Matrici

2. Matrici L’algebra delle matrici è parte integrante delle conoscenze matematiche richieste in svariati campi : matematica, fisica, economia, statistica, ricerca operativa,………….

3. Definizione di matrice Considerati m ∙ n numeri reali diremo matrice una tabella del tipo: a11 a12 a13 a14 … … … … … a1n a21 a22 a23 … … … … … … a2n a31 a32 …… … … … … … a3n …… … … … … … …… … … …… … … … … … …… … … …… … … … … … …… … … am1 am2 …… … … … … … amn dove gli aij sono detti elementi della matrice e dove i indica la riga a cui l’elemento appartiene j indica la colonna; e dove se m ≠ n la matrice è detta rettangolare m x n mentre se m = n la matrice è detta quadrata di ordine n.

4. Esempio: a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34matrice rettangolare 3 x 4 (m = 3 numero delle righe ed n = 4 numero delle colonne) dove per esempio l’elemento a23 è l’elemento della seconda riga e della terza colonna.Esempio:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33matrice quadrata del terzo ordine (m = n = 3).

5. Un modo abbreviato per indicare la matrice A m x n è il seguente: A = [aij] con 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n , oppure con A = (aij), oppure con A = aijConsiderata una matrice quadrata di ordine n qualunquea1,1 a1,2 a1,3 a1,4 ………a1,n-2 a1,n-1 a1,na2,1 a2,2 a2,3 ……………a2,n-2 a2,n-1 a2,na3,1 a3,2 a3,3 ……………a3,n-2 a3,n1 a3,n -……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………an,1 an,2 ………………………………an,ndiremo diagonale principale la linea i cui elementi sono del tipo ak,k cioè con i = J = k, mentre diremo diagonale secondaria la linea i cui elementi sono del tipo ai,n-1+i.In una matrice quadrata due elementi ai,j e aj,i sono detti coniugati; essi occupano posti simmetrici rispetto alla diagonale principale.

6. Alcune matrici particolari • Vettore riga: è una matrice con un’unica riga, cioè una matrice rettangolare 1 x n esempio: (3 -1 2 0 1 2) • Vettore colonna: è una matrice con un’unica colonna, cioè una matrice rettangolare n x 1 esempio: 2 1 -1 0

7. Matrice nulla: è una matrice i cui elementi sono tutti nulliesempio:0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 matrice nulla 2 x 5Matrice diagonale: è una matrice quadrata di ordine n qualunque i cui elementi non appartenenti alla diagonale principale sono tutti nulliesempio:4 0 0 00 -1 0 00 0 2 00 0 0 1

8. Matrice scalare: è una matrice quadrata di ordine n qualunque i cui elementi esclusi quelli della diagonale principale sono tutti nulli mentre quelli della diagonale principale sono tutti uguali ad una costante k ≠ 0esempio: 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3

9. Matrice identica: è una matrice diagonale i cui elementi appartenenti alla diagonale principale sono tutti uguali all’unitàesempio: 1 0 00 1 00 0 1 matrice identica del 30 ordineMatrice triangolare alta: è una matrice quadrata di ordine n qualunque i cui elementi al di sopra della diagonale principale sono tutti nulliesempio: 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0-1 3 2 0 0 4 1 1 2 0 1 -2 2 1 3

10. Matrice triangolare bassa: è una matrice quadrata di ordine n qualunque i cui elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulliesempio:4 1 -2 00 2 1 10 0 1 30 0 0 -1Matrice simmetrica: è una matrice quadrata di ordine n qualunque i cui elementi coniugati sono uguali tra loro, cioè ai,j = aj,iesempio:2 1 0 31 4 -5 -10 -5 -3 63 -1 6 1

11. Matrice emisimmetrica: è una matrice quadrata di ordine n qualunque i cui elementi coniugati sono tra loro opposti, cioè ai,j = - aj,iesempio: 1 -2 0 3 1 2 -4 -1 5 -3 0 1 0 6 -7-3 -5 -6 2 -1-1 3 7 1 3

12. Matrice trasposta Considerata una matrice A rettangolare m x n oppure di ordine n, diremo sua trasposta, e la indicheremo con AT la matrice rettangolare n x m oppure di ordine n ottenuta scambiando, ordinatamente, le righe con le colonne. Esempio: 0 4 -2 3 A = 1 3 1 -1 2 1 2 3 1 -5 6 -2 0 1 2 1 AT = 4 3 1 -5 -2 1 2 6 3 -1 3 -2

13. Proprietà delle matrici trasposteSe A è una matrice simmetrica si ha: AT = A(AT)T = A

14. Operazioni tra matrici Matrici dello stesso tipo Due matrici sono dette dello stesso tipo se hanno lo stesso numero di righe e di colonne, cioè se sono entrambe rettangolari n x m oppure entrambe quadrate di ordine n. In due matrici dello stesso tipo due elementi di ugual posto si dicono corrispondenti.

15. Somma tra matriciÈ possibile addizionare solo matrici dello stesso tipo. La somma di due matrici dello stesso tipo A = [aij] e B = [bij] è la matrice A + B = [aij + bij] sempre dello stesso tipo ottenuta sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici A e B.Esempio: 7 -2 1 0 1 4 0 -2 7 + 1 -2 + 4 1 + 0 0 – 2 3 4 -5 2 + -1 1 3 1 = 3 – 1 4 + 1 -5 + 3 2 + 1 = -1 3 4 6 2 1 0 -3 -1 +2 3 + 1 4 +0 6 – 3 8 2 1 -2= 2 5 -2 3 1 4 4 3

16. Proprietà dell’addizione L’addizione tra matrici del tipo n x m gode delle seguenti proprietà: • ∀ A = [aij] e B = [bij] si ha: [aij] + [bij] = [bij] + [aij] proprietà commutativa • ∀ A = [aij] B = [bij] e C = [cij] si ha: [aij] + ( [bij] + [cij] ) = ([aij] + [bij]) + [cij] proprietà associativa • ∃ l’elemento neutro O =[oij] tale che ∀ A = [aij] si ha:[oij] + [aij] = [aij] + [oij] = [aij] esistenza dell’elemento neutro • [aij] + [cij] = [bij] + [cij] [aij] = [bij]

17. Matrice opposta Considerata la matrice A = [aij] diremo matrice opposta ad A la matrice – A = [-aij] che ha per elementi gli opposti di quelli di A. Esempio: 3 0 -1 2 -4 A = -2 5 0 1 -3 7 -1 6 -5 1 -3 0 1 -2 4 – A = 2 -5 0 -1 3 -7 1 -6 5 -1

18. Differenza tra matrici È possibile sottrarre solo matrici dello stesso tipo. La differenza di due matrici dello stesso tipo A = [aij] e B = [bij] è la matrice A – B = [aij – bij] sempre dello stesso tipo ottenuta sommando ad A l’opposta di B. Esempio: 5 -2 0 2 -3 -4 5 -2 0 -2 3 4 1 3 -3 – 6 1 -2 = 1 3 -3 + -6 -1 2 = -1 4 2 -5 3 1 -1 4 2 -5 3 1 3 1 4 = -5 2 -1 -6 7 3

19. NOTA Considerato un insieme non vuoto A e una legge di composizione interna ○ ( una legge di composizione ○ è interna ad A se ∀ aA e bA si ha a ○ bA) diremo (A, ○) struttura algebrica. La struttura algebrica (A, ○) è un gruppo abeliano se: • La legge è commutativa • La legge è associativa • Esiste l’elemento neutro • Ogni elemento di A ha il simmetrico.

20. L’insieme delle matrici n x m muniti dell’operazione somma (addizione e sottrazione) è un gruppo abeliano, infatti: ∀ A e B appartenenti all’insieme delle matrici n x m si ha: A + B = B + A (proprietà commutativa) ∀ A, B e C appartenenti all’insieme delle matrici n x m si ha: (A + B ) + C = A + ( B + C) (proprietà associativa) ∃ O appartenente all’insieme delle matrici n x m tale che ∀ A appartenente all’insieme delle matrici n x m si ha: A + O = O + A = A (esistenza elemento neutro) ∀ A appartenente all’insieme delle matrici n x m ∃ -A appartenente all’insieme delle matrici n x m tale che: A + (-A) = O (esistenza del simmetrico).

21. Prodotto di una matrice per un numero Considerata la matrice A =[aij] e un numero reale r diremo prodotto della matrice per il numero la matrice rA =[raij] ottenuta moltiplicando per r ciascuno elemento di A. Esempio: 1 0 -2 3 0 -6 3 0 3 -1 = 0 9 -3 -1 -1 4 -3 -3 12 Per il prodotto di una matrice per un numero valgono le seguenti proprietà: • 1 ∙ A = A e -1 ∙ A = -A • 0 ∙ A = O e r ∙ O = O • r ∙ (s ∙ A) = (r ∙ s) ∙A • ( r + s) ∙ A = r ∙A + s ∙A • r ∙ ( A + B) = r ∙ A + r ∙ B • (r ∙ A)T = r ∙ AT • A + A +………+ A = n ∙ A sono n addendi

22. Prodotto tra matrici Considerate la matrici rettangolari A = [ aij] di tipo m x p e B = [bjk] di tipo p x n (oppure entrambe quadrate di ordine n) diremo loro prodotto la matrice C = A ∙ B di tipo m x n i cui elementi cik=ai1b1k+ai2b2k+ai3b3k+………+aipbpk con i = 1, 2 ,3, ……, m j = 1, 2, 3, ……, p k = 1, 2, 3, …… , n Esempio 3 1 -1 2 0 3∙2 + 1∙1 +(-1)∙(-1) 3∙0 +1∙(-3) +(-1)∙1 1 -4 2 ∙ 1 -3 = 1∙2 + (-4)∙1 + 2∙(-1) 1∙0 + (-4)∙(-3) +2∙1 = -1 1 8 -4 = -4 14

23. Proprietà del prodotto Nell’ipotesi che per le matrici A, B, C abbiano senso le operazioni somma e prodotto valgono le seguenti proprietà: • (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) proprietà associativa • A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C proprietà distributiva a sinistra • (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C proprietà distributiva a destra • Se A è una matrice quadrata di ordine n e O è la matrice nulla dello stesso ordine si ha: A ∙ O = O ∙ A = O • Se A è una matrice quadrata di ordine n e I è la matrice identica dello stesso ordine si ha: A ∙ I = I ∙ A = I esistenza dell’elemento neutro • Se A e B sono matrici quadrate di ordine n si ha: (A ∙ B)T = AT∙ BT

24. Inoltre si ha: In generale A ∙ B ≠ B∙ A ( per il prodotto non vale la proprietà commutativa) se A∙ B = B∙ A (naturalmente A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine) le due matrici son dette permutabili o commutabili Se A ∙ B = O non necessariamente una delle matrici è nulla (non vale la legge di annullamento del prodotto) Se A ∙ B = A ∙ C non necessariamente B = C ( non vale la legge di semplificazione)