數位邏輯簡介

數位邏輯簡介

學習數位邏輯的目的 • 電腦硬體以0，1來運作，通常 • 0~1 Volts(伏特)視為邏輯值”0”。 • 3~5 Volts(伏特)視為邏輯值”1”。 • 1~3 Volts(伏特)視為不穩定狀態(轉換狀態) • 電腦硬體由許多的邏輯電路組合而成。 • 以布林(Boolean)函數及相關的布林代數來代表邏輯電路的運作及功能。 • 常用邏輯閘的介紹 • 運用邏輯閘來實現布林函數的功能 • 如何簡化布林函數以降低所需邏輯閘，進而降低製造成本。

布林函數 • 布林函數的組成 • 二元變數：A,B,C…，其值只可能為 0，1。 • 常數： 0，1。 • 括號及等號：(, ), [, ], {, }, =。 • 邏輯運算符號：AND, OR, NOT。 • AND 運算 • 以 XY或 XY或 XY表示 • 若 F = XY(F等於 X AND Y) 時 • 當X和Y的值均為1時，F的值才等於1。真值表

布林函數 真值表 • OR 運算 • 以X+Y表示 • 若 F = X+Y(F等於 X OR Y)時 • 當X和Y的值只要有一個為1時，F就等於1。 • NOT 運算 • 以 X’或 X表示 • 若 F = X’(F 等於 NOT X)時 • F的值與X的值相反。 ¯ 真值表

布林函數 例：試說明 F(X,Y,Z) = XY+Y’Z+X’YZ’ • When F 的值會等於 1？ • 當 X的值=1 且Y的值=1 ; or • 當 Y的值=0 且Z的值=1 ; or • 當 X的值=0 且Y的值=1 且Z的值=0 上述三種情況皆不發生，F 的值就等於 0 • 可寫成 F = XY+Y’Z+X’YZ’ 練習：試說明F = X’Y’+YZ’+XY’Z • 當 X的值=0 且 Y的值=0 ; or • 當 Y的值=1 且 Z的值=0 ; or • 當 X的值=1 且 Y的值=0 且 Z的值=1 • 上述只要有一種情況發生時，F 的值就等於 1 • 上述三種情況皆不發生，F 的值就等於 0

布林函數 例：試寫出 F = XY+Y’Z+X’YZ’ 的真值表練習：試寫出 F = X’Y’+YZ’+XY’Z 的真值表 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0

布林函數 • 若已知某布林函數之真值表如下，試寫出該布林函數。 F 也可以描述如下： 當 X=0, Y=0, Z=1 時 or 當 X=1 時   上述 2 個情況之一發生時，F=1 ∴ F = X’Y’Z + X      F=X’Y’Z +XY’Z’ +XY’Z +XYZ’ +XYZ     

布林函數 練習：若已知某布林函數之真值表如下，試寫出該布林函數。 F=X’Y’Z’+X’YZ+XY’Z’ ∴ F 也可以 = Y’Z’ + X’YZ • 心得： • 某布林函數，與其對應的真值表一定唯一 • 某真值表，與之對應的布林函數不是唯一

布林代數 • 恆等式(重要) • X + 0 = X • X 1 = X • X + 1 = 1 • X 0 = 0 • X +X = X • X X = X • X +X = 1 • X X = 0 • X= X • X +Y = Y + X • X Y = Y  X • X + (Y + Z) = (X +Y) + Z • X (Y  Z) = (X Y)  Z • X (Y + Z)= X  Y + X  Z • X+ (Y  Z) = (X + Y)  (X + Z) • X +Y = X Y • X Y = X + Y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

布林代數 • 例1. 試化簡 F = X’YZ + X’YZ’ +XZ • 解答： F = X’YZ + X’YZ’ + XZ • = X’Y(Z + Z’) + XZ • = X’Y1 + XZ • = X’Y + XZ# • 練習1. 試化簡 F = X + XY • 解答： F = X + XY • = X(1 + Y) • = X1 • = X#

布林代數 • 例2. 試化簡 F = XY + XY’ • 解答： F = XY + XY’ • = X(Y+Y’) • = X 1 • = X# • 練習2. 試化簡 F = X + X’Y • 解答： F = X + X’Y • = (X + X’)(X + Y) • = 1 (X + Y) • = X + Y#

布林函數之標準型態 • 積項之和SOP (Sum Of Product) F = A’BC+AB’C+ABC’+ABC = Σm(3,5,6,7) • 和項之積POS (Product Of Sum) F = (A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C)(A’+B+C) = ΠM(0,1,2,4) 0 1 2 3 4 5 6 7

利用卡諾圖做布林函數的化簡 • 試化簡 F(X,Y) = X’Y + XY  F=Σm(1,3)  0 1 0 1 由卡諾圖可知： ∵當Y=1時，不論X=0或1，F皆等於 1 ∴F = Y  2 3 2 3 練習：試化簡 F(X,Y) = X + XY ∵當X=1時，不論Y=0或1，F皆等於1 ∴F = X 0 1 F(X,Y)=Σm(2,3) 2 3

試化簡 F(X,Y,Z) = Σm(1,3,5,6,7) 利用卡諾圖做布林函數的化簡由卡諾圖可知： ∵當Z=1時，不論X=0或1， Y=0或1，F 皆等於 1 當X=1且Y=1時，不論Z=0或1，F皆等於1 ∴F = Z +XY YZ  0 1 3 2  4 5 7 6 練習：試化簡 F(X,Y,Z) = Σm(2,3,4,6,7) YZ ∵當Y=1時，不論X=0或1，Z=0或1，F皆等於1 當X=1且Z= 0時，不論Y=0或1，F皆等於1 ∴F = Y + XZ’ 0 1 3 2 4 5 7 6

試化簡 F(A,B,C,D) = Σm(0,2,5,7,8,10,13,15) 利用卡諾圖做布林函數的化簡 CD   0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 由卡諾圖可知： ∵當B=1且D=1時，不論A=0或1，C=0或1，F皆等於 1 當B=0且D=0時，不論A=0或1，C=0或1，F皆等於1 ∴F = BD +B’D’

試化簡 F(W,X,Y,Z) = WXY’Z’+W’XY’+WXZ+YZ’ 利用卡諾圖做布林函數的化簡 YZ  0 0 0  1 3 2 1  4 5 7 6 0 1 12 13 15 14 1 8 9 11 10 1 ∵當X=1且Y=0時，不論W=0或1，Z=0或1，F皆等於1 當W=1且X=1時，不論Y=0或1，Z=0或1，F皆等於1 當Y=1且Z=0時，不論W=0或1，X=0或1，F皆等於1 ∴F = XY’ +WX +YZ’ 0 0 0 1 0 1 1 1 1

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