GRÁFELMÉLET

1. GRÁFELMÉLET Alapfogalmak 1.

2. e1 X1 X3 e5 e4 e2 e3 X2 e7 e6 X5 X4

3. A gráf véges számú pont, melyek közül egyeseket vonalak kötnek össze. A pontok a gráf pontjai vagy csúcsai, a vonalak a gráf élei. e1 X1 X3 e5 e4 e2 e3 X2 e7 e6 X5 X4 Bevezetés

4. A G gráf pontjainak halmazát V(G)-vel jelöljük. ( Az angol vertex = csúcs szóból ) A G gráf éleinek halmazát E(G)-vel jelöljük. ( Az angol edge = él szóból) Értelmezhető egy hozzárendelés amley minden e Є E(G) élhez hozzárendeli azt a rendezetlen elempárt a V(G)-ből, melyet az e él összekapcsol. Matematikailag

5. e1 X1 X3 e5 e4 e2 e3 X2 e7 e6 X5 X4 G gráf: • V(G) = {x1, x2, x3, x4, x5} • E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} • hozzárendelés: • e1 él összeköti x1-t az x3-al • e2 él összeköti x3-t az x4-el ...

6. Feladat: • Adott 5 varos jeloljuk oket A, B, C, D, E –vel. Az A varost B varossal osszekoti az M0-s autopalya valamint a C13 mellekut. Az E varost osszekoti C vel az M13-as autopalya. • Rajzoljuk meg a varosoknak, es utaknak megfelelo grafot. • Irjuk fel a csomopontok es elek halmazat valamint a hozzarendeleseket

7. Feladat • Adott 6 szamitogep. A minden paros szamu szamitogep ossze van kotve. Es minden paratlan szamu szamitogep is ossze van kotve. • Rajzoljuk le a grafot. • Irjuk fel a csomopontok es elek halmazat valamint a hozzarendeleseket

8. Huroknak nevezzük az olyan élt, amelynek két végpontja ugyanaz. Alapfogalmak:

9. Többszörös élt kapunk, ha két pont között egynél több élt húzunk. Alapfogalmak

10. Egy gráfot egyszerű gráfnak nevezünk, ha pontjainak és éleinek halmaza véges, és a gráfban nincs se hurok, se többszörös él. Alapfogalmak

11. Egy gráf egy pontjának fokszáma (foka) a pontban találkozó élek száma. Fokszám jelölése: dG(x1)=3 Alapfogalmak

12. Ha egy pontban nincs él, azt a pontot izolált pontnak nevezzük, fokszáma 0. Alapfogalmak

13. Egy gráf összfokszáma a pontok fokszámainak összegével egyenlő. Fokszám jelölése: d(Gössz )=12 Alapfogalmak

14. Tétel: Minden gráfban a pontok fokszámának összege az élek számának kétszerese.

15. Következmény: Minden gráfban a pontok fokszámának összege páros szám. Minden gráfban a páratlan fokú pontok száma páros.

16. Alapfogalmak • Egy egyszerű gráfot teljes gráfnak nevezünk, ha bármely két pontja össze van kötve éllel. • ( Az egy izolált pontból álló gráf is teljes gráf. )

17. Tétel: Az n-pontú teljes gráf éleinek száma:

18. Alapfogalmak x1 x2 • Ha egy egyszerű, de nem teljes gráfot kiegészítünk teljes gráffá, akkor a gráf csomópontjai és a kiegészítésül megrajzolt élek az eredeti gráf kiegészítő gráfját adják. x3 x4 x1 x2 x3 x4

19. e1 X1 X3 e5 e4 e2 e3 X2 e7 e6 X5 X4 Alapfogalmak • Ha egy gráf bizonyos éleit, esetleg csúcsokat és a velük szomszédos éleket töröljük, akkor az adott gráf részgráfját kapjuk. X1 X3 e5 e4 e2 e3 X5 X4

20. e1 X1 X3 e5 e4 e2 e3 X2 e7 e6 X5 X4 Alapfogalmak • Két n csomópontú gráf különböző, ha éleik különbözőek. X1 X3 e5 e4 e2 e3 X2 X5 e6 X4

21. Tétel n csomóponton összesen féle különböző gráf rajzolható

22. Feladat • Hány 3 csomópontból álló, különböző gráf létezik? A.8 b. 6 c. 32 d. 16 • Az alábbiak közül, melyik képezheti egy 6 csomópontú gráf csomópontjainak fokszámát? A. 3 2 2 2 3 3 b. 4 2 2 2 3 2 c. 5 2 2 2 0 3 d. 5 2 2 2 1 2 • Egy 10 csomópontból és 7 élből álló gráfnak, legtöbb hány olyan csomópontja lehet, amelynek fokszáma 0? A. 5 b. 6 c. 4 d.

23. Feladat • Hány olyan különböző, 5 csomópontú gráfot lehet rajzolni, amelyben a csomópontokat 1-től 5-ig jelöljük és az 1-es csomópont fokszáma 1? Két gráf akkor különböző, ha szomszédsági mátrixuk különböző. • a.32 b. 256 c. 15 d. 24

24. Feladat • Adott egy 5 csomópontból álló gráf, melynek csomópontjait az a, b, c, d, e betűkkel jelöljük, és amelyben minden magánhangzóval jelölt csomópont szomszédosminden mássalhangzóval jelölt csomóponttal (és csakis azokkal), és mindenmássalhangzóval jelölt csomópont szomszédos minden magánhangzóval jelöltcsomóponttal. Hány éle van a gráfnak? • a.12 b. 6 c. 4 d. 3

25. Feladat • Egy olyan 12 csomópontból álló gráf éleinek száma, amelyben minden csomópont pontosan 11 csomóponttal szomszédos: • A. 144 b. 66 c. 78 d. 11

26. Feladat • Adott egy irányítatlan gráf, amely szomszédsági mátrixa a mellékelt mátrix. Melyek azok a csomópontok, amelyek fokszáma maximális? 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 • a. 2 b. 2, 4 c. 4 d. 1, 3, 6

27. Egy gráfot irányított gráfnak nevezünk, ha élein egyetlen irányban haladhatunk. 1 0 3 2 4 Alapfogalmak

28. Alapfogalmak • Egy irányított gráfban egy x csúcs be fokszáma azon élek számával egyenlő melyek végpontjai x-ben vannak dG(xbe) • Egy irányított gráfban egy x csúcs ki fokszáma azon élek számával egyenlő melyek kezdőpontjai x-ben vannak dG(xki)