第十四章 结构动力学

1. 第十四章 结构动力学

2. 简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载 • 14-1. 概述 1.1 动荷载及其分类 一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。 二.动荷载的分类

3. 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 1.2 结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：反应分析（结构动力计算） 第二类问题：参数（或称系统）识别 第三类问题：荷载识别。

4. 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 控制系统 （装置、能量） 第一类问题：反应分析（结构动力计算） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 第二类问题：参数（或称系统）识别 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 第三类问题：荷载识别。 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 第四类问题：控制问题 -----控制问题 -----正问题 -----反问题 -----反问题

5. 二. 结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力 特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用 下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。 1.3 结构动力分析中的自由度 一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有： 1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则） 集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。

6. ---广义坐标 ---基函数 1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则） 集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。 2) 广义坐标法 广义坐标个数即 为自由度个数 3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合，将无限自由 度问题化为有限自由度来解决。 结点位移个数即 为自由度个数 二. 自由度的确定

7. 4) 1) 平面上的一个质点 2) 6) 3) 计轴变时 W=2 不计轴变时 W=1 7) 二. 自由度的确定 W=1 W=2 5) W=2 W=2 弹性支座不减少动力自由度 W=2 自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。 为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。 W=1

8. 4) W=1 5) W=2 6) 10) W=2 自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。 7) W=1 二. 自由度的确定 8) 平面上的一个刚体 W=3 9)弹性地面上的平面刚体 W=3 W=2

9. 二. 自由度的确定 11) 8) 平面上的一个刚体 W=3 12) 9)弹性地面上的平面刚体 W=3 10) W=2 W=1 W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。

10. 施 力 物 体 m m m =1 l EI l 1.4 体系的运动方程 要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 运动方程 惯性力 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。 形式上的平衡方程，实质上的运动方程 一、柔度法 柔度系数

11. y 1 一、柔度法 m m =1 柔度系数 l l EI EI l 二、刚度法 刚度系数 刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。

12. =1 =1 m l EI l l EI l m l P(t) EI EI l/2 l/2 Pl/4 三、列运动方程例题 例1. 例2. 刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。

13. m 1 l EI EI l m l/2 EI EI l/2 三、列运动方程例题 例3. 例4. 刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。

14. 三、列运动方程例题 m 例3. 1 1 l EI EI l 例4. m l/2 EI EI l/2

15. m l EI EI l 1 l EI EI l EI EI 层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.

16. l EI EI l EI EI l EI EI l EI EI 层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.

17. ---P(t)引起的动位移 ---重力引起的位移 m EI l/2 l/2 W 三、列运动方程例题 例5. 质点的总位移为 加速度为 列运动方程时可不考虑重力影响

18. m1 m2 EI l/3 l/3 l/3 = 加 速 度 向 量 三、列运动方程例题 例6. 简记为 位移向量 荷载向量 柔度矩阵 质量矩阵

19. m2 m1 例7. = 刚度矩阵

20. 例7. m2 m1 = +

21. m2 例7. m1 A 2m m 2y(t) k y(t) 3y(t) l l l 例8 建立图示体系的运动方程

22. A B m EI l l 例9 建立图示体系的运动方程

23. 设 水平位移为x 竖向位移为y 转角为 2b 2a 例10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板,试建立运动方程. 总质量为M,转动惯量为J.

24. l EI • 2.单自由度体系的振动分析 • 2.1 不计阻尼自由振动 自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。 一.运动方程及其解 m 令 二阶线性齐次常微分方程

25. 令 其通解为 由初始条件 可得 一.运动方程及其解 m l EI 令 二阶线性齐次常微分方程 其中

26. 令 其通解为 由初始条件 其中 可得 与外界无关,体系本身固有的特性 A振幅 初相位角 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. 自振周期 自振园频率(自振频率)

27. 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. 自振周期 与外界无关,体系本身固有的特性 自振园频率(自振频率) A振幅 初相位角 三.自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式

28. 三.自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式 m 1 l EI (3)利用振动规律 幅值方程 位移与惯性力同频同步.

29. m l EI EI =1 l =1 l l l/2 三.自振频率和周期的计算 2.算例 例一.求图示体系的自振频率和周期. 解:

30. m/2 m l =1 l EI EI l EI l EI k l 1 k 例二.求图示体系的自振频率和周期. 解: 例三.质点重W,求体系的频率和周期. 解:

31. m m m k k l l l l 例四.求图示体系的自振频率和周期. 解: 1.能量法 A 2.列幅值方程

32. m ---荷载频率 P(t) l EI • 2.2 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼) 受迫振动---动荷载引起的振动. 一.运动方程及其解 P ---荷载幅值 运动方程 或 设 代入方程,可得 二阶线性非齐次常微分方程 通解 通解为 其中

33. m P(t) l EI 设 代入方程,可得 通解为 二.纯受迫振动分析 ---稳态振幅 ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 ---动力系数

34. 二.纯受迫振动分析 m P(t) ---稳态振幅 l EI ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 ---动力系数 1 1 ---频比

35. 增函数 减函数 为避开共振 一般应大于1.25 或小于0.75. ---稳态振幅 ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 ---动力系数 ---频比 1 1 0.75 1.25 ---共振 共振区

36. 增函数 ---共振 减函数 为避开共振 一般应大于1.25 或小于0.75. 通过改变频比可增加或减小振幅. 若要使振幅降低,应采取何种措施? 增加结构自频. 增加刚度、减小质量. 应使频比减小. 减小结构自频. 减小刚度、增大质量. 应使频比增大.

37. 例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 m l Pl/4 EI EI Pl/3 动弯矩幅值图 计算步骤: 三.动位移、动内力幅值计算 1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力； 2.计算动力系数； 3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。 解.

38. 例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知: Q l/2 l/2 l/4 解. 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移

39. m =1 P =1 仍是位移动力系数 是内力动力系数吗? [动荷载不作用于质点时的计算] 运动方程 振幅 令 稳态解

40. 同频同步变化 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 P P =1 m EI l/2 l/2 [列幅值方程求内力幅值] 解:

41. P 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 P P =1 解: m EI l/2 l/2 动弯矩幅值图

42. P 动弯矩幅值图 P m m k A l l l 例:求图示体系右端的质点振幅 o 解:

43. m • 2.3 阻尼对振动的影响 一.阻尼与阻尼力 阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。 c-----阻尼系数 二.计阻尼自由振动 运动方程 1.运动方程及其解 令 设 特征方程

44. 根为 令 由初始条件 二.计阻尼自由振动 运动方程 1.运动方程及其解 m 令 设 特征方程 小阻尼情况 临界阻尼情况 方程的通解为 不振动 --临界阻尼系数 超阻尼情况 ---阻尼比 不振动

45. 根为 小阻尼情况 令 临界阻尼情况 方程的通解为 不振动 --临界阻尼系数 由初始条件 超阻尼情况 ---阻尼比 不振动 2.振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼

46. 2.振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼 振动是衰减的 利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成 对数衰减率

47. 振动是衰减的 利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成 对数衰减率 2cm 例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 解: 1.阻尼比 1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数 2.刚度系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少

48. 例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,降绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 解: 1.阻尼比 1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数 2.刚度系数 2cm 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少 5.阻尼系数 3.无阻尼周期 6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少 4.重量

49. 三.计阻尼简谐荷载受迫振动 1.运动方程及其解 或 通解 设

50. 初位移、初速度引起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动 纯受迫振动