Chương 4:

1. Chương 4: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

2. 4.1 MỞ ĐẦU 4.5 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4.2 ĐỒ THỊ EULER 4.3 4.6 4.4 ĐỒ THỊ HAMILTON BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT CÂY Chương 4

3. 4.I MỞ ĐẦU Bài toán về những cây cầu ở Konigsber Năm 1736 Euler, cha đẻ của lý thuyết đồ thị, đã giải được bài toán hóc búa nổi tiếng thời đó về những cây cầu ở Konigberg.

4. Thành phố Königsberg, Đức (nay là Kaliningrad, Nga) nằm trên sông Pregel, bao gồm hai hòn đảo lớn nối với nhau và với đất liền bởi bảy cây cầu. Câu hỏi đặt ra là có thể đi theo một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu đúng một lần rồi quay lại điểm xuất phát hay không.

5. 3 1 2 4

6. 3 1 2 4 Euler đã chứng minh rằng bài toán không có lời giải bằng ngôn ngữ đồ thị. Ông biểu diễn 2 hòn đảo và 2 bờ sông bằng 4 điểm và 7 cây cầu bằng các cạnh nối các điểm như sau: Việc đi qua 7 cây cầu tương đương với việc vẽ đồ thị trên bằng 1 nét. Sau này ta sẽ thấy đồ thị trên không thể vẽ bằng 1 nét.

7. v w e 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4.2.1 Đồ thị, đỉnh, cạnh, cung:  Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V các đỉnhvà tập E các cạnh. Ví dụ:

8. v w e 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V các đỉnhvà tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự Ví dụ:

9. 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Cho đồ thị G = (V, E). Cạnh e  E liên kết đỉnh v và w, ta nói e liên thuộc đỉnh v, w; đỉnh v và w gọi là kề nhau.  Cạnh song song: là các cạnh cùng liên kết với một cặp đỉnh.  Khuyên: là cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau.  Đỉnh cô lập: là đỉnh không kề với đỉnh khác.

10. 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  Đồ thị hữu hạn: là đồ thị có số cạnh (cung) hữu hạn.  Đồ thị đơn: là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song.  Đồ thị đầy đủ: là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.  Bậc của đỉnh vV là tổng số cạnh liên thuộc với nó, kí hiệu d(v). Mỗi khuyên được tính cho 2 bậc. d(v) := Số cạnh + 2* Số khuyên

11. 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đỉnh cô lập trong đồ thị đơn có bậc bằng 0 Đỉnh treo: là đỉnh có bậc bằng 1. • Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E). + Nửa bậc ra của đỉnh vV, kí hiệu dO(v) là số cung đi ra từ đỉnh v. + Nửa bậc vào của đỉnh vV, kí hiệu dI(v) là số cung đi vào đỉnh v

12. v5 v2 v4 v6 v1 v3 4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ví dụ: Đỉnh treo Cạnh // khuyên Đỉnh cô lập d(v1) = 3, d(v2) = 4, d(v3) = 3, d(v4) = 5 d(v5) = 1, d(v6) = 0.

13. v2 v6 v1 v4 v5 v3 dI(v1) = 0, dO(v1) = 2, dI(v2) = 1, dO(v2) = 2 dI(v3) = 2, dO(v3) = 1, dI(v4) = 2, dO(v4) = 2 dI(v5) = 2, dO(v1) = 0, dI(v6) = 1, dO(v1) = 1

14. MỘT SỐ TÍNH CHẤT * Tính chất 1: Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó: i. Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và d(v) = 2|E| ii. Nếu G là đồ thị có hướng thì: dI(v) = dO(v) = |E| * Tính chất 2: Cho đồ thị G(V, E). Khi đó số đỉnh bậc lẻ là số chẵn

15. * Tính chất 3: Cho đồ thị đơn G = (V, E) có n đỉnh (n  2) có ít nhất hai đỉnh cùng bậc. * Tính chất 4: Cho đồ thị đơn G = (V, E) có n đỉnh (n > 2) có đúng 2 đỉnh cùng bậc thì 2 đỉnh này không thể đồng thời có bậc bằng 0 hoặc bằng n – 1.

16. 4.2.2 Đường đi, chu trình, tính liên thông  Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy các cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên đường đi  là độ dài của đường đi . Đường đi  có độ dài n từ đỉnh v đến đỉnh w được biểu diễn như sau:  = (v, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, w) Trong đó: vi (i = 1, …, n-1) là các đỉnh trên đường đi và ei (i = 1, …, n) là các cạnh trên đường đi liên thuộc các cạnh kề trước và sau nó.

17.  Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.  Đường đi đơn là đường đi không đi qua một cạnh quá một lần.  Chu trình đơn là chu trình không đi qua một cạnh quá một lần.  Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá một lần.  Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá một lần.

18.  Đường đi có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các cung nối tiếp nhau (e1, e2, …, en) thỏa mãn đỉnh cuối của cung ei là đỉnh đầu của cung ei+1, i = 1, …, n-1.  Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.  Đường đi đơn (chu trình đơn) có hướng là đường đi (chu trình) có hướng không đi qua một cung quá một lần.  Đường đi (chu trình) có hướng sơ cấp là đường đi (chu trình) có hướng không đi qua một đỉnh quá một lần.

19. e1 e4 e9 v2 v1 e2 v3 e8 e3 e7 e5 e6 v4 v6 v5 b a c e d Ví dụ

20.  Đồ thị liên thông là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng với nhau.  Đồ thị con: Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G’ = (G’, E’) là đồ thị con của G nếu: (i) V’ V và E’ E và (ii) e = (v,w)  E: e  E’  v, w  V’  Thành phần liên thông: Là đồ thị con liên thông tối đại của G.

21. v5 v2 e6 e5 e1 v4 e3 v6 v1 e4 e2 v3 Ví dụ G  Đồ thị G không liên thông.  Đồ thị G’ = (V’, E’) với V’ = (v1, v2, v3, v4), E’ = (e1, e2, e3, e4) là đồ thị con của G nhưng không phải là thành phần liên thông.  Đồ thị G1 = G \ {v6} là một thành phần liên thông.

22. H1 H2 H3 H Ví dụ G  Đồ thị G liên thông.  Đồ thi H không liên thông, H gồm 3 thành phần liên thông H1, H2, H3

23. 4.2.3 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY a. Ma trận kề  Đồ thị vô hướng Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) có n đỉnh theo thứ tự v1, v2, …, vn. Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (aij)n, trong đó aij là số cạnh nối vi với vj. Lưu ý mỗi khuyên được tính là 2 cạnh. Ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn đối xứng qua đường chéo chính.

24. v2 v1 v3 v5 v4 Ví dụ: Có ma trận kề là: Tổng bậc của v1

25. v2 v6 v1 v4 v5 v3 e4 e6 e1 e8 e3 e7 e5 e2  Đồ thị có hướng Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh theo thứ tự v1, v2, …, vn. Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (aij)n, trong đó aij là số cung đi từ đỉnh vi đến vj. Ví dụ:

26. tổng bậc ra của v1 tổng bậc vào của v1

27. Mệnh đề: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với ma trận kề (aij)n. Khi đó: và số bậc vào của đỉnh vi = tổng các số trên cột vi số bậc ra của đỉnh vi = tổng các số trên hàng vi

28. b. Ma trận liên thuộc  Đồ thị vô hướng Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh, V = {v1, v2, …, vn} và m cạnh E = {e1, e2, …, em}. Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (aij)nm thỏa mãn: nếu đỉnh vi liên thuộc cạnh ej nếu đỉnh vi không liên thuộc cạnh ej

29. v2 v1 e1 e4 e7 e2 e3 v3 e5 v5 v4 e6 Ví dụ: Ma trận liên thuộc: Tổng bậc của v1

30. Mệnh đề: Cho đồ thị đơn G = (V, E) với ma trận liên thuộc (aij)nm. Khi đó: Số bậc của đỉnh vi = tổng các số trên hàng vi

31.  Đồ thị có hướng Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh, V = {v1, v2, …, vn}, m cạnh E = {e1, e2, …, em} và không có khuyên. Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (aij)nm thỏa mãn: nếu đỉnh vi là đỉnh đầu của cung ej nếu đỉnh vi là đỉnh cuối của cung ej nếu đỉnh vi không kề cung ej

32. v2 v6 v1 v4 v5 v3 e4 e6 e1 e8 e3 e7 e5 e2 Ví dụ:

33. Chú ý Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có ma trận liên thuộc (aij)n. Khi đó:  Số bậc ra của đỉnh vi = tổng các số dương trên hàng chứa vi  Số bậc vào của đỉnh vi = trị tuyệt đối của tổng các số âm trên hàng chứa vi

34. c a a b c d b d 4.2.4 ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU Ví dụ Giả sử 2 người nhận được yêu cầu sau: Cho 4 điểm a, b, c, d. Nối a với b, b với c, c với d và d với a. Rất có thể 2 người sẽ vẽ 2 đồ thị như sau: Hai đồ thị trên trông bề ngoài khác nhau, nhưng thực chất là 1. Đó là các đồ thị đẳng cấu

35. Định nghĩa Hai đồ thị gọi là đẳng cấu nhau nếu có sự tương ứng 1 – 1 giữa các đỉnh và các cạnh (cung) với nhau. Định lý Cho G1 = (V1, E1), G2(V2, G2) là 2 đồ thị đẳng cấu. Khi đó: • G1, G2 có số cạnh và số đỉnh bằng nhau. • Số đỉnh bậc k của G1 và G2 bằng nhau. • Số chu trình đơn, sơ cấp có chiều dài k của G1 và G2 bằng nhau.

36. Chú ý: Nếu các bất biến về đỉnh, cạnh, bậc, chu trình đều phù hợp thì G1 có thể đẳng cấu với G2. Để tìm phép đẳng cấu ta tìm đường đi qua tất cả các đỉnh sao cho các đỉnh tương ứng trong 2 đồ thị cùng bậc.

37. Ví dụ Không đẳng cấu

38. b 4 1 c 3 a 5 e d 2 H G Đẳng cấu Đường đi: a, b, c, d, e Tương ứng với đường đi: 1, 2, 3, 4, 5 Tương ứng: a-1, b-2, c-3, d-4, e-5

39. ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V1, V2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị liên kết với 1 đỉnh thuộc V1 và 1 đỉnh thuộc V2. Kí hiệu: G = ({V1, V2}, E)

40. a b c x y z Ví dụ

41. a b  f e c d BÀI TẬP Bài 1: Xác định số đỉnh, số cạnh, bậc, chỉ ra những đỉnh cô lập, đỉnh treo, cạnh song song, khuyên (nếu có) của các đồ thị sau:

42. c b d a f h g e a b d c Xác định số bậc ra, bậc vào của đồ thị sau:

43. Bài 2: Tìm đỉnh của đồ thị G, biết: • G có 12 cạnh và mọi đỉnh đều có bậc 2 • G có 15 cạnh, 3 đỉnh bậc 4 và mọi đỉnh còn lai có bậc 3

44. c b a a b c d e d Bài 3: Biểu diễn các đồ thị sau bằng ma trận kề:

45. Bài 4: Hãy vẽ đồ thị có ma trận kề sau đây:

46. 4.3 ĐỒ THỊ EULER 4.3.1 Định nghĩa Cho đồ thị vô hướng G = (V, E)  Đường đi Euler là đường đi đơn qua mọi cạnh và mọi đỉnh đồ thị.  Chu trình Euler là chu trình đơn qua mọi cạnh và mọi đỉnh đồ thị.

47. Cho đồ thị có hướng G = (V, E)  Đường đi có hướng Euler là đường đi đơn có hướng qua mọi cung và mọi đỉnh đồ thị.  Chu trình có hướng Euler là chu trình đơn có hướng qua mọi cung và mọi đỉnh đồ thị. Đồ thị chứa chu trình Euler gọi là đồ thị Euler

48. a b c d e f Ví dụ Đồ thị Euler Chu trình Euler: a, b, c, f, e, b, d, c, a

49. 3 1 2 4 Ví dụ Đồ thị về 7 cây cầu của thành phố Konigsberg Không có chu trình và đường đi Euler

50. 4.3.1 Điều kiện cần và đủ để đồ thị có chu trình và đường đi Euler Đồ thị vô hướng:  Đồ thị G có chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thông và mọi đỉnh đều có bậc chẵn khác 0.  Đồ thị G có đường đi Euler khi và chỉ khi G liên thông và có đúng 2 đỉnh bậc lẻ.