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二、作业题选讲. 设方阵 A 满足 A 2 +A - 4E = O , 其中 E 为单位矩阵,则. 1. (2001 年数一考研题 ). 分析. 答:. (对. 合并同类项). 2 . 设 A、B 为 n 阶方阵,且 E+AB 可逆,则 E+BA 可逆,且. 证. 可逆,. 且. 3 . 设 A 、 B 为 n 阶方阵,已知 , A - E 可逆且. 即. 则 A 可逆. 又. 证. 所以 A 可逆.
E N D
二、作业题选讲 设方阵A满足A2+A-4E = O,其中E为单位矩阵,则 1. (2001年数一考研题) 分析 答:
(对 合并同类项) 2.设 A、B为n阶方阵,且 E+AB可逆,则 E+BA可逆,且 证 可逆, 且
3. 设 A、B为n阶方阵,已知 ,A-E可逆且 即 则 A可逆. 又 证 所以 A可逆.
4. 设 A为n阶方阵,且有自然数 m,使 则 A可逆。 证 故 A可逆.
6.设 且 求 解
(2) 设 ,证明: (1)设 证明: 7.设 m次多项式 记 (与习题二24题类似) f (A) 称为方阵 A的 m次多项式. 证 (1)用数学归纳法. 假设等式对于k -1 成立,即 当 k = 1时,显然等式成立. 对于 k, 证毕
(2) 证毕
由 ② ①若 从而 由 (1)假设 则有 于是 可知, 可知, 于是 则 可逆. (1)若 则 ; (2) . 8. 设n阶方阵 A的伴随矩阵为 证 此与假设矛盾, 故假设不成立. 即 (2) 综上,结论得证. 证毕
9. 设矩阵A的伴随矩阵 分析 解 (习题二22 2000年数一考研题)
10 . 解 则 由矩阵相等的定义得
11. 解 方法一 矩阵乘法,可将矩阵B写成
则 即 12. 已知两个线性变换 求从变量 到变量 的线性变换。 解 将已知的两个线性变换用矩阵表示为
但 一般 13. 设 求 解 即
14. 设A、B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要 条件是AB=BA. 证 充分性: 必要性:
15. 举反例说明下列命题是错误的 显然 但 (2)由 但 或 则 若 (3)取 (1)取 (1)若 则 (2)若 则 或 (3)若 且 则 解 得
16.已知线性变换 求从变量 到变量 的线性变换。 解 即
17. 解
18. 利用逆矩阵解线性方程组: 将线性方程组用矩阵的形式表示为 解 其中 ∴A可逆
20. 设 求 ∴ 解 ∴
由于 可逆 ,可知 用 左乘此式两边得 可逆,且 21.设矩阵 可逆,证明其伴随阵 也可逆,且 证 因 另一方面,由伴随矩阵的性质,有 比较上面两个式子,即知结论成立。
22.设n阶方阵 A的伴随矩阵为 证明: 则 则 可逆, 反证, 若 (1)若 则 ; (2) . 证 (1)若 ∴ 矛盾, (2) (i)若 ∴ 证毕 (ii)若
左乘所给方程两边,得 23.设 ,求 解 =2AB-8E
及 24.设 ,求 解