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第 6 讲 MATLAB 符号计算一

数学软件. 西南科技大学网络教育系列课程. 第 6 讲 MATLAB 符号计算一. 数学软件. 主讲教师 : 鲜大权 副教授 . 西南科技大学理学院数学系. 6.1 符号计算基础 6.2 符号导数及其应用 6.3 符号积分. 6.1 符号计算基础. 6.1.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym 函数 sym 函数用来建立单个符号量，例如， a=sym('a') 建立符号变量 a ，此后，用户可以在表达式中使用变量 a 进行各种运算。. 例 6.1 考察符号变量和数值变量的差别。

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第 6 讲 MATLAB 符号计算一

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Presentation Transcript

  1. 数学软件 西南科技大学网络教育系列课程 第6讲 MATLAB符号计算一 数学软件 主讲教师: 鲜大权 副教授 西南科技大学理学院数学系

  2. 6.1 符号计算基础 6.2 符号导数及其应用 6.3 符号积分

  3. 6.1 符号计算基础 • 6.1.1 符号对象 • 1. 建立符号变量和符号常数 • (1)sym函数 • sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym('a')建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。

  4. 例6.1考察符号变量和数值变量的差别。 • 在 MATLAB命令窗口，输入命令： • a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d'); %定义4个符号变量 • w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 • A=[a,b;c,d] %建立符号矩阵A • B=[w,x;y,z] %建立数值矩阵B • det(A) %计算符号矩阵A的行列式 • det(B) %计算数值矩阵B的行列式

  5. 例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。 • 在 MATLAB命令窗口，输入命令： • pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3'); % 定义符号变量 • pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量 • sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 • sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 • sqrt(k1) % 计算符号表达式值 • sqrt(r1) % 计算数值表达式值 • sqrt(k3+sqrt(k2)) % 计算符号表达式值 • sqrt(r3+sqrt(r2)) % 计算数值表达式值

  6. (2)syms函数 • syms函数的一般调用格式为： • syms var1 var2 … varn • 函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符(')，变量间用空格而不要用逗号分隔。

  7. 2. 建立符号表达式 • 例6.3用两种方法建立符号表达式。 • 在MATLAB窗口，输入命令： • U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6') %定义符号表达式U • syms x y; %建立符号变量x、y • V=3*x^2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V • 2*U-V+6 %求符号表达式的值

  8. 例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。 • 命令如下： • syms a b c; • U=[a,b,c]; • A=[[1,1,1];U;U.^2] %建立范得蒙符号矩阵 • det(A) %计算A的行列式值

  9. 例6.5建立x,y的一般二元函数。 • 在MATLAB命令窗口，输入命令： • syms x y; • f=sym('f(x,y)');

  10. 6.1.2 基本的符号运算 • 1. 符号表达式运算 • (1)符号表达式的四则运算 • 例6.6符号表达式的四则运算示例。 • 在 MATLAB命令窗口，输入命令： • syms x y z; • f=2*x+x^2*x-5*x+x^3 %符号表达式的结果为最简形式 • f=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式 • f=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x^2-y^2，而是(x+y)*(x-y)

  11. (2)因式分解与展开 • factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 • expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 • collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 • collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。

  12. 例6.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 • 命令如下： • syms a b x y; • A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3]; • factor(A) %对A的每个元素分解因式

  13. 例6.8 计算表达式S的值。 • 命令如下： • syms x y; • s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2); • expand(s) %对s展开 • collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同类项) • factor(ans) % 对ans分解因式

  14. (3)表达式化简 • MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： • simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 • simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 • 例6.9化简 • 命令如下： • syms x y; • s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2; • simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果

  15. 2. 符号矩阵运算 • transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。 • determ(S) 返回S矩阵的行列式值。 • colspace(S) 返回S矩阵列空间的基。 • [Q,D]=eigensys(S) Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。

  16. 6.1.3 符号表达式中变量的确定 • MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： • findsym(S,n) • 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 • 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。

  17. 6.2 符号导数及其应用 • 6.2.1函数的极限 • limit函数的调用格式为： • limit(f,x,a) • limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为： • limit(f,x,a,'right') 或 limit(f,x,a,'left')

  18. 例6.10求极限。 • 在MATLAB命令窗口，输入命令： • syms a m x; • f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a); • limit(f,x,a) %求极限(1) • f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x; • limit(f) %求极限(2) • limit(f,inf) %求f函数在x→∞(包括+∞和-∞)处的极限 • limit(f,x,inf,'left') %求极限(3) • f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a); • limit(f,x,a,'right') %求极限(4)

  19. 6.2.2 符号函数求导及其应用 • MATLAB中的求导的函数为： • diff(f,x,n) • diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。

  20. 例6.11求函数的导数。 • 命令如下： • syms a b t x y z; • f=sqrt(1+exp(x)); • diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 • f=x*cos(x); • diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 • diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数 • f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); • diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 • (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3 %求(3)。求y对x的二阶导数 • f=x*exp(y)/y^2; • diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数 • diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数 • f=x^2+y^2+z^2-a^2; • zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数 • zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数

  21. 例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。 • 命令如下： • x=sym('x'); • y=x^3+3*x-2; %定义曲线函数 • f=diff(y); %对曲线求导数 • g=f-4; • solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4

  22. 6.3 符号积分 • 6.3.1不定积分 • 在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为： • int(f,x) • int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。

  23. 例6.13求不定积分。 • 命令如下： • x=sym('x'); • f=(3-x^2)^3; • int(f) %求不定积分(1) • f=sqrt(x^3+x^4); • int(f) %求不定积分(2) • g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简

  24. 6.3.2 符号函数的定积分 • 定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数： • int(f,x,a,b) • 例6.14求定积分。 • 命令如下： • x=sym('x');t=sym('t'); • int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) • f=1/(1+x^2); • int(f,-inf,inf) %求定积分(2) • int(4*t*x,x,2,sin(t)) %求定积分(3) • f=x^3/(x-1)^100; • I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4) • double(I) %将上述符号结果转换为数值

  25. 例6.15求椭球的体积。 • 命令如下： • syms a b c z; • f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2; • V=int(f,z,-c,c) • V = • 4/3*pi*a*b*c

  26. 例6.16轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。例6.16轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。 • (1)符号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令： • syms x; • f=6+0.3*x; • m=int(f,0,10) • (2)数值积分。 • 先建立一个函数文件fx.m： • function fx=fx(x) • fx=6+0.3*x; • 再在MATLAB命令窗口，输入命令： • m=quad('fx',0,10,1e-6)

  27. 例6.17求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型例6.17求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型 • 命令如下： • syms t; • x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3; • f=diff([x,y,z],t) %求x,y,z对参数t的导数 • g=sqrt(f*f') %计算一型积分公式中的根式部分 • l=int(g,t,0,1) %计算曲线c的长度

  28. 6.3.3 积分变换 • 1. 傅立叶(Fourier)变换 • 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： • fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 • ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。

  29. 例6.18求函数的傅立叶变换及其逆变换。 • 命令如下： • syms x t; • y=abs(x); • Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换 • fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换 • 2. 拉普拉斯(Laplace)变换 • 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： • laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 • ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。

  30. 例6.19计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换. • 命令如下： • x=sym('x');y=x^2; • Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换 • fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换

  31. 3. Z变换 • 对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： • ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z) • iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n) • 例6.20求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。 • 命令如下： • syms n z • fn=exp(-n); • Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换 • f=iztrans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换

  32. 4. 积分变换的应用 • 例6.21用拉普拉斯方法解微分方程。

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