离散数学 DISCRETE MATHEMATICS

1. 离散数学 DISCRETE MATHEMATICS 教师:石兵 Email:shibing_2009@scu.edu.cn 二零一三

2. 本次课的重点 • 图的连通 • 图的点\边割集合 • 图的矩阵表示

3. 第二节 图的道路与连通 一、无向图的道路 1. 定义：图G中由结点和边交替构成的序列 p=v0e1v1e2v2...ekvk 称为由v0到vk的一条道 路，其中每条ei和vi-1,vi关联。 v0称为道路 p的起点，vk称为道路 p的终 点。P中的边数k称为道路的长度。 只由一个结点构成的道路称为零道路。

4. 例：下图中 p1=v1e1v1e2v2e3v1e5v4e8v3e6v2 p2=v1e2v2e6v3e8v4e5v1e4v3e9v5 p3=v1e5v4e8v3e6v2（简记为：p3=v1v4v3v2） p4=v6都是道路。 e1 v3 e4 e9 v5 v1 e5 e12 e8 e2 e3 e6 v6 v2 e10 e7 v4 e11

5. 2. 道路的分类： ① 迹：任何满足道路定义的道路 。 ② 简单道路：边不重复出现的道路。 ③ 基本道路：结点不重复出现的道路。 例：上图中，p1是迹，p2是简单道路， p3是基本道路，p4是零道路。

6. 3. 回路(闭道路）：起点和终点相同的道路。 边不重复出现的回路称为简单回路。 结点不重复出现的回路称为圈。 例：下图中，c1是一般回路，c2是简 单回路，c3是圈。

7. 例：下图中 c1=v1e1v1e2v2e7v4e8v3e4v1e3v2e2v1 c2=v1e1v1e2v2e3v1e5v4e8v3e4v1 c3=v1e5v4e8v3e6v2e3v1 （c3可简记为：p3=v1v4v3v2v1） 都是回路。 e1 v3 e4 e9 v5 v1 e5 e12 e8 e2 e3 e6 v6 v2 e10 e7 v4 e11

8. 4. 定理：设G是n阶图，如果存在从结点u到v的道路，则必存在从结点u到v 的长度不超过n-1的道路。 证明要点：如果结点u到v的道路 p的长度 超过n-1，则 p中至少有n+1个结点，因而 道路中至少有一个结点出现两次，如 viei ...vi ，则去掉ei...vi后仍是结点u到v的 道路，但是道路长度至少短1。重复这一 过程，即得所需结论。

9. 二、无向图的连通问题 1. 如果存在从结点u到结点v的道路，则称u 到v是连通的。 结点集V上的“连通”关系具有性质：自 反、对称、传递。 2. 如果图G中任何两个结点都是连通的，则 称G是连通图。

10. 3. 图G中的极大连通子图称为图G的支， 图G的支数记为 (G)。 图G连通当且仅当 (G)=1。 例：下图中 (G)=3。 v3 v2 v4 v1 v8 v5 v7 v6

11. 4. 连通图G=(V, E)的点割集：设S  V， 如果 (G-S) 〉1，则称S是G的一个 点割集。 ① S是G的一个点割集，而S的任何真 子集都不是点割集时，称S是G的一个 基本点割集。 ② 由单个结点（如u）构成的点割集 简称为割点。

12. 例如，下图中一些基本点割集： S1={v2，v5}， S2={v2，v6} S3={v2，v7}， S4={v3，v5} S5={v4} v3 v2 v4 v1 v5 v7 v6

13. 定理 结点u是图G的割点当且仅当存在两 结点v和w，使v到w的任何道路都经过u。 证明要点： 当u是割点时，则G - u至少 有2支，从这2支中各选一个结点即可。 反之，如果 v到 w的任何道路都经过 u， 则去掉 u后 ，v和 w各在 G - u的 1支中， 即u是割点。

14. 5. 连通图G=(V, E)的边割集：设F  E， 如果(G - F) 〉1，则称F是G的一个 边割集。 ① F是G的一个边割集，而F的任何真 子集都不是边割集时，称 F是G的一个 基本边割集。 ② 由单条边（如uv）构成的边割集简 称为割边。

15. 例如，下图中一些基本边割集： F1={v2v3，v3v7}，F2={v2v3，v5v7} F3={v1v4}，F4={v2v4，v2v6，v5v6} F5={v4v6，v2v6，v2v5，v3v7} v3 v2 v4 v1 v5 v7 v6

16. 定理 边e是图G的割边当且仅当 e 不在G 的任何简单回路上。 证明要点：当e是割边时，则G - e有2支， 因而G中不可能有包含e的简单回路。反之，如果 e不在任何简单回路上，则去掉 e 后，e 关联的两 个结点各在 G - e的 1支中，即 e 是割边。 (关于点连通度和边连通度的概念,请看书)

17. 四、有向图的道路 1. 定义：如果图G中由结点和边交替构 成的序列 p=v0e1v1e2v2...ekvk , 满足其 中每条 ei 是 vi-1的出边和 vi 的入边， 则称 p为由 v0到 vk 的一条有向道路。

18. 在下图中，一些有向道路 p1=v1v4v2v1v3v5v4 p2=v3v2v1v3v5v4v2 p3=v5v4v2v1v3 v4 v1 v5 v2 v3

19. 2. 有向道路的分类： ① 有向迹：任何满足定义的有向道路 。 ② 有向简单道路：边不重复的有向道路。 ③ 有向基本道路：结点不重复的有向道路。 3. 有向回路：起点和终点相同的有向道路。 边不重复的有向回路称为有向简单回路。 结点不重复的有向回路称为有向圈，

20. 在下图中，一些有向回路 p1=v1v4v2v1v3v5v4v2v1 p2=v3v2v1v3v5v4v3 p3=v5v4v2v1v3v5 v4 v1 v5 v2 v3

21. 五、有向图的连通问题 1. 如果存在从结点u到结点v的有向道路， 则称u可达v。 结点集V上的“可达”关系具有性质： 自反、传递。 2. 有向图G的连通有如下三个层次：

22. ① 强连通图：任何一对不同结点都相互可达。 有向图G是强连通图当且仅当存在一条包含 所有结点的有向回路(有向闭道路)。 有向图G的极大强连通子图称为强分图。 每个结点都只位于一个强分图中。 v1 v4 v5 v2 强连通图 v3

23. ②单向连通图：任何一对不同结点间， 至少从一个结点可达另一个结点。 ③弱连通图：不看边的方向时是连通的。 d a d a b c c b 弱连通 单向连通

24. 作业： 习题十 15、16、19 作业：习题10.3 1、2、5 (老书: 9.2)

25. 第三节 图的矩阵表示 一、邻接矩阵 1. 设G=(V, E)是有向简单图, 其中 V= {v1, v2, ..., vn}, 定义矩阵A=(ai j)nn如下:  1 如果 (vi, vj) E ai j=  0 如果 (vi, vj)  E 称A为G的邻接矩阵.

26. 下面有向图对应的邻接矩阵是 v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 0 1 1 0  v2 1 0 1 1 0  A =v3 0 0 0 0 1  v4 0 0 1 0 0  v5 0 0 0 1 0  v1 v4 v5 v2 v3

27. 2. 邻接矩阵的性质： ① 邻接矩阵等价地描述了有向图的信息。 矩阵行和等于结点出度，列和等于出度。 ② 设A2= (a(2)i j)，则a(2)i j =1 k n(ai kakj) a(2)i j  0当且仅当至少存在ai k =1且akj=1， 也就是存在从vi到vj的长度为2的有向道路。 因此a(2)i j的值表达了从vi到vj的长度为2的 有向道路数目。

28. ③ 设Am= (a(m)i j)， 那么a(m)i j的值表达了从vi 到vj长度为m的有向道路数目。 a(m)i i的值 表达了通过vi的长度为m的有向回路数目。 例如，对于前面的邻结矩阵  0 0 1 1 0   0 0 1 1 0   1 0 1 1 0   1 0 1 1 0  A2 = 0 0 0 0 1   0 0 0 0 1   0 0 1 0 0   0 0 1 0 0   0 0 0 1 0   0 0 0 1 0 

29.  0 0 1 0 1   0 0 2 1 1  = 0 0 0 1 0   0 0 0 0 1   0 0 1 0 0  从中可以看出，存在一条从v1到v3的长度 为2的道路，2条从v2到v3的长度为2的道路， 1条从v4到v5的长度为2的道路，不存在从v5 到v2的长度为2的道路等等。

30. 结合对应的有向图，可以对长度为2、3、4 等等的道路数目进行验证： v1 v4 v5 v2 v3

31.  0 0 1 0 1   0 0 1 1 0   0 0 2 1 1   1 0 1 1 0  A3 = 0 0 0 1 0   0 0 0 0 1   0 0 0 0 1   0 0 1 0 0   0 0 1 0 0   0 0 0 1 0   0 0 0 1 1   0 0 1 1 2  = 0 0 1 0 0   0 0 0 1 0   0 0 0 0 1 

32. 类似地，可以构造  0 0 1 1 0   0 0 1 2 1  A4 = 0 0 0 0 1   0 0 1 0 0   0 0 0 1 0  可对照图找出长度为4的有向道路. v1 v4 v5 v2 v3

33. 3. 可达矩阵 设G=(V, E)是有向简单图, 其中 V= {v1, v2, ..., vn}, 定义矩阵P=(pi j)nn如下:  1 vi可达 vj pi j=  0 其它 称P为G的可达矩阵.

34. 可达矩阵P可通过邻结矩阵A求得，方法 之一是计算矩阵和： B= A + A2 +...+ An-1 然后，令pi j=1当且仅当bi j 〉0。 例如，由前面的例子可得

35. B= A + A2 + A3 + A4  0 0 3 3 2   1 0 5 5 4  = 0 0 1 1 2   0 0 2 1 1   0 0 1 2 1  其中每个非0的bi j表达了vi到vj 的长 度不超过4的道路数目，若 bi j =0， 表明不存在从vi到vj 的有向道路。

36. 由矩阵B直接可导出下面的可达矩阵：  0 0 1 1 1   1 0 1 1 1  P= 0 0 1 1 1   0 0 1 1 1   0 0 1 1 1  可达矩阵也可以利用Warshall算法求得。

37. 4. 由可达矩阵构造图的强分图 令Q = PPT = (qi j)nn ，其中  1 i = j qi j=  pi j  pji i  j 那么，在矩阵Q中第k行中元素1对应 列的结点，构成图的一个强分图。

38. 例：根据前面例子得到的可达矩阵，可得  1 0 1 1 1   1 1 0 0 0   1 1 1 1 1   0 1 0 0 0  PPT = 0 0 1 1 1   1 1 1 1 1   0 0 1 1 1   1 1 1 1 1   0 0 1 1 1   1 1 1 1 1 

39.  1 0 0 0 0   0 1 0 0 0  = 0 0 1 1 1   0 0 1 1 1   0 0 1 1 1  从第1行知道，v1单独在一个强分图中； 从第2行知道，v2单独在一个强分图中； 从第3、4、5行知道，v3、v4、v5共同 构成一个强分图。

40. 由此可见，该图有3个强分图，它们分别 包含结点子集{v1}、{v2}、{v3，v4，v5}。 可由下图验证。 v1 v4 v5 v2 v3

41. 二、关联矩阵 1. 定义：设G=(V, E)是有向简单图, 其中 V= {v1, v2, ..., vn}, E= {e1, e2, ..., em}, 定义矩阵M=(mi j)nm如下:  1 如果ej是vi的出边 mi j= -1 如果ej是vi的入边  0 其它 称M为G的关联矩阵.

42. 例：下面有向图对应的关联矩阵如下： e2 v1 e8 e3 v4 e1 e6 v5 e4 e7 v2 v3 e5

43. e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 v1 -1 1 1 0 0 0 0 0 v2 1 0 0 1 1 0 0 0 M =v3 0 0 -1 0 0 -1 1 0 v4 0 -1 0 -1 0 1 0 -1 v5 0 0 0 0 -1 0 -1 1 2. 关联矩阵的性质： 关联矩阵等价地描述了有向图的信息。

44. 矩阵每行中1的个数等于对应结点出度， -1的个数等于结点的入度。 矩阵每列恰有一个1和-1。 作业：习题十 30 作业：习题10.4 3 (老书 9.3)