第三章群表示论 §3.1 群表示的概念

第三章群表示论§3.1 群表示的概念 3.1.1 定义：若一组mm维的非奇异矩阵构成的群D(G)与已知群G同构或同态，则D(G)称为G的一个m维线性表示，简称“表示”。 *G中元素RG对应的矩阵D(R)称为R在表示D(G)中的表示矩阵。 *D(R)的迹——R在D(G)中的特征标。若，则D(G)——真实表示若，则D(G)——非真实表示它对D的限制：对真实表示，D(A)D(B)=D(AB) ——一般均为真实表示

(1) 单位元素的矩阵表示必为单位矩阵 证：∵ EA=AE=A ∴ D(E)D(A)=D(A)D(E)=D(A) D(E)必是单位矩阵 (2)

例：G6： d3 S3： C3v: 此四个群同构，它们的二维表示为G6，三维表示为d3。

另：也是它们的表示，但无意义即：称为恒等表示

3.1.2 等价表示和特征标 定理：若为群的表示矩阵，则这些表示矩阵经过某个非奇异矩阵x的相似变换后，仍为G的表示。证：∵ D(A)D(B) = D(AB) ∴ 称D(G)和xD(G)x-1为等价表示

例：求C3v群三维表示d3的等价表示 d3 设矩阵为：逆矩阵为：

可以得到等价表示：D(A)=S-1D(A)S

称(E), (A), (B), …分别为表示D(E), D(A), D(B), …的特征标。表示矩阵是可变的相似变换但表示的特征标是不变的。定义：群表示则 …… 证：

3.1.3 可约表示，不可约表示（reducible and irreducible) 设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …} 则超矩阵（块状对角矩阵）也是G的表示（反之亦真）。

证明： 对于有S组表示时，超矩阵也是G的表示。

定义：以上D(A)称为 的直和（direct sum）记作：其中ai代表相同的Di(A)的个数。上面是将S套表示化为一套，若把一套通过相似变换分解为许多套表示，称为约化。定义：可约化的表示称为可约表示，不可约化的表示称为不可约表示。

3.1.4 伴随表示与复共轭表示 设有表示，若有，则仍是G的表示。证明：称为伴随表示（adjoint）同理也是G的一个表示，称为复共轭表示。

§3.2 表示的构造 3.2.1 函数的变换 z r r (r) (r) y x 矢量r在对称变换R作用下：r=Rr 两者数值相等 PR为作用于函数的算符 (函数空间中的算符)

如果R组成空间对称操作群，那么PR在函数空间也构成一个群，且二者同构。如果R组成空间对称操作群，那么PR在函数空间也构成一个群，且二者同构。若则所以{PR, PS, PT, …}也构成一个群 {R}和{PR}有相同的表示，同构。

3.2.2 群表示的确立 函数空间中取一组函数{1(r), 2(r), …n(r)}作为基矢，基矢的数目等于空间的维数，则则{D(R)}就是群{PR}和{R}的表示矩阵。

证明： 另一方面：所以{D(R)}与{PR}及{R}同构，是{PR}及{R}的一个表示。

x A'(0,1) B C y A 求群表示的方法之一：三角函数作基矢，(r,)为变量例：求正三角形C3v群的表示 C3v群中的6个对称操作对r,的作用如下：取两个线性无关的基函数，构造一个二维函数空间

求单位元素E的矩阵：

求元素A的矩阵：

所以正三角形C3v的表示为：

z y x 求群表示的方法之二：以x, y, z为变量的函数空间例：两种原子组成的四方晶体的对称操作所组成的群的表示 a = b  c 共有八个对称操作使晶格保持不变： E：不动， C2(z)：绕z轴的2-度转动， C2(x)和C2(y) ：绕x轴和y轴的2-度转动， 1和2：关于对角平面反射 iC4和iC4-1：关于z轴4-度转动接着中心反演

z y x 选三个函数作为基矢建立一个3-维函数空间用八个对称操作作用到三个基矢，例如：

z y x 24次操作的结果:

根据函数变换的基本公式 则可以求得3-维表示。例如对于D(C2(z))

所以这个3-维表示为： 为方块对角矩阵，为右下角元素组成的1-维不可约表示D(1)及左上角元素组成的2-维不可约表示D(2)，则3-维可约表示可写成直和的形式：所以用(x, y, z)为基矢求得的表示是可约化的。

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