14 多重積分

1. 14 多重積分 Multiple Integration

2. 14.1 逐次積分和平面上的面積 14.2 重積分和體積 14.3 積分變數變換：極坐標 14.4 質心和慣性矩 14.5 曲面面積

3. P.636 Ch14 多重積分 14.4 質心和慣性矩(Center of mass and moments of inertia) 質量 如果一均勻密度為ρ的薄膜對應的區域是 R，如圖 14.33 所示，則此薄膜的質量是 如非特別說明，通常都假設薄膜的密度是常數。

4. P.636 Ch14 多重積分 圖14.33密度為常數ρ的薄膜。

5. P.636 Ch14 多重積分 非均勻密度平面狀薄膜質量的定義 假設對應於一平面區域 R 的薄膜其密度函數是由一 連續函數ρ所決定，我們以二重積分定此薄膜的質量 m 如下 注意 密度的單位通常是每單位體積的質量，不過，對 平面狀薄膜而言其密度的單位是每單位面積的質量。

6. P.636 Ch14 多重積分 例 1求平面狀薄膜的質量 求密度函數為ρ(x, y) = 2x +y，以 (0, 0),(0, 3) 和 (2, 3) 為頂點的三角形薄膜的質量。 解　如圖14.34，區域 R 的邊界是 x = 0, y = 3 和 y = 3x/2（或 x = 2y/3），因此薄膜的質量是

7. P.636 Ch14 多重積分 圖14.34非均勻密度的薄膜ρ(x, y) = 2x + y。

8. P.637 Ch14 多重積分 例 2以極坐標求質量 如圖14.35，薄膜所對應的區域是圓域 x2 + y2≤ 4 在第一 象限的部分，已知其在點 (x, y) 的密度與該點到原點的 距離成正比，求此薄膜的質量。 解　薄膜的密度函數ρ是 由於 0 ≤ x ≤ 2 和　　　　　　，因此薄膜質量如下式

9. P.637 Ch14 多重積分 例 2（續） 我們以極坐標變數變換化簡積分。積分的範圍是 0 ≤θ≤π/2 和 0 ≤ r ≤ 2，所以質量是

10. P.637 Ch14 多重積分 圖14.35在(x, y) 的密度：

11. P.637 Ch14 多重積分 質矩和質心 如果薄膜對應一個平面區域 R，R 上有一個分割，如 圖14.36，我們取第 i 個小長方形 Ri，面積是ΔAi。假設 Ri的質量集中在它的一個內點 (xi, yi)，則 Ri 對 x 軸的質 矩可以下式近似 (質量)(yi) ≈ [ρ(xi, yi)ΔAi](yi) 同理，Ri 對 y 軸的質矩可以下式近似 (質量)(xi) ≈ [ρ(xi, yi)ΔAi](xi) 把這些乘積分別相加求得各自的黎曼和，並且令Δ的範 數 ||Δ|| 趨近於 0 而得到極限，極限就是薄膜分別對 x 軸和 y 軸的質矩。

12. P.637 Ch14 多重積分 圖14.36

13. P.638 Ch14 多重積分 非均勻密度平面狀薄膜的質矩和質心 假設對應於一平面區域 R 的薄膜其密度函數是由一 連續函數所決定，則以二重積分定此薄膜對 x 軸和 y 軸 的質矩分別為 如果 m 是此薄膜的質量，則其質心的坐標為 如果 R 只是代表一個幾何形狀，點 稱為 R 的形心 ，此時相當於ρ是常數的情形。

14. P.638 Ch14 多重積分 圖14.37

15. P.638 Ch14 多重積分 例 3求質心 如圖14.38 薄膜所對應區域是拋物線區域 0 ≤ y ≤ 4 – x2 已知其在點 (x, y) 的密度與該點到 x 軸的距離成正比， 求此薄膜的質心。 解　由於薄膜與 y 軸對稱並且ρ(x, y) = ky，所以質心落 在 y 軸上，亦即 。其次，求此薄膜的質量

16. P.639 Ch14 多重積分 例 3（續） 再求其對 x 軸的質矩 所以， 質心的位置是在　　 。

17. P.638 Ch14 多重積分 圖14.38非均勻密度的拋物線區域。

18. P.639 Ch14 多重積分 圖14.39

19. P.640 Ch14 多重積分 例 4求慣性矩 求例 3 中的薄膜對 x 軸的慣性矩。 解　從慣性矩的定義，計算下式得到

20. P.640 Ch14 多重積分 旋轉半徑 旋轉中薄膜動能與慣性矩密切相關。如圖14.40，當 薄膜以角速度（ω）（單位弧度∕秒）繞一直線旋轉， 薄膜所具的動能是 另一方面，一質量為m 的質點以速度v 作直線運動時 所具的動能是 所以直線運動的動能與質量成正比，而繞軸旋轉的動能 與慣性矩成正比。假設一質量為m 的物體對一轉軸的 慣性矩為I，我們定義此物的旋轉半徑（）為

21. P.640 Ch14 多重積分 圖14.40以角速度ω旋轉的平面薄膜。

22. P.641 Ch14 多重積分 例 5求旋轉半徑 如圖11.41，薄膜所對應的區域 R 以下列不等式定義R： 0 ≤y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤π。假設在點 (x, y) 的密度函數是 ρ(x, y) = x，求此薄膜對 y 軸的旋轉半徑。 解　先在積分區域 R 上積分ρ(x, y) = x 得到薄膜的質量 是π，再求薄膜對 y 軸的慣性矩 Iy。 所以，對 y 軸的旋轉半徑是

23. P.641 Ch14 多重積分 圖14.41非均勻密度：對y軸的旋轉半徑約為1.967。