TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

1. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle (1652-1718)

2. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontale tangente curva Punto a tangente orizzontale a b

3. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo tangente curva Punto a tangente orizzontale a b

4. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE • Senza salti = funzione continua • Senza spigoli = funzione derivabile • Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) • Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0

5. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE • Quindi: • Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] • continua su tale intervallo • derivabile salvo al più agli estremi • e sia f(a)=f(b) • Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0

6. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 1: sia f una funzione costante In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo

7. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Caso f costante curva tangente Punti a tangente orizzontale: TUTTI! a b

8. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Dimostrazione CASO 2: sia f non costante Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

9. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

10. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo M curva F(a)=F(b) a b

11. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa f(c)=M In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo

12. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi f’(c)=0 CVD

13. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

14. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE • Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari • y=fraz(x) [0,1] • y=|x| [-1,1] • y=x [0,1]

15. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE • Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari • y=D(x) [0,1] • y=|x2-1| [-2,2] • y=x2 [-1,2]

16. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle Y=√(1-x2) [-1,1]

17. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

18. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY • Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] • continue su tale intervallo • derivabili salvo al più agli estremi • e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 • Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

19. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita: Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

20. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Poiché f e g sono continue e derivabilianche F lo è, quindi basta fare in modo che sia: F(a)=F(b) Sostituendo:

21. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Con qualche calcolo si ricava il valore di K

22. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta: F’(c)=0

23. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Ma poiché F è: Derivando: E uguagliando a zero:

24. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Ovvero: E ricordando che K è: Sostituendo: CVD

25. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI LAGRANGE Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813) Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy

26. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI LAGRANGE • Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] • continua su tale intervallo • derivabile salvo al più agli estremi • Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

27. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Dimostrazione Basta ricordare la formula di Cauchy E prendere g(x) = x

28. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY Infatti se g(x)=x allora: E inserendo questi risultati nella formula: CVD

29. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico tangente F(b) corda curva F(a) c a b

30. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Infatti: È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curva tangente B C F(b) corda curva F(a) A c a b A(a,f(a)) B(b,f(b))

31. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Mentre: È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C tangente B C F(b) corda curva F(a) A c a b

32. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali tangente B C F(b) corda curva F(a) A c a b

33. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele tangente B C F(b) corda curva F(a) A c a b

34. TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco tangente B C F(b) corda curva F(a) A c a b