圆锥曲线与方程

1. 选修1-1、选修2-1——第2章 圆锥曲线与方程 YUAN ZHUI QU XIAN YU FANG CHANG 苏州大学数学科学学院 徐稼红 uuxjh@public1.sz.js.cn

2. 一、本章地位与作用 圆锥曲线是一个非常重要的几何模型；  圆锥曲线的几何性质在日常生活、社会生产以及其他科学中有着广泛的应用。  本章对文理的要求不同。  本章在高中几何知识链中起到承上启下的作用。  圆锥曲线是体现数形结合思想的好素材。

3.  本章对文理的要求不同 内容相同、要求也相同—— 常用逻辑用语（8）、数系扩充与复数（4） 内容基本相同、但要求不同—— 导数及其应用（16，24）、圆锥曲线与方程（12，16）、推理与证明（10，8）、统计案例（14，10） 内容不同—— 框图（6）、空间向量与立体几何（12）、计数原理（14）、概率（12）

4.  本章对文理的要求不同 （1）文科对抛物线的要求是 “了解”； （2）对“统一定义”，文科作为性质了解，而理科作为定义研究； （3）文科对“曲线与方程”不作要求； （4）文科在例、习题上要求有所降低。

5.  本章在高中数学几何知识链中的位置 必修2：立体几何初步、解析几何初步 必修4：平面向量 选修1：圆锥曲线与方程 选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何 选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充 选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程

6. 二、本章内容与结构 内容 （1）圆锥曲线； （2）椭圆——椭圆的标准方程/椭圆的几何性质； （3）双曲线——双曲线的标准方程/双曲线的几何性质； （4）抛物线——抛物线的标准方程/抛物线的几何性质； （5）圆锥曲线的统一定义(共同性质)； （6）曲线与方程——曲线与方程/求曲线的方程。

7. 几何背景 圆锥曲线概念 圆锥曲线方程 圆锥曲线性质 椭 圆 椭 圆 椭 圆 双曲线 双曲线 双曲线 抛物线 抛物线 抛物线 曲线与方程 概 念 建立方程 探求性质 结构

8. 从圆锥截线的角度认识圆锥曲线 分别对椭圆、双曲线、抛物线进行研究 圆锥曲线的统一定义 直线 圆 圆锥曲线 曲线 曲线与方程 ——总→分→总 三、教材的展开方式  圆锥曲线——  平面解析几何——

9. 四、本章教学重点和难点 重点 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。 难点 Dandelin双球模型，曲线与方程的概念。

10. 五、本章内容解析与教学建议 2．1圆锥曲线——从Dandelin双球引出圆锥曲线的定义 从一个平面截圆锥面的两种特殊情形入手(如图)，让学生思考：  用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？

11. 0≤ <      <  < /2  =  设圆锥面的母线与轴所成的角为，截面与轴所成的角为．通过观察可以发现，当<  < /2，0≤ < ，= 时，我们可以得到三种不同形状的曲线：

12. V O2 Q F2 F1 M O1 P 古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2)，又分别与圆锥面的侧面相切(两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2)．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以 MF1 = MP，MF2 = MQ， MF1 + MF2 ＝MP + MQ＝PQ＝定值．

13. 2．2椭圆——突出建立椭圆标准方程的全过程  建系→设点→列式(限制条件)→代入(得到方程)——化简。  参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式，在后面再说明其几何意义。  焦点在 y 轴的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出(不妨先作猜想，或变量代换)．

14.  感受曲线方程的概念  通过求椭圆的标准方程，进一步感受曲线方程的概念，了解求曲线方程的基本方法(在必修部分虽有体现，未充分说明但)。  例2的价值(原来的方法是运用概念，这里是由方程来判断)： 例2将圆x2+y2= 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？

15.  掌握椭圆的几何性质  要突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析几何的基本思想．如：范围、对称性等．  “顶点是椭圆与对称轴的交点”，不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点．  对离心率要突出其几何意义，并在实验的过程中感受和理解其意义。直观上椭圆的扁圆程度可用b/a来刻画，为什么用c/a呢？ 注意：曲线本身的性质与坐标系的选择无关，区别曲线不同位置的性质与曲线本身的性质．

16. 2．3双曲线——突出与椭圆的类比 把握教学要求：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 突出类比：提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比。 “双曲线范围”的处理与原教材的区别：更为精确的限制，为渐近线的引入作铺垫。

17. 因为双曲线的图形夹在两条渐近线 y= x之间，所以 越大，双曲线的开口就越大． 由 可知， 越大，双曲线的开口就越大； 越小，双曲线的开口就越小，即 反映了双曲线的开口的大小．  双曲线的特殊性质 渐近线 开口大小

18. 2．4抛物线——关注抛物线方程与性质的特殊性2．4抛物线——关注抛物线方程与性质的特殊性  建立抛物线标准方程时坐标系的选择——让学生独立探索抛物线方程的建立。 与椭圆、双曲线的联系与区别—— 方程特点：无常数项、一个一次项、一个二次项； 图形特征：过原点、一条对称轴、非中心对称。

19. 2．5圆锥曲线的统一定义  生长点：抛物线 我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线 l（F 不在 l上）的距离之比等于1 的动点 P 的轨迹是抛物线． ● 当这个比值是一个不等于1的常数时，动点 P 的轨迹又是什么曲线呢？  研究过程：特殊→ 一般(实验探索)  设置意图：整体意识、数学的和谐、统一美。

20. 在推导椭圆的标准方程时，得到这样一个式子 将其变形为 你能解释这个式子的几何意义吗？  回顾与反思： （1）代数形式表达的几何意义的价值； （2）多角度认识同一数学对象。

21.  椭圆两种定义的联系 ——椭圆的焦半径公式

22. 概 念 建立方程 探求性质 2．6曲线与方程 突出解析几何的基本思想 从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念中抽象出一般的“曲线的方程”的概念。 熟悉求曲线方程的一般步骤(流程图) 会求两条曲线交点坐标的简单问题(转化为求解方程组的问题)

23. 六、其他 重视章首语的教学 汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状象椭圆，把一个圆压扁了，也象椭圆．它们究竟是不是椭圆？ 电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的．怎样设计才能精确地制造它们？ 借助于椭圆的方程，我们可以回答上述问题．那么 ● 怎样建立椭圆的方程？ ● 如何根据方程研究椭圆的性质？

24. 技术的使用 几何画板  适时、简明、互动；  几何画板、Excel(隐函数的绘制)、计算器(多点函数值的快速计算)。 动手操作问题 折纸 网线  折纸系列(纸折椭圆、双曲线、抛物线)；  网线交点系列；  操作演示问题(椭圆的定义、离心率)。 拓展栏目的教学建议  “思考”、“探究”和开放性的问题。

25. 谢谢！