§ 1.3 函数的极限

1. 第1章 §1.3 函数的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

2. 一、函数极限的定义 自变量的变化过程有六种形式: 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 2. 自变量趋于有限值时函数的极限

3. 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 A为函数 时的极限, 记作 几何解释: 当x<－X或x>X时，函数y=f (x)的图形完全落在以直线y=A为中心线，宽为2ε的带形区域内．

4. 例1.证明 证: 故 欲使 只要 因此 取 就有 两种特殊情况 : 当 时, 有 当 时, 有

5. 2. 自变量趋于有限值时函数的极限 (1) 时函数极限的定义 引例.测量正方形面积. 边长为 (真值: 面积为A ) 直接观测值 确定直接观测值精度 : 边长 间接观测值 要求 任给精度 , 面积 我们称集合 点a的邻域.

6. 在点 的某去心邻域内有定义 , 定义2 设函数 称集合 为点a的 去心邻域. 其中, a称为邻域中心, 称为邻域半径. 右 邻域: 左  邻域: 当 时, 有 若 当 时的极限, 记作 则称常数A为函数 或 即 当 时, 有

7. 当 时, 几何解释: 函数y=f (x)的图形完全落在以直线y=A为中心线,宽为2ε的带形区域内． 这表明: 极限存在 函数在局部有界 注意: 1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义无关 2.δ与任意给定的ε有关

8. 例2.证明 证 故 取 当 时 , 必有 因此 由极限的定义容易证明 (c为常数),

9. (2) 左极限与右极限 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 由定义2以及左右极限的定义容易得到

10. 例3.设函数 时 的极限是否存在 . 讨论 解 因为 显然 所以 不存在.

11. 关于函数极限，也有类似于数列极限的重要结论.关于函数极限，也有类似于数列极限的重要结论. 在自变量的某个变化过程中， 定理1（唯一性） 若函数的极限存在，则这极限是唯一的. 定理2（有界性） 在一点收敛的函数必在该点附 近有界． 定理3 （夹逼准则） 设在区间I上 且 则 表示x的某个变化过程中函数的极限．

12. 内容小结 定义 1. 函数极限的 或 唯一性、有界性、夹逼准则 2. 函数极限的性质: 与左右极限等价定理 思考与练习 是否一定有 存在, 1. 若极限 ？ 不一定! 且 存在, 则 2. 设函数