7.5 正规子群、商群与群的同态基本定理

1. 7.5正规子群、商群与群的同态基本定理 定义7.5.1设H为群( G, ∘)的一个子群，若对任意的 a ∈G，都有 aH=Ha ，则称 H为 G 的正规子群（或不变子群）。 • 若G 为交换群，则G 的每个子群都是G 的正规子群；反之，由aH=Ha，不能说明元素a与H中的每个元素都可交换。 • 一般的群G ，至少有两个正规子群，一个是G的最小子群{ e }，另一个是G的最大子群G自身。这两个子群称为平凡的正规子群。

2. 例7.5.1 设( G, ∘)是一个群，令 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， 则Cg是G的正规子群。 证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 对a, b∈ Cg, g∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1∈ Cg， 故Cg是G的子群。 对a∈ G，由于 aCg={ a∘c |c∈ Cg }={ c∘a |c∈ Cg } = Cga , 因此Cg是G的正规子群。

3. 例7.5.2H={ (1), (12) }是三次对称群 S3 的子群，但不是正规子群。 因为 (13)H ≠H(13)， (23)H ≠H(23)， 若取 A={ (1), (123), (132) }，容易验证:A是S3的子群，并且是由(123)生成的循环子群。又因为 (1)A= (123)A=(132)A=A(1)=A(123)=A(132)= {(1), (123), (132)} (12)A= (13)A=(23)A=A(12)=A(13)=A(23)={(12), (13), (23)} 因此A是S3 的正规子群。

4. 定理7.5.1 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要条件是：对于∀ g∈ G，都有gHg-1=H。 “⇒”gHg-1=( gH) g-1=(Hg) g-1=Hgga-1=He=H “⇐” gH=( gH )e=gH(g-1g)=( gHg-1) g=Hg 定理7.5.2 群( G, ∘)的一个子群H是正规子群的充要条件是：对于∀g ∈ G，h ∈ H，都有 ghg-1∈ H。 “⇒” 由定理7.5.1 即可得。 “⇐” ghg-1∈ H⇒ gHg-1⊆ H ⇒ H=a(a-1Ha)a-1⊆ a-1Ha = gHg-1

5. 若H是群( G, ∘)正规子群，则H的右(或左)陪集称为H的陪集。 • 若H是群( G, ∘)正规子群，则G关于 ∼ 的商集记作G/H，即由H的陪集构成的集合，并且 ∼是(G, ∘)上的同余关系。定义G/H上的运算⊙如下： Ha⊙Hb= H(a∘b), a, b∈ G 于是(G/H, ⊙)是一个群，称为( G, ∘)关于正规子群H的商群。当G为有限群时，有|G|/|H|=|G/H|

6. 定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是( G, ∘)的满同态像。 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 • 研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个群G的性质。如果现在是一个正规子群H的话，那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以利用了。

7. 定义7.5.2 设 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同态，则称G’ 的单位元 i 在 f 下的原像构成的G 的子集 { g| f (g) = i , g ∈ G }为满同态 f 的核，记为Ker f。 例如，f (x, y)=x是从群 (R2, +)到群 (R, +)的满同态, 群(R, +)的单位元是 0 Ker f={ (x, y) | f (x, y)=0 } ={ (0, y) | y ∈ R }

8. 定理7.5.4 若 f 是从群( G, ∘)到群( G’, *)的一个满同态，则Ker f是( G, ∘)的正规子群，并且 (G/Kerf ,⊙) ≅ ( G’, *)。 例. 如前例 f (x, y)=x，Ker f={ (0, y) |y ∈ R }。 R2/Kerf ={ [x]|x ∈ R }, [x]={ (x, y) |y ∈ R } [a]⊕[b] = a + b (R2/Kerf ,⊕) ≅(R, +)

9. 定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同态，并且 H是( G, ∘)的子群，则 H的像 f (H)是群( G’, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, ∘)的正规子群N的像 f (N)是群( G’, *)的正规子群。 定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同态，并且H’和N’分别是( G’, *)的子群和正规子群则H’和N’的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是( G, ∘)的子群和正规子群。