工程熱力學 第二版

1. 工程熱力學 第二版 第 4 章 功與熱 Work and Heat

2. 4.1 功的定義 • 4.2 功的單位 • 4.3 簡易壓縮系統在移動邊界所作的功 • 4.4 包含功的其他系統 • 4.5 關於功的結論 • 4.6 熱的定義 • 4.7 熱傳遞的模式 • 4.8 熱與功的比較 • 4.9 如何判定的方法

3. 4.1功的定義 • 功（work）通常定義為一個作用力 F 作用於一段位移 x，其中位移的方向與力量相同，也就是說， • 功的定義如下：如果系統對外界（所有在系統之外的一切）唯一的效應是舉起重物，這就是由系統所作的功。系統對外界作功視為正值，外界對系統作功則為負值，符號W 表示系統所作的功。 • 功是轉變中能量的一種型式，也就是說，能量越過系統邊界傳出系統。 P77

4. 圖 4.1 功穿越系統邊界之實例。 P77

5. 圖 4.2 由於電流穿越系統邊界造成功越過系統邊界之實例。 P78

6. 4.2功的單位 • 功的定義包含舉起重物，也就是說單位力量（1 N）作用經過一段單位距離（1 m）其乘積即為功。在公制中，功的單位稱為焦耳（joule；J）。 1 J = 1 N m • 功率是單位時間內所作的功，以符號 表示： • 功率的單位就是功的變化率，在一秒之內作一焦耳的功，就是瓦特（watt；W）：1W = 1 J/s • 在一系統內常提及單位質量的功，通常稱為「比功」，以符號 w 表示，並定義為： P78

7. 圖 4.3 力量作用於半徑為 r 的柱體，其扭矩 T = Fr。 P79

8. 4.3簡易壓縮系統在移動邊界所作的功 • 汽缸活塞中的氣體為一個系統如圖 4.4 所示。將一小重物自活塞上移開，會使得活塞往上移動一段距離 dL，我們可將此過程視為準平衡過程並計算系統在此過程中所作的功 W 之大小。活塞上的總力量為 PA，其中 P 為氣體之壓力，A 是活塞面積。所以功 W 為δW = PA dL，但是 A dL = dV 為氣體的容積變化，所以δW = P dV。 • 在一個已知準平衡的過程中移動邊界所作的功，可藉由對上式積分求出。但是，只有在我們知道此過程中壓力（P）與容積（V）的關係式才能夠進行積分。 P79

9. 圖 4.4 系統於準平衡過程中在移動邊界作功之實例。 P79

10. 先考慮圖解法，使用壓縮過程為例，此壓縮過程就像是發生在汽缸中壓縮空氣的過程，如圖 4.5 所示。過程開始時活塞在位置 1，空氣壓力相對地較低，此狀態可由壓力－容積圖（通常稱為 P-V 圖）來表示。在過程結束時活塞在位置 2，相對的氣體狀態為 P-V 圖中的點 2。 • 此壓縮過程對空氣所作的功，可以對δW = P dV 積分求出： P80

11. 圖 4.5 使用壓力－容積圖表示系統於準平衡過程中在移動邊界所作的功。 P80

12. P-V 圖可導出另一個重要的結論。由狀態 1 到狀態 2 可能經由許多不同的準平衡路徑，如 A、B 或 C。由於曲線之下所圍的面積代表每一個過程的功，在每一過程所作的功之大小不僅是過程最終狀態的函數，而且決定於由一狀態到另一狀態所經過的路徑。基於以上的理由，功被稱為路徑函數，或在數學用語上，稱δW 為不定微分。 • 熱力性質都是點函數，對每一個已知點其狀態是固定的，因此對應此點的每一個性質都有明確的值。點函數的微分就是定微分，其積分可簡單地表示為 P81

13. 圖 4.6 兩個已知狀態間之各種不同的準平衡過程，表示功為路徑函數。 P81

14. 多變過程（polytropic process）符合下式 PV n= 常數 指數 n 可能是任何一個從 –∞ 到 +∞ 的值，其值則依過程的 方式而決定。 • 多變過程，表示出在一個過程中，壓力 P 與容積 V 的一個特殊函數關係，也有許多其他可能的關係。 P82

15. 範例 4.1 考慮如圖 4.7 所示，在汽缸內之氣體為一個系統。活塞裝置 於汽缸內，其上放置一些小重物。初始壓力為 200 kPa 且初 始容積為 0.04 m3。 a. 在汽缸之下放置一個本生燈，若壓力保持固定，使氣體容積增加為 0.1 m3。試計算此過程中系統所作的功。 因為壓力為常數，由 4.4 式我們得到結果： P83

16. 圖 4.7 範例 4.1 之簡圖。 P83

17. 範例 4.1（續） b. 考慮相同的系統與初始狀態，但是當本生燈放在汽缸之下，活塞舉起的同時，將重物從活塞上移開，重物移開的速率為使得過程變化中的氣體溫度保持固定。 如果我們假設理想氣體模式是成立的，則可由 3.5 式 PV = mRT 我們注意到這是一個多變過程，其指數 n = 1。從我們的分析 所得到的結論為：功是由 4.4 式計算出來的，此方程式的積 分是由 4.6 式得出。所以 P83

18. 範例 4.1（續） c. 考慮相同的系統，但是在熱傳遞的過程中，移開重物且移開的速率為使過程變化中之壓力與容積的關係可用 PV1.3 = 常數的方程式來描述。其最終容積為 0.1 m3。試計算功的大小。 這是一個 n = 1.3 的多變過程，分析這個過程，我們再一 次由 4.4 式求得功的結果，由 4.5 式求出積分值。因此 P83

19. 範例 4.1（續） d. 考慮前三個例題所給的系統與初始狀態，但是讓活塞被一個插銷固定，使得汽缸內的容積維持固定。此外，讓熱量由系統中傳出直到系統壓力降為 100 kPa。試計算功的大小。 因為對準平衡過程而言，δW = P dV，因為沒有容積的改 變，其功為零。 對前四個例題，每個過程都示於圖 4.8 的 P-V 圖上。過程1－ 2a 為等壓力過程，而面積 1－2a－f－e－1 代表等壓過程的 功。同樣地，線段 1－2b 代表 PV = 常數的過程；線段 1－2c 代表 PV1.3 = 常數的過程；線段 1－2d 則代表等容過程。學生 應比較曲線之下相對應的面積與數值計算的結果，因為這些 代表作功的多少。  P84

20. 圖 4.8 顯示範例 4.1 四種不同過程所作之功的壓力－容積圖。 P84

21. 範例 4.2 考量一個稍有不同的活塞∕汽缸裝置如圖 4.9 所示。在本例 中，活塞之質量為 mp，受到外界大氣壓力為 P0與線性彈簧 和單點作用力 F1的負載。活塞將氣體保持在汽缸之內使其 壓力為 P。活塞在運動方向的力平衡得出 在一個準平衡過程中之加速度為零。當彈簧與活塞接觸時， 這些力量為 其中 ks為線性彈簧常數。當彈簧放鬆時活塞位置為 x0，此值 由彈簧裝置的方式來決定。然後經由力量的平衡，再除上面 積 A 可得出氣體壓力為： P = P0 + [mpg + F1 + ks(x – x0)]/A P84

22. 範例 4.2（續） 為了以 P－V 圖來說明這個過程，將距離 x 轉換為容積除上 面積 A 求出或乘上面積 A 可得體積： 這個關係給出壓力為容積的線性函數關係式，此線之斜率 為 C2 = ks/A2。當膨脹時，所有壓力 P 與容積 V 可能的值都 示於圖 4.10。不論在汽缸內之物質為何，任何過程必須沿著 P-V 圖的線條進行。然後在準平衡過程的功即可表示為 如果此過程為收縮過程而非膨脹過程，則此收縮過程會以自 初始狀態 1 沿著線相反方向，相同斜率進行，如圖 4.10。  P85

23. 圖 4.10 範例 4.2 中顯示可能 P-V 組合的過程曲線。 P85

24. 範例 4.3 範例 4.2 的汽缸∕活塞裝置含 –20℃的氨 0.5 kg，其乾度為 25%。現將氨加熱至 20℃，經觀察在此狀態下容積增加 1.41 倍。試求最終壓力與氨所作的功。 解答 由作用在活塞上的力量、重力加速度、固定的外界大氣壓 力及線性彈簧可得到壓力 P 與比容υ（V）線性關係式。 • 狀態 1：(T1, x1)，從表 B.2.1 查出 P1 = Psat = 190.2 kPa υ1 =υf+ x1υfg = 0.001504 + 0.25×0.62184 = 0.15696 m3/kg P85

25. 範例 4.3（續） • 狀態 2：(T2, υ2 = 1.41υ1 = 1.41×0.15696 = 0.2213 m3/kg) 從表 B.2.2 查出非常接近 P2 = 600 kPa 過程：P = C1 + C2υ 功可由已知的 P 與υ的函數積分求出，並可看出為 P－υ圖 中圍起之面積，如圖 4.11 所示。  P86

26. 圖 4.11 範例 4.3 之圖示。 P86

27. 範例 4.4 如圖 4.12 所示之活塞∕汽缸裝置，其中包含 0.1 kg、1000 kPa、500℃的水。現在以固定的力量作用在活塞上將水冷 卻，直到水的容積為初始值的一半。在此之後，當活塞抵住 擋板時，水溫降至 25℃。試求水的最終壓力與整個過程中所 作的功，並將此過程繪製於 P –υ圖中。 解答 我們知道這是一個兩段過程，一段是等壓過程而一個是等 容過程。這可由此設置的架構看出其物理表現。 • 狀態 1：(P, T)，從表 B.1.3 查出υ1 = 0.35411 m3/kg 過程 1-1a：P = 常數 = F/A 過程 1a-2：υ= 常數 =υ1a =υ2 =υ1/2 P86

28. 圖 4.12 範例 4.4 之簡圖。 P86

29. 範例 4.4（續） • 狀態 2：(T, υ2 =υ1/2 = 0.17706 m3/kg) 從表 B.1.1 查出，υ2＜υg，所以此狀態具有兩相態，而且非 常接近 P2 = Psat = 3.169 kPa。 要注意從 1a 到 2 過程所作的功為 0（容積沒有變化），如圖 4.13 所示。  P87

30. 圖 4.13 範例 4.4 之圖示。 P87

31. 範例 4.5 考慮如圖 4.14 所示系統，其中活塞質量為 mp，且一開始由 插銷固定。汽缸內之氣體的初始壓力為 P1、初始容積為 V1。 當插銷拔出後，作用在系統（氣體）邊界上單位面積的外力 包括兩部份： Pext = Fext/A = P0 + mpg/A 當活塞靜止時，試計算系統所作的功。 在活塞鬆開之後，此系統受到外界大小為 Pext之壓力，這 也指出系統內壓力如 2.8 節圖 2.9 所討論的結果。更進一步 要注意的是，這兩項外部元件在邊界移動都不會產生變化， 因為汽缸是垂直的（重力），而且汽缸上方與大氣相通（向 上運動幾乎將空氣推出）。 P87

32. 圖 4.14 一個非平衡過程的實例。 P88

33. 範例 4.5（續） 若系統初始壓力 P1比邊界阻抗壓力高，則活塞將以一個 有限速率向上移動，亦即在一不平衡過程中，汽缸內壓力最 後會回到平衡壓力值 Pext。若能標出汽缸平均壓力為時間的 函數，則汽缸壓力典型地表現即如圖 4.15 所示。但是在此過 程中，系統所作的功是對抗阻止邊界移動的力量，所以功可 由 4.7 式得出；又因為在此過程中外力為常數，結果為： 其中 V2比 V1大，且系統所作的功為正。若系統初始壓力比 邊界壓力低，則活塞會向下移動，壓縮汽缸內之空氣，最後 系統來到平衡壓力 Pext，最終容積比初始容積小，且其功為 負值，亦即外界對系統作功。  P88

34. 圖 4.15 以時間為函數的汽缸壓力。 P88

35. 4.4包含功的其他系統 • 關於表面張力、單點力或電系統作用產生的功應另外處理。 • 拉伸線是固體力學中包含功計算的一種典型實例。 • 當薄膜面積改變時，例如滑動沿著框邊可移動的細線，就可對薄膜或由薄膜作功。 • 流過系統邊界的電能是功。 P89

36. 範例 4.6 將一條初始長度為 L0的金屬線加以拉伸，假設其材料性質為 彈性行為，試決定以應變和彈性係數表示所作的功。 令σ= 應力，e = 應變，及 E = 彈性模數。 因此， 由應變的定義可知， 所以，  P89

37. 圖 4.16 顯示表面薄膜作功之簡圖。 P90

38. 4.5關於功的結論 • 在準平衡過程中，功是由一個內涵性質與外延性質的改變之乘積的積分而得。這些過程與功的表示式摘要如下： • 在許多熱力學問題中，辨識功的方向是重要的觀念。我們已經注意到功只有在系統邊界上可被辨識。 P91

39. 圖 4.17 具容積變化而功為 0 過程之實例。 P91

40. 圖 4.18 表示系統選取的方式將影響過程中是否作功。 P92

41. 4.6熱的定義 • 熱（heat）被定義為一種能量的形式，因著兩個系統溫度的差異，在已知溫度下越過系統邊界，並傳遞到另一溫度較低的系統（或外界）。 • 熱就像功，是一種自系統傳遞或傳遞至系統的能量形式。在 SI 制中熱（能）的單位是焦耳。 • 傳入系統的熱量為正，傳出系統的熱量為負。以符號 Q 代表熱量，沒有熱傳（Q = 0）的過程稱為絕熱過程（adiabatic process）。 P93

42. 4.7熱傳遞的模式 • 熱傳就是因為不同量的物質間的溫差所產生的能量移轉。 • 分子間的能量交換是藉由傳導（conduction）的方式進行熱傳，熱傳導會隨溫差與物質傳熱的能力而增加。 • 對流（convective）是當介質可流動時所發生的熱傳。在這種模式中，物質流動以不同的溫度移開在接近表面或表面上不同溫度的物體。 • 輻射（radiation），乃是以空間中的電磁波傳導能量。這種傳遞可以在真空中發生而並不需要任何物質，但是輻的放射（產生）和吸收確實需要有物質的存在。 P94

43. 範例 4.7 考慮屋內 20℃ 的暖房經由玻璃窗傳出能量到 10℃ 的室外冷 空氣中，如圖 4.19 所示。由室外傳導熱傳層顯示，室外窗玻 璃表面所顯現的溫度因距離產生變化，但是室內沒有這樣的 熱傳層（簡化之故）。玻璃窗厚 5 mm（0.005 m），傳導係 數為 1.4 W/m K，總表面積為 0.5 m2。因外面風吹，故其對 流熱傳係數為 100 W/m2 K。以外面的玻璃表面溫度為 12.1℃，我們欲知玻璃和傳導層的熱傳率。 對經過玻璃的傳導，可得出 而負號示表能量離開房間。對室外的傳導層可得出 從高溫往低溫的方向，亦即向外。  P95

44. 圖 4.19 通過玻璃窗之熱傳導與對流。 P95

45. 4.8熱與功的比較 • 熱與功有許多的相似性。 1. 熱和功兩者都是暫態現象，系統從未擁有熱或功，但當系統進行狀態的改變時，其一或兩者皆越過系統邊界。 2. 熱與功兩者皆為邊界現象，兩者都只能在系統邊界觀察出來，且都代表越過系統邊界的能量。 3. 熱和功都是路徑函數，且為不定微分。 P96

46. 圖 4.20 顯示熱和功之間差異之實例。 P96

47. 圖 4.21 加熱至控制容積的效應也能作功。 P96

48. 4.9如何判定的方法 • 我如何判定發生哪一種過程？ 功和熱傳遞都是過程路徑的函數，也就是說它們依據過程 開始到結束狀態改變的方式而定。換句話說，我們需知道過 程路徑來求其大小。此即表示元件行為的元件相關方程式。 • 我如何將變化率與有限量關聯起來？ 我們所探討的變化率常提的是功的變化率（功率）、熱傳 率、質量流率、容積流率與像是質量、能量和容積儲存的儲 存率。一般來說這些變化率係描述過程變化瞬間變化，於某 一期間計算出最終的傳遞量（質量、功和熱）與儲量改變。 P97

49. 關鍵概念與公式 • 功 傳遞的能量──機械的、電的和化學的 • 熱 傳遞的能量，由ΔT 造成 • 位移功 • 比功 w = W/m（每單位質量所作的功） • 功率，功的變化率 速度 V = rω，扭力T = Fr，角速度 =ω • 多變過程 PVn= 常數 或 Pυn= 常數 • 多變過程的功 P99

50. 關鍵概念與公式 • 熱傳導 • 熱傳導係數 k（W/m K） • 熱對流 • 對流係數 h（W/m2 K） • 熱輻射（對周圍為淨值） • 變化率積分 P99