CUANTIFICACIÓN

1. CUANTIFICACIÓN COMUNICACIONES ELÉCTRICAS ING. VERÓNICA M. MIRÓ 2007

2. CUANTIFICACIÓN • Señal de voz (Transmisor) • Rango de amplitudes continuo • Rango infinito de amplitudes de la señal • Número infinito de niveles de amplitud • Oído Humano / Ojo Humano (Receptores) • Detecta diferencias finitas de intensidad • Una señal continua original puede ser aproximada por una señal construida a partir de una selección de amplitudes discretas sobre un set disponible basado en mínimo error.

3. CUANTIFICACIÓN DE AMPLITUD • Proceso de transformar las muestras m(nTs) de una señal m(t) evaluada en t = nTs, en una amplitud discreta v(nTs) tomado de un set de amplitudes predeterminadas. • Sin memoria e instantáneo • Muy utilizada en la práctica. • Vamos a llamar m(nTs) = m, nos independizamos del tiempo

4. CUANTIFICACIÓN DE AMPLITUD • Las distintas amplitudes m quedan especificadas por el subíndice k, que definen la celda de partición Jk :{mk < m < mk+1}, k = 1, 2, …, L L: número total de niveles de amplitud utilizados para cuantificar

5. CUANTIFICACIÓN DE AMPLITUD • Las amplitudes muestreadas mk, k = 1, 2, …, L a la entrada del cuantificador, Niveles ó umbrales de decisición de la celda Jk • A la salida del cuantificador, la muestra k es transformada en niveles de amplitud vk, k = 1, 2,…, L, Niveles de representación ó reconstrucción de la celda Jk • El espaciamiento entre dos niveles, Cuanto, paso ó salto

6. CUANTIFICACIÓN DE AMPLITUD • El mapeo v = g(m) es la característica del cuantificador con una función escalera por definición • La salida del cuantificador es igual a vk si la señal muestreada de entrada m proviene del intervalo Jk • Cuantificadores: • Uniforme: Niveles de representación equiespaciados • No uniforme: Niveles de representación no equiespaciados

7. CUANTIFICACIÓN DE AMPLITUD • Características del cuantificador de una escalera (simétricas) Escalón – Medio Escalón (Horizontal) Frente – Medio Frente (vertical) Ambas son simétricas respecto del origen

8. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Ruido de cuantificación Diferencia entre la señal de entrada y la señal v (cuantificada). • De medio escalón.

9. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Sea m el valor muestra de un proceso aleatorio M de media cero (mM = 0). • Si el valor de entrada no tiene m = 0, hay que extraer el valor medio y agregarlo después de la cuantificación. • El cuantificador g(.) mapea la variable aleatoria M de amplitud continua en una variable aleatoria discreta V.

10. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Los valores muestra m y v están relacionadas de la siguiente manera: q = m – v ó Q = M - V • Con M (mM = 0), y asumiendo el cuantificador simétrico, V(salida) y Q (error de cuantificación), tienen valor medio cero. La caracterización estadística del cuantificador en términos de la relación señal de salida vs ruido de cuantificación, está dada por el valor cuadrático del error Q (sQ2)

11. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Consideremos a m una entrada de amplitud continua en el rango (-mmáx , mmáx). • Utilizaremos un cuantificador uniforme del tipo medio frente. • El paso / salto del cuantificador está dado por: D = 2 mmáx / L , L: número total de niveles de representación • El error de cuantificación Q, tendrá sus valores muestras entre –D/2 ≤ q ≤ D/2

12. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Si el salto ó paso es suficientemente pequeño (L muy grande), es razonable asumir que el error de cuantificación Q es una variable aleatoria uniformemente distribuída y el efecto de cuantificación a la entrada del cuantificador es similar al ruido térmico. • La función de densidad de probabilidad del error de cuantificación:

13. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Debemos asegurar que la señal de entrada no sobrecarga al cuantificador. • Típicamente, el L-ésimo número k, denota el k-ésimo nivel de representación del cuantificador, es transmitido al receptor de forma binaria.

14. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Sea R el número de bits por muestras usados en la construcción del código binario • Podemos escribir entonces L = 2R ó R = log2L

15. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Sea P: Potencia promedio de la señal mensaje m(t). • La relación señal de salida a ruido del cuantificador uniforme crece exponencialmente con el incremento del número de bits por muestra R.

16. RUIDO DE CUANTIFICACIÓN • Reconociendo que un incremento de R, requiere un incremento pp del ancho de banda del canal BT; la utilización de un código binario para la representación de una señal mensaje PCM, provee un método eficiente como FM ó PPM para la negociación del incremento de ancho de banda vs. Incremento de performance de ruido. • Así como FM y PPM están limitadas por el ruido del Rx, los sistemas PCM quedan limitados por el ruido de cuantificación.

17. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • Cómo seleccionar los niveles de representación y celdas de partición, para minimizar la potencia de cuantificación para un número fijo de niveles de representación? • Consideremos la señal mensaje m(t) proveniente del proceso estacionario M(t) • El rango dinámico de m(t): -A ≤ m ≤ A, se particiona en un set de L celdas, dando lugar a un set de nros. reales m1, m2, …mL+1

18. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • Condiciones: • m1 = -A • mL+1 = A • mk ≤ mk+1 ; k = 1, 2, …L • La k-ésima celda está definida, Jk: mk ≤ m ≤ mk+1 ; k = 1, 2, …L

19. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • Niveles de representación: vk, k = 1, 2, …L • Definimos: d(m, vk): Medida de la distorsión cuando usamos vk para representar todos los valores de entrada m que están siendo incluídas en la partición Jk. • Solución: Encontrar dos sets {vk}Lk=1 y {Jk}Lk=1 que minimicen la distorsión promedio

20. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • La distorsión promedio • fM(m): Función de densidad de probabilidad de la VA M con valor muestra m • Ej. Más común • d(m,vk) = (m – vk)2 , distorsión cuadrática media

21. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • Optimización: • No linealidad, no se puede establecer una forma definida. • Aproximando por algún algoritmo para resolver el problema de una manera iterativa

22. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • Diseño estructural del cuantificador, consiste en: • Codificador: Caracterizado por un set de particiones de celdas {Jk}Lk=1, localizado en el Tx. • Decodificador: Caracterizado por un set de niveles de representación {vk}Lk=1, localizado en Rx.

23. CONDICIONES PARA CUANTIFICADORES ESCALARES ÓPTIMOS • Dos condiciones críticamente importantes que proveen las bases matemáticas para las soluciones algorítmicas del problema de cuantificación óptima: • Asume un dado decodificador y el problema es encontrar el codificador óptimo para el Tx. • Asume un dado codificador y el problema es encontrar un decodificador óptimo para el Rx.

24. Cuantificación No Uniforme • Cuantificador no uniforme: A medida que la señal I/O aumenta, aumenta también el salto/cuanto. • Saltos grandes, excursiones de la señal en rangos grandes de amplitud, ocurren en forma no frecuente. • Saltos pequeños, necesitan mayor cobertura a expensas de los saltos grandes

25. Cuantificación No Uniforme • Cuantificador no uniforme es equivalente a hacer pasar la señal por un compresor y luego aplicar la señal comprimida a un cuantificador uniforme. • Ley de compresión m • m y v son voltajes normalizados de entrada y salida. • m es una ctte. >0

26. Cuantificación No Uniforme • Para un dado valor de m, la recíproca de la pendiente de la curva de compresión que define los saltos cuánticos, está dada por la derivada de ImI, respecto de IvI

27. Cuantificación No Uniforme • La ley m es aproximadamente logarítmica para mImI>>1 • En USA y Japón se utiliza compresión/expansión de ley m. • Los primeros sistemas de transmisión digital de Bell Systems utilizaban PCM de 7 bits con m = 100, los más recientes utilizan PCM de 8 bits con m = 255

28. Cuantificación No Uniforme • Otra ley de compresión muy utilizada en la práctica es la llamada ley A definida por

29. Cuantificación No Uniforme • El caso A = 1 corresponde a cuantificación uniforme. • La recíproca de la pendiente de la curva de compresión está dada por la derivada de ImI respecto de IvI

30. Cuantificación No Uniforme • En Europa el ITU ha establecido el uso del compresor / expansor ley A para aproximar el proceso logarítmico. • El comportamiento es inferior a ley m para señales pequeñas (ruido de canal inactivo). • La ley A es de uso en Europa, Sudamérica y en todas las rutas internacionales, debiendo los países que usan ley m adaptarse para las mismas. (A = 87.6)

31. Cuantificación No Uniforme • Para restaurar las muestras de la señal a su nivel correcto, se deberá utilizar un dispositivo en el Rx con una característica complementaria al compresor; un expansor. • Idealmente las leyes de compresión / expansión son complementarias excepto por el efecto de la cuantificación, la salida del expansor deberá ser igual a la entrada del compresor: Ambos efectos COMPANSIÓN

32. Cuantificación No Uniforme • Tanto para ley A / ley m, el rango dinámico del compansor mejora incrementando los valores de A / m. • La SNR para bajas señales se incrementa a expensas de la SNR de las señales de gran amplitud. • Situación de compromiso para la elección de los valores de A / m (valores típicos A = 87.6 y m = 255)

33. Cuantificación No Uniforme • La circuitería actual provee una réplica aproximada por partes a la curva deseada. • Se utiliza una suficiente cantidad de segmentos lineales, la aproximación se acerca bastante a la curva real de compresión.

34. Codificación • Código binario • Soportan alto nivel de ruido • Muy sencillo de regenerar • Cada palabra consiste en R bits (R = número de bits por muestra) • Números diferentes: 2R • Representación ordinal del número, más sencillo, en correspondencia con el binario Ej.: 15 23+22+21+20 1111

35. Códigos de línea • Son utilizados para representar eléctricamente una tira de datos binaria • Los símbolos 1 y 0 son equiprobables • La potencia promedio está normalizada a la unidad • La frecuencia está normalizada con respecto a la tasa de bits Rb = 1/Tb

36. Códigos de línea • Unipolar no retorno a cero (NRZ) • Polar no retorno a cero (NRZ) • Unipolar retorno a cero (RZ) • Bipolar retorno a cero (RZ) • Fase desplazada ó código Manchester

37. Códigos de línea: Unipolar NRZ • 1: Transmite un pulso de amplitud A para la duración del símbolo • 0: No hay transmisión • Más conocido como ON – OFF • Desperdicio de energía debido a la transmisión de DC level • El espectro de la señal transmitida no es cero en f = 0

38. Códigos de línea: Polar NRZ • 1: Transmite un pulso de amplitud A para la duración del símbolo • 0 : Transmite un pulso de amplitud -A para la duración del símbolo • Fácil de generar • El espectro de potencia de la señal es grande cerca de f = 0

39. Códigos de línea: Unipolar RZ • 1: Representado por un pulso rectangular de amplitud A y duración la mitad del símbolo • 0 : Ausencia de pulso • Presencia de funciones d en f=0; ±1/Tb en el espectro de la señal transmitida que puede ser usada para recuperación de clock en el receptor • Requiere 3dB adicionales de potencia que el bipolar RZ para tener la misma Pe de símbolo

40. Códigos de línea: Bipolar RZ • 1: Representado por dos niveles de amplitud, (-A, A), donde cada uno utiliza la mitad del ancho de bit. • 0 : Ausencia de pulso • El espectro de potencia no tiene componente de DC y tiene componentes de baja frecuencia de muy bajo bajor, cuando los símbolos 1 y 0 tienen igual probabilidad • AMI (Alternate Mark Inversion)

41. Códigos de línea: Fase Desplazada - MANCHESTER • 1: Representado un pulso positivo (+A) y un pulso negativo (-A), donde uno utiliza la mitad del ancho de bit. • 0 : Representado un pulso negativo (-A) y un pulso positivo (+A). • El espectro de potencia no tiene componente de DC y tiene insignificantes componentes de baja frecuencia.

42. CODIFICACIÓN DIFERENCIAL • Método de codificación por trancisiones de la señal • 0 : Transcisión • 1 : No trancisión

43. BIBLIOGRAFÍA • Communication Systems, Simon Haykin, 4ta. Ed. • Communication Systems, Simon Haykin, 3ra. Ed. • http://iaci.unq.edu.ar/materias/telecomunicaciones/archivos/2007