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§ 11 ． 5 函数的幂级数展开式的应用

§ 11 ． 5 函数的幂级数展开式的应用. 一、近似计算. 二、欧拉公式. 复数项级数、. 绝对收敛. 复变量指数函数. 欧拉公式、. 欧拉公式的其它形式. 复数的指数形式、. 复变量指数函数的性质. 一、近似计算. 其误差 ( 也叫做截断误差 ) 为. 其误差 ( 也叫做截断误差 ) 为. 为了使“四舍五入”引起的误差 ( 叫做舍入误差 ) 与截断误差之和不 超过 10  4 ，计算时应取五位小数，然后四舍五入．因此最后得. 二、欧拉公式. 复数项级数：. 设有复数项级数

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§ 11 ． 5 函数的幂级数展开式的应用

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  1. §11．5 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、欧拉公式 复数项级数、 绝对收敛 复变量指数函数 欧拉公式、 欧拉公式的其它形式 复数的指数形式、 复变量指数函数的性质

  2. 一、近似计算 其误差(也叫做截断误差)为

  3. 其误差(也叫做截断误差)为 为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不 超过104，计算时应取五位小数，然后四舍五入．因此最后得

  4. 二、欧拉公式 复数项级数： 设有复数项级数 (u1 + iv1 )+ (u2 + iv2 )+ · · · +(un+ ivn )+ · · · 其中un，vn（n=1，2，3，…）为实常数或实函数．如果实部所 成的级数 u1 + u2 + · · · + un+ · · · 收敛于和u，并且虚部所成的级数 v1 + v2 + · · ·+ vn+ · · · 收敛于和v，就说复数项级数收敛且和为u+iv．

  5. 绝对收敛： 复变量指数函数： 考察复数项级数 此级数在复平面上是绝对收敛的，在x轴上它表示指数函数ex， 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez．即

  6. 欧拉公式： 当x = 0时，z = iy ，于是 = cos y + isin y． 把y定成x得 eix=cos x+ i sin x， 这就是欧拉公式．

  7. y z = x + iy r y q x O x 欧拉公式： eix=cos x+ i sin x． 复数的指数形式： 复数z可以表示为 z = r(cosq+ i sinq) = reiq， 其中r = | z |是z的模，q = arg z是z的 辐角． 欧拉公式的其它形式： 由eix=cos x+ i sin x及e－ix=cos x－i sin x，得 这两个式子也叫做欧拉公式．

  8. 复变量指数函数的性质： 特殊地，有ex+iy=exeiy=ex(cos y + isin y)．

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