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§ 4.6 付里叶变换的性质

§ 4.6 付里叶变换的性质. 连续时间信号有两种描述方法 : 时域描述 f(t) 频域描述 F( ). § 4.7. 3. 求频率响应的方法. Section2. 一、线性. f 1 (t)  F 1 (  ) , f 2 (t)  F 2 (  ) a 1 f 1 (t)+ a 2 f 2 (t)  a 1 F 1 (  )+ a 2 F 2 (  ) 利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。. 2. 2. 2. 例：. 3. 3. 3.

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§ 4.6 付里叶变换的性质

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  1. § 4.6 付里叶变换的性质 连续时间信号有两种描述方法: 时域描述 f(t) 频域描述 F() § 4.7 3.求频率响应的方法 Section2

  2. 一、线性 • f1(t)  F1() , f2 (t)  F2() • a1f1 (t)+ a2f2 (t)  a1F1 ()+ a2F2 () • 利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。 2 2 2

  3. 例： 3 3 3

  4. R(w) X(w) 二、奇偶性 前提，f(t)是实函数；f(t)与F()奇偶虚实关系: 奇函数 偶函数 4 4 4

  5. 三、对称性 • 若f(t)  F()，则F(t) 2f(-) • 证明： • 根据傅氏逆变换 • 将上式中t换为-t，则 • 互换变换t和w，得到 • 即　F(t) 2f(-) • 当f(t)为偶函数时， F(t) 2f() 5 5 5

  6. 例1 • d(t)1 • 12pd(w) 6 6 6

  7. 例2（4.5－1） • 例:4.5-1 Sa(t)=sint/t. • 门函数g(t)  Sa(/2) • 令/2=1，则=2. • ∴(1/2)g2(t) 2(1/2)Sa()=Sa(). • 由对称性知： • Sa(t)  2(1/2)g2()= g2() 7 7 7

  8. 8 8 8

  9. 例3（4.5－2） • F[1/t]=? • ∵ F[sgn(t)]=2/jw • ∴ F[2/jt]=2psgn(-w)= -2psgn(w) • ∴ F[1/t]=-jpsgn(w) 9 9 9

  10. 例4 F[t]=? • ∵ F[d’(t)]=jw • ∴ F[jt ]=2p d’(-w) • =-2p d’(w) • F[t ]=j2p d’(w) 10 10 10

  11. 四、尺度变换（时域展缩） • 若 f(t)  F() 则f(at)  (1/a) F(/a) 11 11 11

  12. g(t)  Sa(/2) 12 12 12

  13. 结论： f(at)  (1/a) F(/a) • 信号的等效脉冲宽度与占有的等效频带宽度成反比； • 若言压缩信号的持续时间，则不得不以占宽频带作代价。 • 在通信中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾。通信系统的设计便是寻找矛盾的合理解决方案。 13 13 13

  14. 五、时移特性 • 若f(t)  F() • 则f(tt0)  ejt0F() • = F() ej[jt0] • 即时域中信号延时t0频域中所有频率“分量”相应落后一相位t0，而幅度不变。 F[f(t-t0)] 14 14 14

  15. 例1g(t)  Sa(/2) • g(t- /2)  Sa(/2)e-jw/2 • g(t+ /2)  Sa(/2)ejw/2 15 15 15

  16. f2(t)= f1(t+1)-f1(t-1) • f3(t)= f2(2t) • =f1(2t+1)-f1(2t-1) • F2()= ej F1()- e-j F1() • = (ej - e-j)2sin/ • =4jsin2/. • F3() = (1/2) F2(/2) • =j4sin2(/2)/ 16 16 16

  17. 既有时移又有尺度变换 若f(t)  F() 则f(at-b)  (1/a) e-j(b/a) F(/a) b=0 尺度变换；a=1 时移。 17 17 17

  18. 例2 已知f(t)  F() 求f(3-2t)的付里叶变换。 解： 时移：f(t+3) ej3 F() 尺度变换 a=-2 f(-2t+3)(1/-2)ej3/(-2) F[/(-2)] = (1/2) e-j(3/2) F(-/2) 18 18 18

  19. 六、频移特性 • 调制特性 • 若f(t)  F() 0为常数 • 证明 19 19 19

  20. 应用 频域搬移技术在通信系统中得到广泛应用，诸调频、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移的实现原理是将信号乘以载频信号cos0t或sin0t。 20 20 20

  21. f1(t)=f(t) cosw0t f(t) × cosw0t 调制原理图 频谱搬移 调制信号 已调信号 载波信号 21 21 21

  22. 解调(接收端) f2(t)=f1(t) cosw0t 低通滤波器 f3(t)=f(t)/2 f1(t) × =f(t) cosw0t 与发送端的载波 信号同频同相 本地载波 (本振信号) cosw0t 解调原理图 22 22 22

  23. 例1 y(t)=gt(t) cosw0t • gt(t)tSa(wt/2) • gt(t) cosw0t • (1/2){tSa[(w-w0)t/2]+ tSa[(w+w0)t/2]} 23 23 23

  24. F[gt(t)] t F[gt(t) cosw0t] 0 w t/2 -w0 0 w0w 已调信号的频谱是将原频谱一分为二，分别向左和向右搬移0，在搬移中幅度谱的形状并未改变。 24 24 24

  25. 例2 F[cosw0t]=？， F[sinw0t] =? F[1]=2pd(w) F[1·ejw0t]=2pd(w-w0) F[cosw0t]=(1/2)[2pd(w-w0)+2pd(w+w0)] =p [d(w-w0)+d(w+w0)] F[sinw0t]=jp [d(w+w0)-d(w-w0)] 25 25 25

  26. F[cosw0t] (p) (p) -w0 w0 w j F[sinw0t] (p) -w0 w0 w (-p) 26 26 26

  27. 七、卷积定理 • 1、时域卷积定理： • f1(t) f2(t) F1()F2() 证明： 27 27 27

  28. 七、卷积定理 • 2、频域卷积定理： f1(t)f2(t) (1/2) F1()F2() • 用对称性性质可证明。 28 28 28

  29. 例：4.5-7 r(t)=te(t)的频谱函数 解： 1、t的频谱tj2() 2、(t)的频谱(t) ()+1/(j) 3、由频域卷积定理 F[t(t)]=(1/2)[j2()][()+1/(j)] =j()()+()(1/) =j()+ ()(1/) =j()-1/2 ∴ t(t) j()-1/2 29 29 29

  30. f(t) E -t1 0 t1 t 例4.5-6 三角形脉冲 E(1-2|t|/t) |t|<t/2 f(t)= 0 |t|>t/2 30 30 30

  31. f(t) 1 -t/ 20 t/2t F (w) t t F0(w) F0(w) 0 w 0 w 0 w = * = × 31 31

  32. 八、时域微、积分 • 1、微分：f(t)  F() • f (t)  jF()； f(n)(t)  (j)n F() • 证明： 32 32 32

  33. 八、时域微、积分 2、积分：f(t)  F() f(-1)(t) F(0) ()+(1/j)F() 当 时 f(-1)(t)  (1/j)F() 33 33 33

  34. 八、时域微、积分 • 证明： 34 34 34

  35. 例1 矩形脉冲信号gt(t)的频谱 • [gt(t)]’=d(t+t/2)-d(t-t/2) • F[g’t(t)]=ejwt/2-e-jwt/2=2jsin(wt/2) • =jwF[gt(t)] • F[gt(t)]=(2/w)sin(wt/2) • =tsa(wt/2) 35 35

  36. 例2 矩形脉冲信号gt(t)积分的频谱 • F[gt(t)]=tsa(wt/2) • F[gt-1(t)]=pd(w) tsa(0)+(1/jw)tsa(wt/2) • =tpd(w)+(1/jw)tsa(wt/2) 36 36

  37. f1(t) f(t) f2(t) 2 (2) 1 t t t -1 例3(4.5-10) • f1(t)= 2e(t); f2(t)=sgn(t); • f’1(t)= f’2(t)=f(t)=2d(t) • F[f’1(t)]= F[f’2(t)]=2 • F[f1(t)]= F[f2(t)]=2/(jw) ? • F[f1(t)]= F [f2(t)]=2pd(w)+2/(jw) ? √ √ 37 37

  38. 使用微积分性质时需注意的事项 • 若 g’(t)=f(t) g (t) = f -1(t) • 对非时限信号，不一定成立! 38 38 暗含条件g(-∞)=0

  39. 九、频域微积分 • 1、微分 f(t)  F() -jtf (t)  F(). (- jt)n f(t)  F(n)() • 证明 • 即 -jtf (t)  F(). • 同理可证 (- jt)n f(t)  F(n)() • tnf(t)  jnF(n)() 39 39

  40. 九、频域微积分 • 2、积分 f(0)(t)-(1/jt)f(t) F(-1)() • f(0)= 0时 -(1/jt)f (t)  F(-1) () • 与前面讨论类似，也隐含了条件F (-1) (-∞)=0 40 40

  41. 例1：f(t)=te-ate(t)，求F(w)。(a>0) 解： e-ate(t)1/(a+jw) 41 41

  42. 例2(4.5-11)：f(t)=te(t)，求F(w)。 解： 42 42

  43. ∫ w -∞ 例3(4.5-11) 求 Sa(t)=sint/t的谱函数。 • f(t)=sint=(1/2j)(ejt-e-jt)  (1/2j)[2(-1)-( +1)] • =j[( +1) -(-1)]=F() • f(0)(t)-(1/jt)f(t) F(-1)() • ∵ f(0)=0 • ∴ sint/(-jt)  F(-1)(j) • =j[(+1) -(-1)]d • = j[( +1) -(-1)] • ∴ sint/t[( +1)-(-1)]= g2() 43 43

  44. 十、相关定理 • 相关函数 • 傅氏变换 • 自相关函数 • 傅氏变换 • 原信号幅度谱的平方 44 44

  45. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ 十、能量谱和功率谱 • 1、能量谱 • 信号能量E= f2(t)dt • = f(t)[(1/2) F()ejt d]dt • =(1/2) F()2 d. • 能量谱： E ()=F()2 • 单位频率的信号能量，能量密度函数 • E= f2(t)dt =(1/2) E ()d. 45

  46. lim lim lim T∞ T∞ T∞ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ -∞ -∞ -∞ 2、功率谱 • 信号的功率：P= (1/T) f2(t)dt • =(1/2) [(F()2)/T]d. • 功率谱: ()= (F()2)/T 单位频率的信号能量，功率密度函数 • P= (1/2) ()d. 46

  47. ∫ ∞ -∞ § 4.7 周期信号的付里叶变换 • 周期信号： • 可展开为付里叶级数(求和)，频谱Fn是离散的，满足狄里赫利条件。 • 非周期信号： • 存在付里叶变换(积分)，频谱密度F(j)是连续的，｜f(t)｜dt<,可放宽。 • 目的：统一分析方法。 47

  48. 一、正余弦函数的付里叶变换 （典型的周期信号） • 12() • ej0t2(-0) • e-j0t2(+0) • cos0t=(1/2)(ej0t+e-j0t) [(-0)+ (+0)] • sin0t=(1/2j)(ej0t–e-j0t) • j[(+0)-(-0)] 48

  49. ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ n=-∞ n=-∞ n=-∞ ∫ T/2 -T/2 二、一般周期函数的付里叶变换 • 一般周期信号fT(t),周期为T • 傅氏级数展开式 fT(t)= Fnejnω1t • 其中 Fn=(1/T) f(t)e-jnω1tdt. • F()=F[fT(t)] • =F[ Fnejnω1t] • =(2) Fn(-nω1) 含义：有无穷多个冲击函数组成，位置在n ω1处，强度2Fn. 49

  50. pT(t) 1 t -T T 0 例1(4.7-1)周期矩形脉冲信号 • 谱系数 • 傅氏变换 50

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