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向量在平面几何中解题的应用

向量在平面几何中解题的应用. 与 共线. 且方向相同。. 一、向量有关知识复习. （ 1 ）向量共线的充要条件 :. （ 2 ）向量垂直的充要条件：. （ 3 ）两向量相等充要条件：. C. 如图所示，已知⊙ O ， AB 为直径， C 为⊙ O 上任意一点。求证∠ ACB=90°. B. A. 分析 ： 要证∠ ACB=90° ，只须证向 量 ，即 。. O. 解： 设

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向量在平面几何中解题的应用

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Presentation Transcript

  1. 向量在平面几何中解题的应用

  2. 与 共线 且方向相同。 一、向量有关知识复习 （1）向量共线的充要条件: （2）向量垂直的充要条件： （3）两向量相等充要条件：

  3. C 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° B A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 O 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例一、证明直径所对的圆周角是直角 思考：能否用向量坐标形式证明？

  4. 已知：平行四边形ABCD。 求证： D C 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 B A 解：设 ，则 ∴ 二、应用向量知识证明平面几何有关定理 例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和

  5. A A 思路一：设AD与BE交于H，只要证 CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF 过点H 分析： E E 只须证 由此可设 B B C C D D F 如何证 ？ 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 H 利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。

  6. 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 A H E B C D 解：设AD与BE交于H， 即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。

  7. A H E B D C 只要求出点H、F的坐标， 就可求出 、 的坐 标进而确定两向量共线，即三点共线。 F 可得： 可得： 即 而CF、CH有公共点C，所以 C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 分析：如图建立坐标系， 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) 再设H(0,m) F(x,y) 由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：

  8. P C 解：设 N 则 由此可得 B A M Q 即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线

  9. F C D M N A E B 四、应用向量知识证明等式、求值 例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2), N是AM的中点，故N(2,1) =(2,1)-(e,0)=(2-e,1) 解得：e=2.5 故△AEM的面积为5

  10. F C D M N =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) A E B 四、应用向量知识证明等式、求值 例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) 解得：e=5 即AE=5

  11. B Q · G O P A O分 的比为 ，O分 的比为 由此可设 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 ，得到 m n的关系。 四、应用向量知识证明等式、求值 例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证： 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 由PO=mOA, QO=nOB可知： -m -n ? ?

  12. B Q 证：如图建立坐标系， 设 · G 所以重心G的坐标为 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知： 即O分 的比为-m，O分 的比为-n 求得 由向量 可得： 化简得： 四、应用向量知识证明等式、求值 例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：

  13. 练习二：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足练习二：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足 A 求证：AB⊥OC O B C 五、巩固练习： 练习一：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形

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