유체역학 환경공학과 20071518 한승희

1. 유체역학환경공학과 20071518 한승희 제2장 숙제 및 예제풀이.

2. 유체내한점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대하여 같다는 것을 증명하라. 이러한 사실을 입증하기 위하여 정지유체내의 한 점 (x,y)에서 단위 폭을 갖는 쐐기모양의 자유물체를 택하여 이것에 대한 힘의 평형을 생각하여 본다(그림 2.1). 이 경우 전단력은 작용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y 방향의 운동 방정식은 각각 다음과 같이 표시된다.

3. 이 경우 전단력은 작용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y 방향의 운동 방정식은 각각 다음과 같이 표시된다. 여기서, px, py, ps는 각각 세 면에 작용하는 평균압력이고, 는 유체의 비중량, 는 밀도, ax, ay는 가속도의 x, y 성분이다 θ를 그대로 유지하면서 경사면을 점 (x, y)에 접근 시키는 방법으로 자유물체의 크기를 0으로 축소시켜 극한을 취하고 기하학적 관계인

4. 를 고려하면 방정식은 다음과 같이 간략화 된다. 두 번째 식의 마지막 항은 高位(고위)의 無限小(무한소)이므로 무시할 수 있다. δy와δx로 나눈 다음 두 방정식을 조합하면 다음 관계를 얻는다. θ를 임의의 각으로 택하였으므로 위의 식은 정지유체 내에서 한 점에 작용하는 압력은 모든 방향에서 같음을 증명해 주고 있다. 이 증명은 2차원인 경우를 증명한 것이지만, 3면의 좌표평면과 1면의 임의의 경사면을 갖는 작은 삼각뿔의 유체입자에 평형방정식을 적용하면 3차원에 대해서도 똑같이 증명할 수 있다.

5. 유체가 움직여서 한 층이 인접층에 대하여 상대운동을 한다면 전단응력이 발생하계 되어 일반적으로 한 점에 작용하는 수직압력이 모든 방향에서 같아지지 않게 된다. 이 경우 한 점에 작용하는 압력은 그 점에 작용하는 임의의 직교 삼축 압축응력의 평균으로 정의된다. 점성계수가 0인 가상유체, 즉 마찰이 없는 유채에서는 유채가 어떤 운동을 하더라도 전단응력이 발생하지 않으므로 한 점에서의 압력은 모든 방향에서 같다.

6. 정지유체에서의 압력에 대한 식을 Newton의 제2법칙을 적용한 Euler 방정식으로부터 유도하라. 정지유체내의 요소에 작용하는 힘은 표면력(surface force)과 체적력(body force)으로 구성된다(그림 2.2). 체적력으로서 중력만이 작용한다고 가정할 때, 연직 상방향을y축으로 택하면 체적력은y방향으로 가 작용한다. 중심 (x, y, z)에서의 압력을 p라 할 때 y축에 수직하고 원점에 가장 가까운 면에 작용하는 힘은 근사적으로 이고 반대 면에 작용하는 힘은

7. 그림 2.2정지유체속의 직육면체 요소.

8. 이다. 여기서 δy/2는 중심으로부터 y축에 수직하는 면까지의 거리이다. y방향으로 작용하는 힘을 합하면 다음과 같다. x와 z방향에 대해서는, 이 방향의 체적력성분이 존재하지 않으므로 그러므로 그림2.2의 요소에 작용하는 힘 벡터 δF는 다음과 같다.

9. 로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면 와 같이 표시된다. 이 값은 한 점에서 단위부피당 작용하는 결과력을 의미하며, 정지유체 중에서는 그 크기가 0이 되어야 한다. 괄호안의 양은 구배(gradient)로서 ∇로 표기하고 del이라고 부른다. 8.2절로부터 다음 식을 얻는다 그리고 p의 음기울기 -∇p는 압력에 의해 단위체적에 작용하는 표면력의 벡터장f이다.

10. 결국 압력변화에 관한 정역학법칙은 다음과 같이 된다. 운동하고 있는 비점성 유체나, 혹은 유체내 모든 점에서 전단응력이 0이 되도록 흐르는 유체에 Newton의 운동 제 2법칙은 다음과 같은 형으로 표시된다. 여기서 a는 유체요소의 가속도이다. (f - jr)는 중력이 체적력만으로써 작용할 때 유체에 작용하는 결과력이다. 식 를성분별로 나누어 표시하면 아래의 식이 된다.

11. 수평방향의 압력변화를 나타내는 편미분계수 는 일종의 Pascal의 원리를 나타낸 것이다. 즉, 연속되어 있는 정지유체 내에서 같은 높이에 있는 두 점에서의 압력은 같다는 것을 말해준다. p는 y만의 함수이므로 이다. 이 간단한 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다.

12. Derive the pressure equation of the compressible fluid for the constant temperature and varying temperature. 한 유체가 등온 하에서 정지 상태에 있는 완전기체라 할 때 식 로부터다음 식을 얻을 수 있다.

13. 만일 의 단위로서 를 사용하면 임을 명심하여야 한다.에서 로 놓고 이 적분한계에대하여정적분을하면 로부터 을 얻는다. 여기서 ln은 자연대수이다. 이 식은 등온 기체 내 에서의 고도에 따른 압력고도를 나타내는 방정식이다.

14. 대기는 흔히 다음과 같이 일정온도기울기를 갖는다고 가정한다. 標準大氣(표준대기)에서는 성층권에 이르기까지 (-0.00651 K/m)이다. 완전기체의 법칙으로부터, 밀도는 압력과 고도의 항으로 표시될 수 있다. 에 대입하고, 변수분리 하여 적분하면 를 의 항으로 얻어질 수 있다.

15. Derive the moments of inertia of simple areas about centroidal axis for the figures such as follows

17. [예제 2.6] 삼각 수문(gate) CDE(그림 2.12)가 CD를 따라 힌지(hinge)E로 연결되어 있고 에 작용하는 수직력P에 의하여 열려진다. 수문 윗부분에는 비중 O.8인 기름이 채워져 있고 아래 부분은 대기 중에 개방되어 있다. 수문의 무게를 무시하고 다음을 구하여라. (a) 수문에 작용하는 힘의 크기를 적분으로, 그리고 식 (2.5.2)를 적용하여 구하라. (b)압력중심의 위치, (c)수문을 여는데 필요한 힘의 크기 P 그림2.12 삼각 수문

18. <풀 이>, • 그림 2.12를 참조하여 적분하면 • x가 y에 따라 선형적으로 변화하고, y = 4에서 x = O, y = 6.5에서 x=3이므로 • a, b에 관해서 풀고, a, b의 값을 제 1식에 대입하여 x의 값을 y의 항으로 나타낼수 있다. • 같은 방법으로 으로부터 • 따라서

19. 이 식을 적분하고 의 값을 대입하면, 합력의 크기를 얻는다 식 (2.5.2)로부터 (b) 도시된 좌표축에 대하여 도심의 위치는 이다. 식 (2.5.8)을 다시 쓰면

20. 작용면은 x축에 평행한 도심축에 관하여 대칭이므로 , 따라서 이다. 식 (2.5.11)로부터 즉, 압력중심은 도심보다 수문면을 따라 측정해서 O.32 ft 아래에 위치한다. (c) 기름에 의한 효과를 합력으로 대치하고, CD에 관한 모멘트평형을 취하면

21. [예제 2.7] 수로의 높이가 일정 높이 [그림 2.14(a)]로 되면 수문이 열려 물이 쏟아지도록 설계된 구조물이 있다. 수문은 2,500 의 무게를 갖는 강철판으로 되어있다. 높이 를 구하라.

22. 압력프리즘의 개념을 사용한다. 紙面(지면)에 수직으로 단위 폭을 갖는 수평부분 [그림 2.14(b)]에 작용하는 힘을 밑면적 , 일정높이 인 압력프리즘의 부피로 주어지므로 그 크기가 이고 압력중심은 밑면의 圖心이 된다. 수직면의 압력프리즘은 밑면이 이고 높이가 0부터 까지 변하는 쐐기모양이다[그림 2.14(c)]. 평균높이가 이므로 이다. 쐐기모양 프리즘의 체심은 힌지로부터 높이에 있다. 수문 밑면부분의 강판 무게 3,000N이 그의 중심에 작용한다. 그림 2.14(d)는 모든 힘과 모멘트 계산을 위한 거리가 圖示(도시)되어 있다. 수문이 기울기 시작하려는 순간의 높이 y에 대하여 평형방정식을 세우면, 힌지에 대문이 기울기 시작하려는 순간의 높이 y에 대하여 평형방정식을 세우면, 힌지에 대한 모멘트 합이 0이어야 하므로 위 방정식은 두개의 근 중 오직 하나만이 식의 근을 갖는다. 그 값은 2와 3사이의 값임을 쉽게 알 수 있다. Newton-Raphson법(부록 B.5)을 사용하면 이 방법은 일종의 逐次法(축차법)이다.

23. y의 초기값을 적절히 가정한다. 예컨대, y=2.5 로 하고 식의 우변에 대입하면 좀 더 근접한 y값이 나온다. 세 번 반복하여, y=2.196m를 얻는다.

24. [예제 2.8] 평면에 작용하는 압력에 의한 힘의 한 응용으로서 중력댐(gravity dam)의 설계가 있다. 댐에 작용하는 힘들로부터 댐 밑면에서의 최대압축응력과 최소압축응력을 계산할 수 있다. 그림 2.15는 콘크리트 댐의 한 단면을 표시한 그림이다. 콘크리트의 비중량은2.5 이고, 는 물의 비중량이다. 폭 1ft의 댐을 자유물체로 생각한다. 자유물체에 작용하는 힘들은 콘크리트, 물, 기초압력(foundation pressure) 그리고 靜水力學的隆起(정수력학적 융기)(hydrostatic uplift)등에 의한 힘을 들 수 있다. 정수력학적 융기의 크기를 결정하는 문제는 이 책의 정도를 벗어나지만, 여기서는 댐의 상단에서 靜水壓力水頭(정수압력수두)(hydrostatic head)의 1/2이 작용하고, 이것이 선형적으로 감소하여 하단에서는 0이 된다고 가정한다. 충분한 마찰력, 다시 말해서 전단응력이 댐의 밑바닥에 발생되어 수압에 의하여 댐을 밀어내는 힘과 평형을 이루어야 한다. 즉, 이다. 밑바닥에서 댐을 밀어 올리려는 結果力(결과력)은 댐의 무게에서 諦水力學的 隆起力(정수력학적융기력)을 뺀 것과 같다. 즉, 이고, 작용점은 자유물체가 평형을 이루는 점이다. 0점에 관한 모멘트를 취하면

25. 그림. 2.15 콘크리트 중력댐

26. 그리고 통상 기초압력은 댐 밑면에 걸쳐 선형적으로 변화하는 것으로 가정한다. 즉, 압력 프리즘은 와 같은 부피를 갖는 사다리꼴이 된다. 따라서, 의 단위라 표시한 최대, 최소압축응력이다. 압력프리즘의 體心(체심)은 지점에 위치한다. 체심의 위치를 의 항으로 나타내기 위하여 점0에 관한 모멘트를 취한다. 이 식을 정리하면

27. 따라서 을 얻는다. 밑면에 작용하는 합력의 작용점이 댐 밑면을 3등분 했을 때 중앙부분에 오기만 하면 은 항상 압축응력이 된다. 콘크리트는 引張(인장)에 매우 취약하므로 좋은 설계가 되기 위해서는 합력이 밑면의 3등분 중 중앙에 작용하도록 설계하는 것이 요망된다.

28. 곡면에 작용하는 합력의 수평성분을 구하는 방법을 그림을 이용하여 식을 포함하여 설명하라. 곡면에 작용하는 전압력의 수평성분은 곡면의 연직투영 면적에 작용하는 전압력과 같다. 연직투영면과 수평성분의 방향은 서로 수직한다. 그림 2.18의 곡면은 임의의 3차원 곡면을 나타내고 있다. 는 미소 면적소이고 에 수직한 수직선은 음의 x축과 θ의 각을 이룬다. 의 한쪽 면에 작용하는 전압력의 x방향성분은

30. 여기서 는 x축과 수직한 평면에 대한 의 투영면적과 같다. 그러므로 의 투영면적에 작용하는 힘의 크기는 이고, 이 힘의 방향은 x축 방향이다. 각각의 면적을 x축에 수직한 평면에 투영시켜 합한 면적은 곡면 전체를 x축에 수직한 연직면에 투영시킨 면적과 같다. 따라서 연직면에 사용한 곡면의 투영면적에 작용하는 전압력은 곡면에 작용하는 전압력의 투영면에 수직한 방향의 수평성분과 같다. 곡면에 작용하는 전압력의 x축에 수직한 방향의 수평성분(y 방향)을 구하려면, x축과 평행한(y축에 수직한)연직면에 그 곡면을 사용한 투영면적에 작용하는 전압력을 계산하면 된다. 閉物體(폐물체)(closed body)에 작용하는 전체 압력의 수평성분을 계산할 때, 어느 한 面素(면소)에 대하여, 물체 반대쪽 面素에 投影面積(투영면적)은 그림 2.19에 도시한 바와 같이 크기가 같고 부호가 반대이므로, 한 연직면에 사용한 그 곡면의 투영면적은 항상 0이 된다.x축에 평행한 중심축을 갖고 폐물체와B와 C에서 교차하는 단면적이 인 작은 원통을 생각하라. 만일 원통에 의하여 잘려지는 그 물체의 표면적을 각각 B점에 대하여 C점에 대하여 라고 하면, 는 음의 값을 가지므로 따라서 원통 양단에서 같은 압력을 갖고 와 같이 된다. 같은 논리로 다른 모든 面素에 대하여도 같은 결과를 얻는다

31. [예제 2.10] 물속에 잠겨 있는 타원체의 방정식이 이다. 물체의 중심은 자유표면으로부터 2m 아래에 위치하고 있다. 타원체의 8분의 제1상한에 해당하는 부분의 겉 표면에 작용하는 전압력의 수평성분을 구하라. xz평면을 수평면, 鉛直上方(연직상방)을 양의 y방향으로 잡는다. <풀 이> yz평면에 대한 투영면적은 이고, 수심은 자유표면 아래 2-(4/3)(2)m에 위치한다. 따라서 같은 방법으로

32. [예제 2.11] 원통 장애물이 그림과 같이 물을 막고 있다(그림2.22). 원통 벽면의 접촉은 매끄럽다. 폭 1m인 원통에 대하여 다음을 구하라. (a)원통의 무게 (b)벽면에 미치는 힘.

33. <풀 이> 평형상태 하에서 원통의 무게는 수압으로 원통에 작용하는 전압력의 연직성분 과 일치한다.(CD부분에 대한 假想(가상) 자유표면은 A와 같은 높이에 있다.) AB에 작용하는 연직력은 이다. 따라서 단위길이 당 원통의 무게는 (b) 벽면에 작용하는 힘은 ABC에 작용하는 전압력의 수평성분에서의 CD에서의 수평성분을 뺀 것이다. BC와 CD에서의 수평성분은 서로 상쇄되므로 연직면에 작용하는 BCD의 투영면적은 0이다. 그러므로 이다. 위의 계산에서 투영면적은 2 이고 투영면 도심에서의 압력은 9,806 Pa이다.

34. 구에 작용하는 인장응력을 구하라. 두께가 얇은 구가 내압을 받는 경우 벽면에 작용하는 응력은 구안에 있는 유체의 두께를 무시하고, 연직평면으로 자른 半球(반구)를 자유물체로 택하여 이에 작용하는 힘에 대한 평형방정식을 생각하면 계산할 수 있다. 반지름r인 반구의 內面(내면)에 작용하는 힘의 압력에 의한 힘의 절단면에 수직한 성분은 이다. 벽두께 e인 벽면의 단면적 에 인장응력 를 곱한 것은 압력에 의한 평형이 되어야 한다. 따라서

35. 다음 그림을 이용하여 부력의 크기와 작용점에 대한 식을 유도하라.

36. 그림 2.25에서 단면적 인 연직기둥 모양을 하고 있는 체적素에 작용하는 연직력은 전 체적을 통하여 일정할 때 전 체적에 걸쳐 적분하면 부력의 작용선을 구하기 위하여 임의 축 0에 관한 모멘트의 합을 부력의 이 축에 관한 모멘트와 같게 놓는다. 즉, 여기서 는 축 0로부터 작용선까지의 거리이다. 이 식은 역시 배제체적의 體心(체심)까지의 거리를 의미한다. 그러므로 부력의 작용선은 물체에 의해 배제된 체적의 체심을 통과한다. 이는 잡긴 물체나 떠 있는 부양체 모두에 적용된다. 배제된 유체체적의 체심을 浮心(부심)(center of buoyance)이라 한다. 잠겨 있거나 떠 있는 물체에 관한 靜力學的(정역학적) 문제를 푸는 경우, 일반적으로 그 대상물체를 자유물체로 취급하고 자유물체로 취급하고 자유물체도를 그린다. 유체에 의한 작용력을 부력으로 대치한다. 이때 다른 표면력과 함께 물체의 무게(무게 중심에 작용하는 힘으로)를 반드시 고려하고 圖示(도시)하여야 한다.

37. 다음 그림과 같이 두 가지 유체 속에 넣은 물체의 부피와 무게를 유도하라. 임의 형태를 한 물체를 서로 다른 두 가지 유체 속에 집어넣고 무게를 달면 그 물체의 무게, 체적, 비중량 및 비중을 계산할 수 있다. 그림 2.26은 같은 물체를 두 가지 유체 속에 넣고 무게를 재는 자유물체도이다. 를 각각 두 유체속에서 잰 물체의 무게, 를 각 유체의 비중량이라 하면 물체의 무게 W와 부피V는 평형방정식

38. 으로부터 과 같이 된다. 액체比重計(비중계)(hydrometer)는 부력의 원리를 이용하여 액체의 비중을 알아내는 계기이다. 그림 2.27은 두 액체에 들어 있는 비중계를 그려 놓은 그림이다. 비중계 기둥의 단면적을 a라고 가정한다. 왼쪽 그림에 있는 액체를 비중 인 증류수라 하면 비중계는 (2.72) 일 때 평형을 이루고, 물속에 떠 있게 된다. 여기서 물의 비중량이다.

39. 다음 그림을 이용하여 비중계의 눈금을 정하는 방법을 설명하고, 눈금이 정해진 비중계를 이용하여 비중을 구하는 방법을 설명하라.

40. 과 같이 표시된다.를고려하고, 식 (2.7.2)와 식 (2.7.3)으로부터 에 관해서 풀면 과 같이 주어진다. 이 식으로부터 비중계의 기둥에 비중을 읽을 수 있는 눈금들을 표시할 수 있다.

41. [예제 2.15] 배수 질량이 1Mkg이고 수면에서의 수평단면이 그림 2.32와 같은 바지선이 있다. 부심은 수면 아래 2.0m에 있고 중심은 수면보다 0.5m 아래에 있다. 배가 y-y축 주위로 좌우로 흔들릴 때(rolling)와 x-x축에 대해 앞뒤로 흔들릴 때(pitching) 경심의 높이를 구하라.

42. 그림 2.32 수면에서 배의 수평단면

43. <풀 이>

44. [예제 2.17] 밑면 6×6, 높이 2인 밀폐상자에 액체가 절반이 차 있다(그림 2.35). 상자는인 線型等加速度(선형등가속도)로 가속되고 있다. 밑면에서의 압력변화를 나타내는 방정식을 유도하라.

45. <풀 이> 자유표면의 기울기는 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2.9.2)는 p = 0 for y = 0, x = 4.5; so p0 = 2.25γ. Then, for y = 0, along the bottom 가 된다. 에서 이므로 , 따라서 으로 하여 밑면의 방정식을 구하면

46. When a free surface occurs in a container that is being rotated, the fluid volume underneath the paraboloid of revolution is the original fluid volume. The shape of the paraboloid depends only upon the angular velocity with respect to the axis (Fig. 2.37). The rise of liquid from its vertex to the wall of the cylinder is, from Eq. (2.9.6), for a circular cylinder rotating about its axis. Since a paraboloid of revolution has a volume equal to one-half its circumscribing cylinder, the volume of the liquid above the horizontal plane through the vertex is

47. 용기의 회전으로 회전포물면의 자유표면이 형성되었을 때 자유표면 밑에 있는 액체의 부피는 원래 부피와 같다. 즉, 부피의 변화가 없다. 포물면의 형태는 각속도ω 에 따라서만 좌우된다. 액체가 들어 있는 원통이 축 주위를 회전하는 경우(그림 2.37) 벽면에서 液面(액면)의 정점으로부터 상승높이는 식 (2.9.6)으로부터 이다. 회전 포물체의 부피는 그를 둘러싼 원통부피의 1/2이므로 정점을 지나는 수평면 위에 있는 액체부분의 부피는 그림 2.37 액체가 들어있는 원통의 축 주위 회전운동

48. 한편 정지하고 있을 때, 정점을 지나는 수평면 위의 액체는 일정 깊이 를 유지한다. 따라서 벽면에서의 액면이 상승하는 높이는 중심에서 정점이 하강하는 깊이와 같다. 그러므로 및 회전하기 전의 깊이가 주어지면 정점의 위치를 계산 할 수 있다.