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自动控制原理

自动控制原理. 主讲教师： 唐艳. 德州学院机电工程系. Mechanical and Electronic Engineering Department of Dezhou University. 第五章 线性系统的频域分析. §5.1 　频率特性的概念. §5.2 　典型环节的频率特性. §5.3 　系统的开环频率特性. §5.4 　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性. §5.5 利用开环频率特性分析系统性能. §5.6 利用闭环频率特性分析系统性能. 本章重点. 开环频率特性的绘制 ( 包括极坐标图和对数坐标图 ) ；

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  1. 自动控制原理 主讲教师： 唐艳 德州学院机电工程系 Mechanical and Electronic Engineering Department of Dezhou University

  2. 第五章 线性系统的频域分析 §5.1　频率特性的概念 §5.2　典型环节的频率特性 §5.3　系统的开环频率特性 §5.4　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5.5 利用开环频率特性分析系统性能 §5.6 利用闭环频率特性分析系统性能

  3. 本章重点 • 开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)； • 乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用； • 对数频率特性和闭环系统性能的关系； • 开环频率特性指标； • 闭环频率特性指标。

  4. 本章难点 • 开环频率特性的绘制； • 乃奎斯特判据的原理及其应用； • 剪切频率及相角、幅值裕度的求取； • 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算； • 典型二型系统频、时域指标的定性关系。

  5. 　　时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。　　时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。 　　正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。 　　系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。 　　是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。 具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。

  6. §5.1　频率特性的概念 不 40 结论 由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图， 给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下: 给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。 ω=1 ω=2 ω=2.5 ω=4 Ar=1 ω=0.5

  7. φ= B 360o A , 关系 ∴为φ(ω) , … 角度无关 ∴ 相角问题 ①稳态输出迟后于输入的角度为： A A ②该角度与ω有 B B ③该角度与初始

  8. 一、频率特性的定义 例：如图所示电气网络的传递函数为 若输入为正弦信号： 其拉氏变换为： 输出拉氏变换为： 其拉氏反变换为：

  9. 其稳态响应为： 上式表明： 对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。 输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为： —幅值频率特性 —相角频率特性

  10. 例题中输入信号的复数表示为： 例题中输出信号的复数表示为： 它们之比为： 频率特性的定义： 线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。

  11. 幅频特性和相频特性数据

  12. 频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。 二、频率特性与传递函数的关系

  13. 线性定常系统的传递函数表达式为 输入为r(t)=Msin(ωt)， 若无重极点，上式可写为

  14. 若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为： G(jω)是一复数，可写为

  15. 得到线性系统的幅频特性和相频特性： 频率特性和传递函数的关系为

  16. 系统的频率特性也是输入信号的氏变换和输出信号的傅氏变换之比。系统的频率特性也是输入信号的氏变换和输出信号的傅氏变换之比。 其中 经过傅氏反变换 系统的单位脉冲响应为：

  17. 三、频率特性的几种图示方法 1. 幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。 系统的频率特性可表示为： 对某一固定频率ω1 在极坐标系中画出该向量。 ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为Nyquist曲线。 实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？

  18. 1 A(ω)= 0.25 ω2+1 1 j Im[G(jω)] 0.5s+1 Re[G(jω)] G(s) = 0 1 惯性环节G(jω) φ(ω) = -tg-10.5 ω -14.5 0 -26.6 -45 -63.4 -68.2 -76 -84 1 0.97 0.89 0.71 0.45 0.37 0.24 0.05

  19. 2. 对数频率特性曲线（Bode图） 在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。 半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。 十倍频程 十倍频程 十倍频程 十倍频程 十倍频程 频率的对数分度

  20. 对数幅频特性： 指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。 即纵坐标 L(ω)称为对数幅值，单位是dB(分贝)。 对数相频特性： 指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。 纵坐标是的单位是“　°”。采用线性刻度。

  21. 采用对数坐标图的优点： （1）将低频段展开，将高频段压缩。 （2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。 …

  22. （3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。 （4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。 3. 对数幅相特性曲线（Nichols图) 由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。 可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。

  23. §5.2　典型环节的频率特性 • 、典型环节的幅相频率特性 步骤： （1）求环节或系统的传递函数G(s)； （2）令s=jω,求出频率特性表达式G(jω) （3）G(jω)分为实部P(ω)和虚部Q(ω)，若G(jω)的分母为复数和虚实需要做有理化处理。 （4）求出幅频和相频特性A(ω)和的表达式，根据不同的值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。

  24. 一、比例环节 比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为：

  25. 比例环节的Bode图 L(ω)/dB 20lgK ω 0dB φ(ω) ω 0° 返回

  26. 二、惯性环节 惯性环节的传递函数为： 频率特性表达式为： 　　此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。

  27. 惯性环节1G(jω) Im[G(jω)] Re[G(jω)] 0 1

  28. 惯性环节的bode图 对数幅频特性为： 采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。 在低频段，ω<<1/τ，即ωτ<<1 ，可略去 ω2τ2。 频率特性可近似为：L(ω)≈0dB —低频渐近线 在高频段，ω>>1/τ，即ωτ>>1 ，可略去 1。 频率特性可近似为：L(ω)≈-20lg ωτ —高频渐近线 ω的频率增大10倍时 ΔL(ω) =L(10ω1)-L(ω1)=-20(dB) 　高频渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为-20db/dec或[-20]。高频渐近线正好在ωτ＝1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。

  29. 100 0.1 0.2 1 2 10 20 惯性环节L(ω) L(ω) 40db 20db [+20] 8db ω 0db -20db --40db 返回

  30. 三、积分环节 积分环节的传递函数为 ： 频率特性表达式为： ω＝1时，L(ω)＝-20lg1=0dB ω＝10时，L(ω)＝-20lg10=-20dB

  31. 100 0.1 0.2 1 2 10 20 返回 积分环节L(ω) L(ω) 40db [-20] 20db ω 0db -20db --40db

  32. 四、微分环节 • 纯微分环节 纯微分环节的传递函数为 ： 频率特性表达式为： ω＝1时，L(ω)＝20lg1=0dB ω＝10时，L(ω)＝20lg10=20dB

  33. 100 0.1 0.2 1 2 10 20 微分环节L(ω) L(ω) 40db 20db [+20] ω 0db -20db --40db 返回

  34. （2）一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为 ： 频率特性为： 在低频段，即ωτ<<1 ，可略去 ω2τ2。 在高频段，即ωτ>>1 ，可略去 1。

  35. 一阶微分L(ω) 100 0.1 0.2 1 2 10 20 L(ω) 40db 20db [+20] ω 0db -8db -20db --40db 返回

  36. （3）二阶微分环节 传递函数为 ： 频率特性为 ：

  37. 二阶微分 j L(ω)dB 1 0 ω 0dB 0<ξ<0.707时有峰值： 对数幅频渐近曲线 幅相曲线 [+40] ωn

  38. 二阶微分L(ω) L(ω) [40] 40db 20db 1 10 ω 100 0db 0.1 -20db --40db 返回

  39. 五、振荡环节 (0<ξ<0.707)

  40. 振荡环节G(jω) Im[G(jω)] B: A: Re[G(jω)] 0 1 A 返回 B

  41. 振荡环节L(ω) L(ω)dB 40 20 ω 0dB 0.1 0.2 1 2 10 20 100 -20 -40 [-40]

  42. L(ω)dB 0＜ξ＜0.5 ξ= 0.5 20lgk 0.5＜ξ＜1 ω 0dB ? ω = r 提醒:φ (ωn)= - 90o 2 w 振荡环节再分析 k = n G (s) 2 2 + xw + w S 2 S n n (0＜ξ ＜0.707) ωr ωn [-40]

  43. 五、滞后环节 L(ω)/dB 0dB ω φ(ω) 0° ω 90° 180° 270°

  44. §5.3　系统的开环频率特性 • 、系统开环幅相频率特性的绘制 例5.1　设系统的开环频率特性为 已知：K＝10，T1＝1，T2＝5，绘制开环幅相频率特性。 可以得到开环幅相特性为：

  45. 例5.2　设某I型系统的开环频率特性为 绘制开环幅相频率特性。 Im GH平面 ω→∞ Re -K(T1+T2) 0 ω→0

  46. 绘制开环极坐标图时应注意的特征 ω→0时，低频段从何处出发？ ω→∞时，高频段以何种姿态卷入原点？ 曲线在ω为何值时穿越实轴和虚轴？穿越的坐标值为多少？

  47. ω→0时，低频段的表达式为： 幅频和相频表达式分别为： 试分析v=0、1、2时，曲线的起始点情况？ ω→∞时，高频段的幅频和相频特性为： n-m=1时，曲线沿负虚轴卷向原点； n-m=2时，曲线沿负实轴卷向原点； n-m=3时，曲线沿正虚轴卷向原点。

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