Problemas de Optimizaci n Combinatoria

1. Problemas de Optimización Combinatoria Gladys Maquera Rafael Marti Universidad Peruana Unión Universidad de Valencia Perú España

2. Metodología de aplicación de Investigación de Operaciones Pasos (a grandes rasgos): 1.- Planteo y Análisis del problema a resolver 2.- Construcción de un modelo adecuado 3.- Obtención de datos y ajuste de parámetros del modelo 4.- Deducción de la(s) solucion(es) 5.- Validación del modelo y evaluación de solucion(es) 6.- Ejecución y Control de la(s) solucion(es) Optimización: concierne fundamentalmente etapas 2 y 4.

3. Algoritmos Heurísticos Optimizar Problemas Combinatorios Calidad de los Algoritmos Métodos Constructivos Métodos de Búsqueda Local Métodos Combinados

4. Que significa Optimizar? Significa un poco mas que mejorar. Optimización es el proceso de encontrar la mejor solución posible para un determinado problema.

6. Problemas de Optimización Nomenclatura: x=(x1, x2, ..., xn) variables del problema. D espacio de soluciones factibles. f(x) función objetivo. Valor óptimo de f: f0 = min {f(x): x?D} Conjunto de soluciones óptimas S0 = {x?D: f(x)= f0} (también llamadas soluciones globalmente óptimas).

7. Problemas de Programación Matemática Nomenclatura: x=(x1, x2, ..., xn) variables del problema. f(x) función objetivo. g(x) restricciones del problema X espacio de soluciones. D= {x?D: g(x)<=0 } espacio de soluciones factibles.

8. Problemas de Optimización Combinatoria Nomenclatura: x=(x1, x2, ..., xn) variables del problema; Para todo i, xi ?Di dominio de la variable, que es un conjunto discreto (finito o infinito). X= D1?D2? ... ?Dn espacio de soluciones (discreto). D?X espacio de soluciones factibles.

9. Problemas de OC Mochila Localización de Plantas Secuenciación Cubrimiento de Conjuntos Empaquetado de Conjuntos Partición de Conjuntos Viajante de comercio Ruteo de vehículos Asignación Cuadrática Asignación Generalizada Ordenación Lineal

10. Resolución de Problemas Combinatorios Un método exacto proporciona una solución óptima del problema. Un método heurístico o aproximado proporciona una buena solución del problema no necesariamente óptima. “Un método heurístico es un procedimiento para resolver un problema matemático bien definido mediante una aproximación intuitiva, en la que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena solución” D. de Werra y otros “Un heurístico es una técnica que busca buenas soluciones con un tiempo de computación razonable sin garantizar la optimalidad” C.R. Reeves

11. Una Clasificación

12. Algoritmos exactos para Optimización Combinatoria Enumeración explícita o implícita de soluciones (programación dinámica, branch and bound). Algoritmos basados en Programación Matemática (simplex, punto interior, branch&cut, branch&cut&price). Otros específicos de cada problema. Únicos errores: redondeo, y eventualmente truncamiento.

13. Métodos de aproximación Encuentra solución con error máximo conocido a priori. En algunos casos, error de aproximación fijo. En otros, posible elegir trade-off entre error de aproximación y esfuerzo computacional (mayor esfuerzo, menor error).

14. Métodos aleatorios Con cierta probabilidad, encuentra solución que tendrá un error máximo dado. Ejemplo: Monte Carlo: siempre da una solución y estimación del error, con intervalo de confianza asociado; mayor esfuerzo computacional disminuye el error y aumenta la confianza.

15. Heurísticos “Heurística" deriva del griego heuriskein, que significa "encontrar" o "descubrir". Técnicas que busca soluciones de buena calidad (de valor cercano al óptimo?) a un costo computacional razonable, aunque sin garantizar la optimalidad de las mismas. En general, ni siquiera se conoce el grado de error.

16. Calidad del Algoritmo Heurístico Un buen algoritmo heurístico debe ser:

17. O Problema de la Mochila 0-1

18. Definición del Problema Mochila 0-1 Un viajante desea llevar n items em su viaje; El peso de cada item i es dado por wi ; Los items deben ser cargados en una mochila cuya capacidad es C; Cuando la suma de los pesos wi de todos los items escogidos no ultrapasa C, entonces todos los items pueden ser cargados en la mochila; Caso contrario, algunos items debem ser dejados para atrás; Cuales son los items que deben ser llevados / dejados ? This is simply nonsmooth optimization, for which a number of methods are availableThis is simply nonsmooth optimization, for which a number of methods are available

19. El viajante atribuye un valor (importancia) pi a cada item i; Todos los pesos wi y los valores pi son números positivos; El viajante desea seleccionar un subconjunto de los n items para llevar en la mochila, y ellos deben satisfacer: El peso del subconjunto no puede exceder la capacidad de la mochila: (restricción: ?i wi xi = C); No hay como seleccionar una fracción de un item: (restricción: xi=0 o xi=1); El valor del subconjunto es dado por la suma de los valores de los items seleccionados: (funcioón objetivo: ?i pi xi); El valor del subconjunto seleccionado debe ser el máximo posible: (criterio de optimización: max).

20. Formulación Matemática Mochila 0-1 Variable de decisión:

22. Problema de Localización de Plantas Estos problemas tratan de la localización de un número fijo o variable de plantas y de la designación de las demandas de los clientes a las plantas de modo a minimizar los costos fijos y variables. El costo total está formado por los costos fijos para la localización de plantas y los costos de transporte para la distribución de los productos entre las plantas y los clientes.

24. Problema de Localización de Plantas Modelos matemáticos de localización son construídos para abordar las siguientes preguntas claves: · Cuantas plantas deben ser construidas? · Donde cada planta debe ser localizada? · Cuál debe ser el tamaño de cada planta? · Como designar la demanda de los clientes a las plantas? Ej. de ventaja, desventaja, ventaja y desventaja.

25. Problema de Localización de Plantas

26. El Problema del Viajante (TSP) “Un viajante de comercio ha de visitar n ciudades (una sóla vez), comenzando y finalizando en su propia ciudad. Conociendo el coste de ir de cada ciudad a otra, determinar el recorrido de coste mínimo.”

27. Elección del Problema Es uno de los que mas interés ha suscitado en Inteligencia Artificial e Investigación Operativa Sus soluciones admiten una doble interpretación: mediante grafos y mediante permutaciones. Dada su gran dificultad (NP-duro), la gran mayoría de las técnicas de resolución han sido probadas en él. Resulta muy intuitivo y con un enunciado muy fácil de comprender.

28. Problema del Viajante

29. Problema del Viajante

30. Problema del Viajante

31. Problema del Viajante

32. Problema del Viajante Es uno de los mas estudiados en Investigación Operativa Sus soluciones admiten doble interpretación mediante grafos y mediante permutaciones. Dada su dificultad (NP-hard) la mayoría de las técnicas de solución han sido experimentadas en él. Resulta muy intuitivo y con un enunciado muy fácil de entender.

36. El Problema de Ruteo de Vehículos Clásico (PRV): Características Principales

37.  El Problema de Ruteo de Vehículos Clásico

38. Resolución de Problemas Combinatorios Un método exacto proporciona una solución óptima del problema. Un método heurístico o aproximado proporciona una buena solución del problema no necesariamente óptima. “Un método heurístico es un procedimiento para resolver un problema matemático bien definido mediante una aproximación intuitiva, en la que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena solución” D. de Werra y otros “Un heurístico es una técnica que busca buenas soluciones con un tiempo de computación razonable sin garantizar la optimalidad” C.R. Reeves

39. Una Clasificación

40. Orígenes de las heurísticas Técnicas de inteligencia artificial para problemas de búsqueda en grafos: Demostración automática de teoremas, trayecto de robots, problemas de optimización vistos como búsqueda en grafos; Algoritmo A* (“versão” IA de B&B): Nilsson (1971).

41. Motivación de los algoritmos heurísticos Múltiplos óptimos (funciones multimodales), obtener “buenas” soluciones Problemas NP Mayor flexibilidad para modelar (p.e. funciones discontinuas, no lineales,...) Robustez y post-optimalidad Resolver problemas en tiempos menores; ? Algoritmos heurísticos

42. Múltiplos óptimos locales

43. Algoritmos Heurísticos Métodos Constructivos Métodos de Búsqueda Local Métodos Combinados

44. Razones para utilizar métodos heurísticos Puede ser proyectado con base en las propiedades estructurales del problema o en las características de las soluciones del problema Complejidad reducida en relación a los métodos exatos. Proporcionan “buenas” soluciones factibles. (no garantizan en calidad).

45. Razones para utilizar métodos heurísticos Resolución de un problema difícil No se conoce ningún método exacto para dar resolución al problema Mismo que exista un método exacto para resolver el problema, su uso es muy caro Método heurístico es mucho mas flexible que un método exato (incorporar restricciones que no son muy fáciles de ser modeladas)

46. Razones para utilizar métodos heurísticos Puede ser utilizado como parte de un procedimiento global que garantiza el óptimo global Proporciona una buena solución inicial de partida Participa como un paso intermediario del procedimiento

47. Calidad del Algoritmo Heurístico Un buen algoritmo heurístico debe ser: Los procedimientos para medir la calidad de un algoritmo son: Comparación con la solución óptima Comparación con una cota Comparación con un método exacto truncado Comparación con otros heurísticos Análisis del peor caso

48. Conclusiones Los Problemas Combinatorios pueden ser resueltos mediante: Métodos Exactos: Proporcionan el óptimo, pero en general son muy caros. Métodos Heurísticos : Son rápidos pero no garantizan el óptimo.

49. Referencias Jünger, M., Reinelt, G. y Rinaldi, G. (1995), “The Traveling Salesman Problem", En: Ball, M.O., Magnanti, T.L., Monma, C.L. y Nemhauser, G.L. (eds.), Handbook in Operations Research and Management Science, Vol. 7, Network Models, pág 225--330. North-Holland, Amsterdam. Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A.H.G. y Shmoys, D.B. (eds.) (1985), The Traveling Salesman Problem. A Guided Tour to Combinatorial Optimization, John Wiley and Sons, Chichester. Reinelt, G. (1991), “TSPLIB - A Traveling Salesman Problem Library”, ORSA Journal on Computing 3, 376-384. Reeves, C.R. (1995), Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems, McGraw-Hill, UK. Feo, T. and Resende, M.G.C. (1995), “Greedy Randomized Adaptive Search Procedures”, Journal of Global Optimization, 2, 1-27.