Klausuraufgaben

1. Klausuraufgaben

2. Aufgabe 1 • Welcher Algorithmus ist besser geeignet, um für das Routing in einem Netzwerk kürzeste Wege zu bestimmen?  Breitensuche  Tiefensuche • Eigennütziges Routing: Ändert sich im nachfolgend abgebildetenNetzwerk durch das Einfügen der Kante (B,A) mit Kosten 0 die optimale Lösung? ja  nein X X

3. Aufgabe 1 • Zu welcher Art des Routings zählt das Link-State-Routing? Oblivious Routing  Adaptives Routing • Welche Größe versucht man im Mehrfach-Fluss-Modell zu minimieren? Congestion  Dilation  Durchsatz  Routingzeit • Bandbreitenallokation im statischen Fall: Welcher Algorithmus benötigt die wenigsten Schritte, um die korrekte Bandbreite zu ermitteln? Binäre Suche  AIMD  Shrink-Algorithmus X X X

4. X update ------ 3 A Aufgabe 2 • Zeichnen Sie zu den angegebenen Tabellen das zugehörige Netzwerk und berechnen Sie die Folgetabellen. Tritt das Count-to-Infinity-Problem auf? (ja) Router A Router B Router C A B C update 4

5. Aufgabe 3 • Simulieren Sie AIMD versus AIAD. Verfügbare Bandbreite u=100, Startpunkt (20,50). Zeichnen Sie Fairness- und Effizienzlinie ein.(vgl. Übungsblatt 4) das Diagramm wurde mit sim 0 1 20 50 21 erzeugt (siehe Materialien zu Übung 4)

6. Aufgabe 3 • Beweisen Sie die Fairness-Funktion F(x,y) := (x+y) / (2x2+2y2)für x,y ≥ 0 höchstens 1 werden kann. Lösungshinweis: (x-y)2 ≥ 0(vgl. Übungsblatt 4)

7. Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u  [1..n] ein kompetitives Verhältnis von Ω(n) besitzt bezüglich der gain-Funktion.

8. Kompetitive Analyse • Analyse von Online-Algorithmen • Vergleich Online-Algorithmus mit Offline-Algorithmus  Kompetitives Verhältnis (competitive ratio) • für randomisierte/probabilistische Online-Algorithmen: • Finde Probleminstanz x, für die das Verhältnis maximal ist:Spiel Adversary gegen Online-Algorithmus

9. Bandweitenzuteilung im dynamischen Fall • Adversary legt für jedem Zeitschritt t eine verfügbare Bandbreite ut fest • Online-Algorithmus wählt eine Datenrate xt • Gewinn: Anzahl übertragener Pakete • ... entspricht strengen Kosten:S(x,u) = u – gain(x,u)

10. ut xt t Bandbweitenzuteilung im dynamischen Fall

11. Lösungshinweise zu Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u  [1..n] ein kompetitives Verhältnis von Ω(n) besitzt bezüglich der gain-Funktion. Wir betrachten die Gain-Funktion Das kompetitive Verhältnis ist (hier steht optT im Zähler, da wir Gewinn und nicht Kosten betrachten) Wir versuchen nun, das Verhältnis zwischen optT und gainT zu maximieren.

12. Lösungshinweise zu Aufgabe 4 Beobachtung: • AIMD wächst langsam (additive increase), obwohl ut groß ist • Beim Überschreiten von ut ist gain(xt, ut)=0. Außerdem wird die Bandbreite im nächsten Schritt halbiert (multiplicative decrease) Wir setzen ut abwechselnd auf 1 oder n (ut = 1 falls t gerade, sonst ut = n) Wenn ut = n, dann ist xt = 1 und gain(xt, ut)=1 Wenn ut = 1, dann ist xt = 2 und gain(xt, ut)=0 (ut = 1 zwingt AIMD zur Halbierung der Bandbreite von 2 auf 1) Bei T Zeitschritten ist optT = T(n/2+1) und gainT = T/2 ut ut additive increase xt multiplicative decrease xt