第一节定积分的概念与性质

第一节定积分的概念与性质 一、两个实例 1. 曲边梯形的面积 2. 变速直线运动的路程二、定积分的定义三、定积分的几何意义与物理意义四、定积分的基本性质在以下各性质中，假定函数f(x)和g(x)在区间[a ,b]上都是连续的（k为常数）。性质1 （此性质可以推广到有限个可积函数的代数和的情形）

性质2 特别，性质3 若a<c<b，则实际上，对于a ,b,c三点的任何其它相对位置，性质3仍然成立。性质4 若在[a ,b]上，则特别地,若在[a ,b]上，则

从性质4还可推得，若a<b，则 性质5（估值定理）设M和m分别为函数f(x)在区间[a ,b]上的最大值和最小值，则性质6（积分中值定理）若函数f(x)在区间[a ,b]上连续，则在[a ,b]上至少存在一点，使积分中值定理的几何意义:曲边梯形的面积等于一同底的矩形(高为 )的面积( 时)

两个结论： y y=f(x) （1）若函数f(x)在区间[-a ,a]上连续且为奇函数，则 O a b x y y=f(x) (积分中值定理几何意义图) -a a O x （2）若函数f(x)在区间[-a ,a]上连续且为偶函数，则 y y=f(x) -a a O x

例3 利用上述公式求下列定积分： （1）（2）已知，求

第二节牛顿-莱布尼兹公式 一、变上限的定积分定理1 若函数f(x)在区间[a ,b]上连续, 则积分上限的函数在x处可导，且。定理1也叫原函数存在定理（因为它表明：当f(x)在[a ,b]上连续时，f(x)存在原函数）不定积分与定积分的关系：例1 求

例2 求 二、牛顿-莱布尼兹公式定理2（微积分学基本定理）若F(x)为连续函数f(x)在区间[a ,b]上的一个原函数，则此公式称为微积分学基本公式，或牛顿-莱布尼兹公式。也记作例3 计算

例4 计算 例5 计算例6 计算。其中例7 计算由曲线y=sinx , x轴和直线x=0, x= 所围成的图形面积A y 1 O x -1

例8 一辆汽车开动t秒时的速度是v(t)=4t3米/秒。问：（1）开动3秒后车速是多少？（2）前3秒内汽车走了多远？

布置作业： P182: 5. 6. 7. P187: 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8(2)(3)(5)(10)

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