§6 . 5 线性变换的矩阵表示式

1. §6.5 线性变换的矩阵表示式 设A是一个n阶矩阵 则关系式 T(x)Ax (xRn) 表示Rn中的一个线性变换 反之Rn中任何线性变换T都能用关系式 T(x)Ax (xRn) 表示 其中A(T(e1)T(e2)T(en)) >>> 首页 上页 返回 下页 结束 铃

2. 线性变换的矩阵 • 设T是线性空间Vn中的线性变换 在Vn中取定一个基12n如果这个基在变换T下的像为 • T(i)a1i1a2i2anin (i1 2n) • 记T(12n)(T(1)T(2)T(n))上式可表示为 • T(12n)(12n)A 那么A就称为线性变换T在基12n下的矩阵 >>> 显然 矩阵A由基的像T(1)T(2)T(n)唯一确定 下页

3. 讨论 将矩阵A作为线性变换T在基12n下的矩阵 变换T满足什么关系？ Vn中的任意元素记为 x11x22xnn(12n)x 其中x(x1x2xn)T有 T(x11x22xnn)x1T(1)x2T(2)xnT(n) (T(1)T(2)T(n))x (12n)Ax 即 T[(12n)x](12n)Ax 下页

4. 讨论 将矩阵A作为线性变换T在基12n下的矩阵 变换T满足什么关系？ Vn中的任意元素记为 x11x22xnn(12n)x 其中x(x1x2xn)T有 T[(12n)x](12n)Ax 这个关系式唯一地确定一个变换T可以验证所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换 总之 以A为矩阵的线性变换T由关系式 T[(12n)x](12n)Ax 唯一确定 下页

5. 结论 在Vn中取定一个基以后 由线性变换T可唯一确定一个矩阵A由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T这样 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系 由关系式 T[(12n)x](12n)Ax 可见与T()在基12n下的坐标分别为 x(x1x2xn)T与AxA(x1x2xn)T 下页

6. 例1在P[x]3中 取基 p1x3p2x2p3xp41 求微分运算D的矩阵 解 D(p1p2p3p4) (3x2 2x 1 0) (3p2 2p3p4 0) 即微分运算D的矩阵为 下页

7. 例2在R3中T表示将向量投影到xOy平面的线性变换 即 T(xiyjzk)xiyj (1)取基为ijk求T的矩阵 (2)取基为ijijk求T的矩阵 解(1) 解(2) T(ijk) (ij 0) T() T(ijijk) (ijij) 即T的矩阵为 即T的矩阵为 下页

8. 定理1 • 设线性空间Vn中取定两个基 • 12n12n • 由基12n到基12n的过渡矩阵为PVn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B那么BP1AP 按定理的假设 有 (12n)(12n)PP可逆 及 T(12n)(12n)A T(12n)(12n)B 于是 (12n)BT(12n)T[(12n)P] T[(12n)]P(12n)AP (12n)P1AP 因为12n线性无关 所以BP1AP 证明 下页

9. 例3设V2中的线性变换T在基12下的矩阵为 求T在基21下的矩阵 解 于是T在基21下的矩阵为 下页

10. 线性变换T的秩 • 线性变换T的像空间T(Vn)的维数 称为线性变换T的秩 • 显然 若A是T的矩阵 则T的秩就是R(A) • 若T的秩为r则T的核Sr的维数为nr 结束