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Mathematical Foundation

cmijoa@sparcs.kaist.ac.kr 양승호. Mathematical Foundation. 수학이란 무엇인가?. 논리와 추상화의 결정체 자연의 객체와 자연과의 관계 추상화 자연수(1,2,3....) 자연과학의 언어 생물학의 경우는 제외 몇몇 공학의 이론적 기반 전산학은 수학없이는 학문이라기보다는 기술 너그럽게 봐주세요^^;. 수학이란 완전한가,무모순인가?. 수학의 한계는? 곰곰히 생각해보세요!. 수학 기초론의 역사. 유클리드부터 중세까지 모든 진리는 기하학으로 표현 가능하다고 생각

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Presentation Transcript

  1. cmijoa@sparcs.kaist.ac.kr 양승호 Mathematical Foundation

  2. 수학이란 무엇인가? • 논리와 추상화의 결정체 • 자연의 객체와 자연과의 관계 추상화 • 자연수(1,2,3....) • 자연과학의 언어 • 생물학의 경우는 제외 • 몇몇 공학의 이론적 기반 • 전산학은 수학없이는 학문이라기보다는 기술 • 너그럽게 봐주세요^^;

  3. 수학이란 완전한가,무모순인가? • 수학의 한계는? • 곰곰히 생각해보세요!

  4. 수학 기초론의 역사 • 유클리드부터 중세까지 • 모든 진리는 기하학으로 표현 가능하다고 생각 • Cantor • 무한의 등장 • 집합론 탄생 • Dedekind, Weierstrass • 자연수로 수학의 기초를 쌓음 • Dedekind, Peano • 집합론으로 자연수 표현

  5. 수학 기초론의 역사 • 집합론은 수학 기초의 핵심 • Paradox 등장 • Russell's paradox • Berry's paradox • 수학은 결국 모순적인 존재인가?

  6. 수학 기초론의 역사 • 집합론에 대한 다양한 시각및 해결 방법 • Axiomatic Approach • Platonic Realism • Intuitionist

  7. Axiomatic Approach • Axiom이란 무엇인가? • Euclid's 5th axiom의 논쟁이후, 전제로 이해 • Axiomatic Structure가 갖추어야 할 조건 • 완전성, 무모순성, 독립성 • 교황 = 러셀 ? • Axiom을 어떻게 선택하나? • Cantor's principle은 유도 가능 • Paradox 발생 않함 • 수학자는 모든 진리에 관심이 없음

  8. Axiomatic Approach • ZFC(Zermelo System) • 현대의 표준 • Not intuitive • BNG(Von Neumann System) • intuitive set theory spirit • Class 개념 사용 • KAIST 논리 및 집합에서 변형이 사용 • 그외에 더 있음

  9. Other Approach • Platonic Realism • 수학은 발명이 아니라 발견이다 • Intuitionist • 수학에 사용된 논리의 남용 지적 • 경험 중시 • constructive mathematics 추구

  10. 수학의 기초란? • 집합론 + 논리

  11. 논리란 무엇인가? • 진리를 보존하는 논증의 학문 • 우리의 논리는 완벽한가? • 믿을 수 있나? • 귀납법, 연역법

  12. Hilbert Program • 수학에 등장한 패러독스 • 무의미한 형식체계 • 나중에 의미 부여 • 모든 수학 체계의 공리적 형식화 • 완전성, 무모순성, 독립성 • 3년후, 불가능하다는 것이 밝혀짐

  13. Gödel's Completeness Theorem • 1929년에 증명됨 • first-order logic • Every logically valid formula is provable • Exist formal deduction of formula(provable) • 술어 체계 완전함 • 논리 체계를 의심할 필요 없음

  14. Truth vs Provability • 진리는 증명 이상의 것을 포함 • 즉, 참이나 증명할 수 없는 것이 존재함

  15. Example • CCM(Chocolate Cake Machine)

  16. Gödel's Incompleteness Theorem • 산술체계의 불완정성 • 참이지만, 증명 못하는 명제의 존재 • Hilbert program is impossible • GCH(매우 악명높은 문제) • 결국 수학 체계는 불완정하다

  17. Decidability • Decidable Problem • first-order logic • Kurt Gödel, Alonso Church, Alan Turing

  18. Gödel Number • Correspond the natural number to symbol • A:2, B:3, ->:5 • A->B : 235 • 결정 불가능한 명제가 있음을 증명함

  19. Halting Problem • P, I가 주어졌을때 멈추는지 판단 • 일반적인 알고리즘이 존재하지 않는다 • 결정불가능성 시사

  20. Turing Machine • 무한한 긴 테이프, 검사 헤드 • 현대 컴퓨터의 조상격 • 가상의 기계

  21. Church-Turing Thesis • 인간이 생각할 수 있는 모든 것은 구현 가능

  22. 진실의 바다 • 유한한 논리적인 체계로 모든 진실 파악 불가능 • 우리의 세계 • 유한한 프로그램이나 규칙들보다 무한하게 복잡 • 당신은 자유롭다 • 당신은 정말 살아있다 • 다음에 무엇을 생각할지 알 수 없다 • 언제든지 속박을 벗어나서 새로운 인생 시작 가능 • 수학자는 좌절했지만,당신은 즐겁지 않은가?

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