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乘法公式. b. a. a. x × x = x 2. 隨堂練習 1 、如果有一個正方形,它的邊長是 x ,那麼它的面積為何 ?. 則其面積= a × a =. 7. 3. 4. 長. 面積公式: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本 p4. 1 、我們已經知道長方形的面積=長 × 寬,所以:. a. (1) 一個長為 a 、寬為 b 的長方形面積. ab. = a × b( 或 b × a ) = ( 或 ). ab. ba. (2) 如果長與寬都是 a ,即以 a 為邊長的正方形,. a 2.
E N D
b a a x × x=x2 隨堂練習1、如果有一個正方形,它的邊長是x,那麼它的面積為何? 則其面積=a × a= 7 3 4 長 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p4 1、我們已經知道長方形的面積=長×寬,所以: a (1)一個長為a、寬為b的長方形面積 ab =a × b(或 b × a )=(或) ab ba (2)如果長與寬都是a,即以a為邊長的正方形, a2 2、如果有一長方形,其長為7+3,寬為4 如圖,可知長方形面積=10 × 4=40 4 ×( 7 + 3 ) 即( 7 + 3 )×4 = 4×7 + 4×3 = 7×4 + 3×4 利用分配律 = 28+12 =40
隨堂練習1、如果有一個正方形,它的邊長是x,那麼它的面積為何?隨堂練習1、如果有一個正方形,它的邊長是x,那麼它的面積為何? x × x=x2 2、如果有一個長方形,它的長是x,寬是3 那麼它的面積為何? x × 3=3x a+b c+d 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p4 3、如果有一長方形,其長為a+b,寬為c+d (其中a、b、c、d均為正數 ),如圖,可知長方形面積= (a+b)(c+d)
寬 長 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p5 2、如果有一長方形,其長為a+b,寬為c+d (其中a、b、c、d均為正數 ),如圖,可知長方形面積=a × c+b × c+a × d+b × d ac bc 證明:長方形面積為( a + b )( c + d ) ad bd a × c + b × c + a × d + b × d = + ad + bc ………2題答案 = ac + b d 證明:長方形面積為( a + b )( c + d )
我們稱ac+bc+ad+bd為( a + b )( c + d )的 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p5 3、其實對於任意數a、b、c、d,不論正負,均可利用「分配律」得到:( a + b )( c + d )=( a + b ) × +( a + b ) × =a × +b ×+a × +b × c d c c c d d = ac + bc + ad + bd 展開式
面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式) 4、利用3.所得的結果,我們可推得: (1) ( a + b )( c - d )=ac bc ad bd ( a + b )【 c +(- d )】 +a × (-d) +b × (-d) =ac + bc - - =ac bc ad bd + (2) ( a - b )( c - d ) - - bc + bd = ac - ad
a × c + b × c + a × d + b × d = 40 × 50 = 2491 2000+350+120+21 = = 47 × 53 2491 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p5 例題一:講義p7---2t(1)先將公式(1)中的a、b、c、d分別用下列各數值代入,看看會得出什麼樣的式子,再檢查這個式子等號兩邊的數其值是否相等。(1)a=40, b=7, c=50, d=3 40 7 (40+7) ×(50+3) 50 3 + 7 × 50 + 40 × 3 + 7 × 3 2000 350 120 21 47×3… 141 235 47×50… 47 × 53 = 2491
a × c + b × c + a × d + b × d = 40 × 50 = 2000-350-120+21 1551 = = 33 × 47 1551 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p5 例題一:講義p7---2t(2)先將公式(1)中的a、b、c、d分別用下列各數值代入,看看會得出什麼樣的式子,再檢查這個式子等號兩邊的數其值是否相等。(2)a=40, b= -7, c=50, d= - 3 40 -7 【40+(-7)】 ×【50+(-3)】 -350 50 -3 -120 + (- 7) × 50 + 40 ×(- 3) + (-7) × (-3) 2021- 470 231 132 33 × 47 = 1551
x × x + x × 2 + x × 3 + 2 × 3 = x2 = x2+ 5x+6 = x 2 x 3 面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p8 例題二: 先將公式(1)中的a、b、c、d分別用下列各數值代入,看看會得出什麼樣的式子,再檢查這個式子等號兩邊的數其值是否相等。(2)a=x, b= 2, c=x, d= 3 (x+2) ×(x+3) + 2x + 3x + 6 第三章課程x2+ 5x+6= (x+2) ×(x+3)
面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p5 講義p14 part2----2 如右圖,將一個長方形分成四部面積分別為ac、cd、ab、bd 則長方形的面積為下列何者? (A) (a+b)(c+d) a×c bc (B) (a+c)(b+d) a×d bd (C) (a+d)(b+c) (D) (a-b)(c-d) a d c ac cd 答:C b ab bd
面積公式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (二項積公式)課本p5 講義p14 part2----6 如右圖,將一個正方形分成四部面積,分別為a2、ab、ab、b2 則正方形的邊長為下列何者? (A) a2+b2 (B) a+b (C) a-b (D) a2-b2 a b ab b2 b aa 答:B ab a a2
100 4 100 4 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(和的平方公式)課本p9 二、(a+b)²= a²+2ab+b² (和的平方公式) 1、我們已經知道( a )2=a2,且( a × b )2= ( a × b ) ( a × b ) =a2 × b2,則( a + b )2是否也與a2 + b2相同呢? 不相同 2、如果一個正方形,其兩邊均為a+b(其中a、b均為正數), 如圖,可知 正方形面積 =a × a +b × a +a × b +b × b a2 ba +ba +ab +b2 =a2 ab b2 =a2+2ab+b2 正方形面積即( a + b )2= a2+2ab+b2 例:正方形面積即1042=( 100 + 4 )2 10000 800 16 = 1002+ 2×100×4+42 = 10000+ 800 +16 = 10816
5 3 5 3 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(和的平方公式) • 所以我們可以回答1.的問題:( a + b )2a2+ b2 其實我們用數字代入也可立即明白兩式並不相等。 例如:令a=5,b=3代入,左式=( 5 + 3 )2=82=64, 右式=52+32=25+9=34 ,6434,故可得知 課本p9隨堂練習1、當a=30,b=7時,檢查和的平方公式等號兩邊 的數其值是否相等。 左式=( 30 + 7 )2=372=1369 左式= 302+2 × 30 ×7 +72 = 900 +420 +49 = 900 +420 +49 = 1369 900 420 49
7 3 7 3 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(和的平方公式) 課本p9隨堂練習2、判斷下表左邊的等式對或錯?若錯誤請加以更正: 講義p7---3s (7+3)2 =72+2 × 7 ×3+32 (5+6)2 =52+2 × 5 ×6+62 7 ×3 7 ×3
10 0.6 10 0.6 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(和的平方公式) 課本p9例題三利用和的平方公式,計算10.62 0.6 ×0.6 10.62 = ( 10 + 0.6 )2 0. 36 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 ( 10 + 0.6 )2 = 102 + 2 × 10 × 0.6 + 0.62 = 100+ 12 + 0.36 = 112.36 10012 0.36
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(和的平方公式) 講義p14part1---3已知 9.42 =92 + 2 × 9 × 0.4 + a,則a=? 0.4 ×0.4 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 0. 16 9.42 =( 9 +0.4 )2= 92 + 2 × 9 × 0.4 + 0.42 9.42 = 92 + 2 × 9 × 0.4 + a 答:B
三、(a-b)²=a²-2ab+b²(差的平方公式) (a+b)2=a2+2ab+b2(和的平方公式) 如果正方形的邊長為a-b( 其中a、b均為正數,且a>b ),如圖,可知( a - b )( a - b )+b × ( a - b )+( a - b ) × b +b × b=a × a,則( a - b )2=a2-2b( a - b )-b2= 則( a - b )2= ( a - b )( a - b )…粉紅色 = a2 ab b(a-b) 淡綠色 =a2-ab-(ab-b2) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 (a-b )2+b × (a-b)+(a-b) × b +b2=a2 (a-b )2+2b(a-b)+b2=a2 (a-b )2=a2-2b(a-b)-b2= a2-2ba+2b2-b2 =a²-2ab+b²
- - 三、(a-b)²=a²-2ab+b²(差的平方公式) 1、其實在公式(a+b)²= a²+2ab+b²中,若以-b代替b,也可得【a+(-b)】2=a2+2 × a ×+ (-b) (-b)2 =a²2abb² - + a² -ab -ab (-b)2 講義p17---36如右圖,一長方形被分割成六個小長方形,其面積分別為ab、ae、bc、ce、bd、de,則此長方形的總面積為何? (A) (a+b+d)(c+e) a c d (B) (a+c+d)(b+e) b (C) (a+b+c)(d+e) (D) (a+c+e)(b+d) e
三、(a-b)²=a²-2ab+b²(差的平方公式)課本p10三、(a-b)²=a²-2ab+b²(差的平方公式)課本p10 ( a - b )2 =a2 -ab -ab +b2 =a2-2ab+b2 例:9.92 =(10 - 0.1 )2 10 0.1 =a²- 2 a b + b² =10²- 2 ×10 × 0.1 + 0.1² 10 =100- 2 + 0.01 =98.01 0.1
三、(a-b)²=a²-2ab+b²(差的平方公式)課本p10三、(a-b)²=a²-2ab+b²(差的平方公式)課本p10 10004 400 例:982 =(100 - 2 )2 9 6 0 4 =a²- 2 a b + b² =100²- 2 ×100 × 2 + 2² 100 =10000- 400 +4 2 =9604 100 2
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2(差的平方公式) 課本p11隨堂練習2、判斷下表左邊的等式對或錯?若錯誤請加以更正: 講義p7---3t (9-7)2 =92-2 × 9 ×7+72 (6-3)2 =62 - 2×6 ×3+32 (3)2 =(-3)2=9
b a-b a-b 四、 a²-b²=(a+b)(a-b) (平方差公式) 1、仔細觀察下圖(一)(其中a、b均為正數),若將圖中甲、乙兩塊小長方形重新組合成下圖(二),可知( a+b ) ( a-b )=a2b2 課本p11-12 - 圖(一) 圖(二) 我們也可以利用公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,以a替代c,以-b替代d,得( a+b ) ( a-b )=a × a+b × a+a × (-b)+b × (-b)= (a + b) × (a-b) -b2 =a2 -ab +ab = a2-b2
四、 a²-b²=(a+b)(a-b) (平方差公式) 課本p11可以利用直式計算,也可以用公式 106×94 =(100+6)× (100-6) -36 =10000 -6000 +6000 =9964
課本p12隨堂練習(a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式)課本p12隨堂練習(a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 在下述情形中,檢查平方差公式等號兩邊的數其值是否相等:(1) a= 9,b=14(2) a=-2,b=5 (a+b)(a-b) =(9+14)(9-14) 解:(1) 左式 =23 × (-5) =-115 右式 a²-b² =9²-14² =81-196 =-(196-81) 答:左式=右式 =-115 (2) a=-2,b=5 (a+b)(a-b) =(-2+5)(-2-5) 左式 =3 ×(-7) =-21 a²-b² 右式 =(-2)²-5² =4-25 =-21 答:左式=右式
25 × 25 625 (a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 五、公式的別稱: 1. (a+b)²= a²+2ab+b² ,又稱為 2. (a-b)²=a²-2ab+b² ,又稱為 3. a²-b²= (a+b)(a-b) ,又稱為 和的平方公式 差的平方公式 平方差公式 課本p12例題四:利用平方差公式,計算下列各題: (1) 2502 × 2498 ( a + b) ( a - b) 25×5… =(2500 +2 ) × (2500 -2 ) 125 50 25×20… =25002-22 =6250000-4 25002 =6249996 =2500 × 2500 6250000- 4 =25 ×100× 25 ×100 =625 ×100×100 6249996
(a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 課本p12例題四:利用平方差公式,計算下列各題: (2) 100.3 × 99.7 ( a + b) ( a - b) =(100 +0.3 ) × (100 -0.3 ) 10000- 0.09 =1002-0.32 9999.91 =10000-0.09 =9999.91
=(9 + ) × ( )2= =92- 2 ( ) (9 - ) (a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 課本p12例題四:利用平方差公式,計算下列各題: (3) ( a + b) ( a - b) =81- =80
(a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 課本p13隨堂練習:利用平方差公式,計算下列各題: (1) 1007 × 993 ( a + b) ( a - b) =(1000 +7 ) × (1000 -7 ) 1000000- 49 =10002-72 999951 =1000000-49 =999951
(a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 課本p13隨堂練習:利用平方差公式,計算下列各題: (2) 1.03 × 0.97 ( a + b) ( a - b) =(1 +0.03 ) × ( 1 -0.03 ) 1- 0.0009 =12-0.032 0.9991 =1-0.0009 =0.9991
( )2= =(1 + ) × (1 - ) =12- 2 ( ) (a+b)(a-b)=a²-b²(平方差公式) 課本p13隨堂練習:利用平方差公式,計算下列各題: (3) ( a + b) ( a - b) =1- =
課本p14自我評量、講義p6---1s 1、連連看:將左、右兩邊相等的式子連起來 72-2 × 7 ×3 +32 (7 +3 ) (7+3 ) = (7 +3 ) 2 72-32 (7 -3 ) (7 -3 ) = (7-3 ) 2 (7 +3 ) (7 -3 ) 72+2 × 7 ×3 +32 (a-b)² a²-b² (a+b)(a-b) a²-2ab+b² (a+b)² a²+2ab+b² 五、公式的別稱: 1. (a+b)²= a²+2ab+b² 2. (a-b)²=a²-2ab+b² 3. a²-b²= (a+b)(a-b)
課本p14自我評量、講義p6---1t 2、利用本節所學的乘法公式,展開下列各式: (1) (s +t ) 2 =s2+2st +t2 ( a + b)² = a²+2ab+b² (2) (s-t ) 2 =s2- 2st +t2 (3) (s +t ) (s -t ) =s2- t2 (4) (s +t ) (m+n ) =sm + sn +tm +tn 五、公式的別稱: 1. (a+b)²= a²+2ab+b² 2. (a-b)²=a²-2ab+b² 3. a²-b²= (a+b)(a-b)
課本p15---3自我評量、講義p12---14t (1)如右圖,從一個邊長為a的正方形右下角剪去一個邊長為b的小正方形後,所得出的圖形面積是多少? 註:甲、乙兩梯形可拼成一個長方形 答:a2-b2 (2)再沿著右圖的虛線剪成甲、乙兩個梯形,則這兩個梯形的兩底各為多少?高又是多少? 答:兩底均為a與b,高均為a-b (3)這兩個梯形可以拼成一個長方形嗎?它的長與寬各是多少?面積是多少? 答:可以;將甲翻轉與乙緊密相接,如右圖所示: 長為a+b、寬為a-b,面積是(a+b)(a-b) (4)再由(1)中圖形的面積與(3)中長方形形的面積相等,你能列出怎樣的等式? 答: a2-b2=(a+b)(a-b)