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第二章 矩陣

第二章 矩陣. 2.1 矩陣運算 2.2 矩陣運算特性 2.3 反矩陣 2.4 基本矩陣. 第 (i,j) 個元素 :. 2.1 矩陣運算. 矩陣 (Matrix). 列 : m. 行 : n. 大小 : m×n. 第 i 個列向量 (row vector). 列矩陣 (row matrix). 第 j 個行向量 (column vector). 行矩陣 (column matrix). 方陣 : m=n. 對角矩陣 (diagonal matrix). 跡數 (trace). 範例 ：.

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第二章 矩陣

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Presentation Transcript

  1. 第二章矩陣 2.1 矩陣運算 2.2 矩陣運算特性 2.3 反矩陣 2.4 基本矩陣

  2. 第(i,j)個元素: 2.1 矩陣運算 矩陣 (Matrix) 列: m 行: n 大小: m×n

  3. 第i個列向量 (row vector) 列矩陣 (row matrix) 第j個行向量 (column vector) 行矩陣 (column matrix) 方陣: m=n

  4. 對角矩陣 (diagonal matrix) 跡數 (trace)

  5. 範例：

  6. 相等(equal)矩陣 範例 1： 相等矩陣

  7. 矩陣相加 (matrix addition) 範例 2：矩陣相加

  8. 純量積 (scalar multiplication) 矩陣相減 (matrix subtraction) 範例 3：純量積與矩陣相減 與 求 (a) 3A, (b) -B, (c) 3A-B。

  9. 解: (a) (b) (c)

  10. 矩陣相乘 (matrix multiplication) 相等 AB的大小 其中 注意: (1) A+B=B+A, (2)

  11. 範例 4：求解下列兩矩陣的乘積 與 解:

  12. 線性方程式系統之矩陣形式 = = = x A b

  13. 子矩陣 分割矩陣 (partitioned matrices)

  14. 矩陣A之行向量的線性組合 (linear combination) (A之行向量的線性組合)

  15. 摘要與複習 (2.1節之關鍵詞) • row vector: 列向量 • column vector: 行向量 • diagonal matrix: 對角矩陣 • trace: 跡數 • equality of matrices: 相等矩陣 • matrix addition: 矩陣相加 • scalar multiplication: 純量積 • matrix multiplication: 矩陣相乘 • partitionedmatrix: 分割矩陣

  16. 2.2 矩陣運算的性質 • 三種矩陣基本運算: (1) 矩陣相加 (2) 純量積 (3) 矩陣相乘 零矩陣 (zero matrix)： n階單位矩陣 (identity matrix of order n)：

  17. 矩陣相加與純量積的性質 則(1) A+B = B + A (2) A + ( B + C )=( A + B ) + C (3) ( cd ) A = c ( dA ) (4) 1A = A (5) c( A+B ) = cA + cB (6) ( c+d ) A =cA + dA

  18. 零矩陣的性質 注意： • 0m×n: 所有m×n矩陣的加法單位矩陣 • -A: 矩陣A的加法反元素(additive inverse)

  19. (1) Ａ(BC) = (AB)C (2) Ａ(B+C) = AB + AC (3) (A+B)C = AC + BC (4) c (AB) = (cA) B = A (cB) 矩陣相乘的性質 單位矩陣的性質

  20. 矩陣的轉置 (transpose)

  21. 範例:求下列每一個矩陣的轉置 (a) (b) (c) (a) 解: (b) (c)

  22. 轉置矩陣的性質

  23. 對稱矩陣 (symmetric matrix) 若 A = AT ，則方陣 A 被稱為對稱矩陣 反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 若 AT = -A，則方陣 A 被稱為反對稱矩陣 範例: 為對稱矩陣，則 a, b, c為何? 解:

  24. 範例: 為反對稱矩陣，則 a, b, c為何? 解: 注意: 是對稱矩陣 證明:

  25. 實數 ab = ba 乘法交換律 矩陣 (矩陣大小不同)

  26. 範例 4：無交換性的矩陣相乘 對下列的矩陣證明 AB 和 BA 不相等 與 解: 注意:

  27. 實數 ac = bc , 乘法消去律 矩陣 (1) 若C是可逆，則A=B (2) 若C是不可逆，則 (消去法不成立)

  28. 範例 5：消去法不成立的範例 對下列的矩陣證明AC=BC 解: 因此 但是

  29. 摘要與複習 (2.2節之關鍵詞) • zero matrix: 零矩陣 • identity matrix: 單位矩陣 • transpose matrix: 轉置矩陣 • symmetric matrix: 對稱矩陣 • skew-symmetric matrix: 反對稱矩陣

  30. 2.3 反矩陣 反矩陣 (inverse matrix) 考慮 若存在一 矩陣使得 則 (1) A 是可逆(invertible)或非奇異(nonsingular)矩陣 (2) B為 A的反矩陣 注意: 若矩陣沒有反矩陣則稱此矩陣為不可逆(noninvertible)或奇異(singular)矩陣

  31. 定理 2.7：反矩陣的唯一性 若 B 與 C 都是 A 的反矩陣，則 B = C 證明: 因此 B=C，所以一矩陣的反矩陣是唯一的 注意: (1) A 的反矩陣被表示成 (2)

  32. 利用高斯-喬登消去法求一矩陣的反矩陣 範例 2：求下列矩陣的反矩陣 解: 1 2

  33. 1 2 所以

  34. 注意： 若矩陣 A 不能夠被用列運算化成單位矩陣 I， 則矩陣 A 為奇異矩陣。

  35. 範例 3：求下列矩陣的反矩陣 解: R2+(-1)R1->R2

  36. 所以矩陣 A 是可逆的，其反矩陣為 注意： 我們可以藉由 和 的相乘來得到 以確認其為反矩陣

  37. 方陣的冪次 (power)

  38. 定理 2.8：反矩陣的性質 若 A 是可逆矩陣，則有下列的性質:

  39. 定理 2.9： 乘積的反矩陣 若 A 和 B 為大小為nxn的可逆矩陣， 則 AB 為可逆且 證明: 注意:

  40. 定理 2.10：相消性質 若 C 為可逆矩陣，則以下的性質成立 (1) 若 AC=BC，則 A=B (右相消性質) (2) 若 CA=CB，則 A=B (左相消性質) 證明: 注意: 若C 不是可逆，則相消法是不成立的

  41. 定理 2.11：有唯一解的方程式系統 若 A 為一可逆矩陣，則此線性方程式系統Ax=b有唯一解 證明: ( A 為一非奇異矩陣) 為 Ax=b 的兩個解 (左相消性質) 此解為唯一

  42. 注意:

  43. 摘要與複習 (2.3節之關鍵詞) • inverse matrix: 反矩陣 • invertible: 可逆 • nonsingular: 非奇異

  44. 2.4 基本矩陣 • 列基本矩陣 (row elementary matrix) 一nn矩陣稱為列基本矩陣若它可以將單位矩陣 I 進行 一次基本列運算來獲得 三項列基本矩陣 兩列互換 一列乘以一非零常數 某一列的倍數加到另一列 列基本矩陣 單位矩陣 基本列運算 • 注意: 只能做“一次”列運算。

  45. 範例 1： 基本矩陣與非基本矩陣 (a) (c) (d) (b) (e) (f)

  46. 範例 3：使用基本矩陣 求一序列的基本矩陣以將下列矩陣化簡成列梯形形式 解:

  47. = B

  48. 列等價 (row-equivalent) 若存在有限數目的基本矩陣使得 則稱 B列等價於A

  49. 注意:

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