacuous Proofs • ถ้ารู้ว่า สมมุติฐานp เป็นเท็จ • แล้วสามารถสรุปได้ว่าpqเป็นจริงเสมอ • Vacuous proof เป็นการพิสูจน์ที่อยู่บนฐานข้อเท็จจริงที่ไม่มีค่าในขอบเขตที่กำหนดมาทำให้สมมุติฐานเป็นจริงได้ • ตัวอย่าง: • If x is a prime number divisible by 16, then x2 <0 (บางครั้งข้อสรุปที่ได้ก็ฝืนกับหลักความจริง)

31. Direct Proofs • การพิสูจน์ที่เห็นในตัวอย่างมาตลอดเป็น directproofs • ในdirect proof • ต้องมีการกำหนดสมมุติฐาน p • ใช้ rules of inference ในการสรุปข้อมูลเป็นลำดับ • เพื่อจะแสดงให้ได้ว่าข้อสรุป q เป็นจริง • ตัวอย่าง: จงพิสูจน์ว่าถ้า n เป็นเลขคี่ แล้ว n2จะเป็นเลขคี่ • กำหนด n เป็นเลขคี่ สามารถแทนได้ด้วย n = 2k + 1, สำหรับทุกk ใน Z • n2= (2k + 1)2 = 4k2 + 2k + 1 = 2(2k2+ k)+1 • 2 คูณกับอะไรก็ได้เลขคู่ เมื่อ + 1 ก็เป็นเลขคี่

32. Proof by Contrapositive (Indirect proof) • ทบทวนความจำว่า(pq)  (q p) • พื้นฐานของการพิสูจน์แบบ Indirect proof คือ • กำหนดให้ข้อสรุปเป็นเท็จ (q เป็นจริง) • จากนั้นใช้กฎต่างๆ ตามลำดับ • เพื่อแสดงให้เห็นว่าสมมุติฐานเป็นเท็จ (p เป็นจริง) • ตัวอย่าง : • จงพิสูจน์ว่า ถ้าx3 <0 แล้ว x<0 • contrapositive คือ“if x0 แล้วx3  0” • Proof • If x=0  x3=0  0 • If x>0  x2>0  x3>0

33. Proof by Contrapositive: ตัวอย่าง • ตัวอย่าง:จงพิสูจน์ว่า “ถ้า 3n + 2 เป็นจำนวนคี่, แล้ว n เป็นจำนวนคี่” • สามารถแปลงประโยคได้เป็น ถ้า n เป็นจำนวนคู่ แล้ว 3n + 2 เป็นจำนวนคู่ • กำหนดให้ n เป็นจำนวนคู่ • เลขคู่สามารถแทนได้ด้วย n = 2k, สำหรับทุกk ใน Z • ดังนั้น 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k+2 = 2(3k + 1) • 2 คูณกับจำนวนเต็มใดๆ จะได้ เป็นเลขคู่ • ดังนั้นประโยค “ถ้า3n + 2 เป็นจำนวนคี่, แล้ว n เป็นจำนวนคี่” เป็นจริง

34. Proof by Contradiction • เพื่อที่จะพิสูจน์ว่า statement p เป็นtrue • จะต้องกำหนดให้ p เป็นเท็จก่อน • จากนั้นอนุมานตามขึ้นตอนเพื่อให้เกิดการขัดแย้งกันของข้อสรุป • ตัวอย่าง:จงพิสูจน์ว่า “ถ้า 3n + 2 เป็นจำนวนคี่, แล้ว n เป็นจำนวนคี่” • ในการพิสูจน์แบบ contradiction จะกลับผลสรุปและกำหนดให้ n เป็นจำนวนคู่ • เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ หมายความว่า n = 2k, , สำหรับทุกk ใน Z • ดังนั้น 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k +2 = 2(3k + 1) ซี่งเป็นเลขคู่ • จะเห็นว่า มีการขัดแย้งกับโจทย์ที่บอกว่า 3n + 2 เป็นเลขคี่ • ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า “ถ้า 3n + 2 เป็นจำนวนคี่, แล้ว n เป็นจำนวนคี่” เป็นจริง

35. Proof by Cases • บางครั้งจะง่ายต่อการพิสูจน์theorem โดยการ • แบ่งส่วนของเป็นแต่ละcases • และพิสูจน์แยกอิสระต่อกัน • ตัวอย่าง :กำหนดn  Z. พิสูจน์ว่า9n2+3n-2 เป็นเลขคู่ • 9n2+3n-2= (3n + 2)(3n - 1) • ถ้า (3n + 2) เป็นเลขคู่ เลขคู่คูณกับอะไรก็ได้ผลเป็นเลขคู่ • ถ้า (3n + 2) เป็นเลขคี่ (3n – 1) ก็จะเป็นเลขคู่ เลขคู่คูณกับอะไรก็ได้ผลเป็นเลขคู่ • ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า 9n2+3n-2 เป็นเลขคู่

36. Warm up ก่อนทำแบบฝึกหัด • จงใช้วิธี direct proof พิสูจน์ว่า “ผลบวกของเลขคี่ 2 ตัวให้ผลเป็นเลขคู่” • จงแสดงว่า “ถ้า n3 + 5 เป็นเลขคี่ แล้ว n เป็นเลขคู่” • ด้วยวิธี proof by contraposition • ด้วยวิธี proof by contradiction

37. แบบฝึกหัดทำส่ง • จงใช้ rules of inference เพื่อแสดงว่า • ถ้า∀x(P(x) →(Q(x) ∧ S(x))) และ∀x(P(x) ∧ R(x)) เป็นจริงแล้ว ∀x(R(x) ∧ S(x)) เป็นจริง • จงพิสูจน์ว่า “n เป็นเลขคี่ ก็ต่อเมื่อ 5n + 6 เป็นเลขคี่” ในขอบเขต n เป็นจำนวนเต็มบวก • กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็มคู่ จงพิสูจน์ว่า • 3x + 2 เป็นเลขคู่ • x + 5 เป็นเลขคี่ • x2เป็นเลขคู่ • จงพิสูจน์ว่า ถ้า3n + 2 เป็นเลขคู่ แล้วn เป็นเลขคู่ ด้วยวิธี • proof by contraposition. • proof by contradiction.