1 / 40

Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy

Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy. Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe : le XI- ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre 2011-.

sun
Download Presentation

Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lycée ‘’ MihaiEminescu “ Iassy Fonctionlogarithme Fonctionexponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre 2011-

  2. Les fonctionslogarithmes et les fonctionsexponentiellesdans la vie quotidienne • chimie : pH, ... • acoustique : décibel, … • biologie : magnitude, … • musique : savart, construction des gammes, … • en Physique (la radioactivité) • et bien d’autres applications encore …

  3. Lexique • logarithme népérien • fonction logarithmigue/fonction logarithme • fonction exponentielle( de base a ) • puissance • logarithme décimal • bijective • surjective • inversable • asymptote horizontale • asymptote verticale • tableau de valeurs • monotonie • courbe • axe de symétrie • bissectrice • domaine de définition • équations • inéquations

  4. ~ La fonction logarithmique

  5. I)Définition et lois des LOGARITHMES an= x n = logax Soit a>1 ,a ≠1 et l`équation ax=n où n est un nombre réel strictement positif. Comme la fonction exponentielle est bijective, on en déduit que l`équation a une seule solution x, qui, par définition, est le logarithme de basse a de n.On note logax On sait que 3x = 27 x = log3 27 donc loga1 = 0 (car a0= 1) Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 Par conséquent : logac = 1 (car a1= a) Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 !!!!!!Remarques: ->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais, qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes. ->LG note le logarithme de base 10 ,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de loge x .

  6. Proprietes des logarithmes Note : log3 x2≠ log3 2x car log3 x2= log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x

  7. Exemples : a) Simplifier . b) Simplifier log2 x2 – log2 x . log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x = 2 = = c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 (2x4 • 3) log6 2x4 + log6 3 = log6 6x4 = log6 6 + log6 x4 = 1 + 4 log6 x =

  8. Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=logax) 1.f(1)=0 2.LA MONOTONIE ~si a>1 ,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> logax1< logax2 ~si 0<a<1 ,alors f strictement décroissante,c `est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> logax1> logax2 3.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, logax >0 si x>1 et logax<0 si 0<x<1 ~pour 0<a<1 , logax>0 si 0<x<1 et logax<0 si x>1 On remarque que logax si et seulement si a et x ont la même position par rapport à un. Plus précisément ,si la base et l`argumentsontinférieurs à 1 ou supérieurs à 1 , à la fois ,alors logax>0 ,sinon , logax<0.Une manière très pratique d’exprimer ce résultat est la suivante : sign(logax)=sign(a-1)(x-1) 4. f est un fonctionbijectivedonc, inversable.Safonction réciproqueest la fonctionexponentielle. Celasignifieque pour tout y réel, il existe un seul x= ayréel strictement positif,qui est la solution de l`équation:logax=y. Réciproquement ,l`équation ax =y a une seule solution x=logay pour tout y réel strictement positif.

  9. 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 1 1 1 1 Pour 0<a<1 *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

  10. 6.Graphique: est trasépqr des points . Gf admit des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonctionexponentielleest un fonction injective .On utilisel`injectivité pour résoudre d’inéquations: 9.Surjectivité: La fonctionlogarithmiqueestunefonctionsurjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations. logax=y=>x= ay

  11. 10.Bijectivité Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)=ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= logax sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

  12. Équations logaritmiques et graphique 1 1 f(x) = logcx Exemple : (forme générale de BASE) f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1) f(x) = alogcb(x – h) + k Exemple: : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 (forme générale TRANSFORMÉE) x = h Exemple : (Équation de l’asymptote) 1)f(x) = log2 x 0  1 0 2 1 2 4 Asymptote x = 0 8 3 ½ -1 ¼ -2

  13. 1 1 1 1 2)f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c  ]0, 1[) 0  Asymptote x = 0 1 0 2 -1 -2 4 8 -3 ½ 1 ¼ 2 3)f(x) = log2 (x + 4) -4  (forme c  1 et h = -4) -3 0 -2 1 2 0 Asymptote x = - 4 4 3

  14. 1 1 1 1 f(x) = alogcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Imaf =  1) f(x) = log2 (x + 4) Asymptote x = h (forme c  1 et h = -4) c  ] 0 ,1 [ Asymptote x = - 4 -4  -3 0 -2 1 2 0 4 3

  15. Résolutions d’inéquations 1 1 Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5– log2 (x – 6) + 9 . Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

  16. Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) •(x – 6) ]  4 (x + 4) •(x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x2 7,40 x1 – 5,40 À rejeter x  [ 7,40 , + Réponse :

  17. Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3≤log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x x  [ - 0,12 , + Réponse :

  18. ex = y x = logey logex = ln x Base naturelle « e » Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e ≈ 2,7182818… C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x.

  19. La fonction Exponentielle

  20. Définition Soit q un nombre réel strictement positif et x un nombre réel quelconque : Si x est un nombre rationnel, alors ax est défini. On veut attribuer un sens à ax pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats d’analiyse mathématique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x , il existe deux suites des nombres rationnels ,tel que Note:On peut prendre les suites comme les approximations décimales Par défaut ;respectivement par excès: est une suite convergente de nombres rationnels 2.Si a est un réel, a>0 et et alors la suite et est aussi convergente. 3.Pour tous réels x et y, ex > ey  x > y ex = ey x = y ex > 1  x > 0 ex < 1  x < 0

  21. Propriétés des logarithmes TERMINOLOGIE baseexposant = puissance Ex. :32 = 9 LOIS DES EXPOSANTS m  am• an = am + n =   = am – n  (am)n = amn a - m = (ab)m = am bm  

  22. Proprietes de la fonction exponentielle • 1.f(0)=1 • 2.La monotonie de f • f strictement croissante pour a>1,ce qui équivautà: • tous • -f est strictement décroissante pour 0<a<1 ,ce qui équivaut à:

  23. 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 Pour 0<a<1 *On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

  24. 6.Graphique: est trasée pqr des points . Gfadmet des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonctionexponentielleest un fonction injective .On utilisel`injectivité pour résoudre d’équations. 9.Surjectivité: La fonctionlogarithmiqueestunefonctionsurjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations. .

  25. 10.Bijectivité Note: Les représentations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0, ∞) , f(x)=ax et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= logax sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

  26. De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x •log 3 = (x – 1) • log 2 x •ln 3 = (x – 1) • ln 2 x •(0,477) = (x – 1) • (0,3) x •(1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 x  { -1,7 } x  { -1,7 } Réponse : Réponse :

  27. Équations et graphique f(x) = cx Exemple : f(x) = 2x (forme générale de BASE) f(x) = acb(x – h) + k Exemple : (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5 f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE) Exemple : f(x) = 3 • 2x – 3 + 5

  28. 1 1 1)f(x) = 2•3x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE) 0 - 4,3 1 - 3 2 1 13 3 y = - 5 (asymptote) -1 - 4,8 -2 - 4,9

  29. 1 1 2)f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  ] 0 ,1 [ c  1 y =k Équation de l’asymptote Dom f =  Ima f = ] k , +∞ y = k (asymptote)

  30. Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 . 0 = 11 (72x – 1) – 539 539 = 11 (72x – 1) 49 = 72x – 1 72 = 72x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x = x x  { } Réponse :

  31. Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 . 0 = (6x+1) – 108 108 = (6x+1) 216 = 6x+1 63 = 6x+1 3 = x + 1 2 = x x  { 2 } Réponse :

  32. Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 . 0 = 625 ( )3x – 1 = ( )3x = ( )3x ( )4 = ( )3x 4 = 3x = x x  { } Réponse :

  33. Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 . ( )8x = 2-10x + 18 (2-2)8x = 2-10x +18 2-16x = 2-10x + 18 -16x = -10x + 18 -18 = 6x -3 = x x  { -3 } Réponse :

  34. 10 3 Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 . -26 + 234 (3-0,08x)< 52 234 (3-0,08x) < 78 3-0,08x< y = 52 3-0,08x< 3-1 -0,08x < -1 x  12,5 y = - 26 (asymptote) x  ] 12,5 , + ∞ Réponse :

  35. À partir d’un problème de « BACTÉRIES »… Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ? f(x) = 500 (2)x/5 128 000 = 500 (2)x/5 256 = (2)x/5 28 = 2x/5 8 = 40 = x Après 40 heures. Réponse :

  36. Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? a)Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,05)3 C(t) = 1000 (1 + )1t C(3) ≈ 1157,63 1157,63 $ C(t) = 1000 (1,05)t Réponse : b)Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,01667)3(3) C(t) = 1000 (1 + )3t C(3) ≈ 1160,40 1160,40 $ C(t) = 1000 (1,01667)3t Réponse : c)Règle générale… Après 3 ans… C(3) = 1000 (1,0041667)12(3) C(t) = 1000 (1 + )12t C(3) ≈ 1161,47 C(t) = 1000 (1,0041667)12t 1161,47 $ Réponse :

  37. Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes : a)ex = 2 b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5 = e x e)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1 g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5) 2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options. a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement. b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.

  38. Sources principales: http://matematicadnl.wikispaces.com/ www.wikipedia.com “Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon”-Sorina Danaila , Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu Programs utilisés: Microsoft Office 2007; Mathtype 6.7; Graph 4.3; Paint;

More Related