ΗΥ 4 30 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

1. ΗΥ430 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Περιληψη θεωριας Fourier

2. Ενεργεια και ισχυς σηματων • Ενέργεια σηματος w(t): • Ενα σημα w(t) ειναι σημα ενεργειας αν 0 < Ε <  • Ισχυς σηματος: • Για περιοδικα σηματα, με περιοδο Τ, η ισχυς μπορει να υπολογισθει ολοκληρωνοντας μεσα σε μια περιοδο. • Ενα σημα w(t) ειναι σημα ισχυος αν 0 < Ρ <  Τα σηματα ισχυος δεν υπαρχουν στην φυση (γιατι??) • Υπενθυμηση: Αν εναηλεκτρικο σημα εντασεως i(t) ή τασεως v(t) εφαρμοζεται σεμια αντισταση R αναπτύσσεται, την στιγμη t, ισχυς ιση προς i(t)2R ή v(t)2/R. Για R=1 Ωμ η στιγμιαια ισχυς ειναι ιση με το τετραγωνο του σηματος. Η ενεργεια που καταναλωνεται στο διαστημα [-Τ/2, Τ/2] ειναι το ολοκληρωμα της ισχυος στο διαστημα αυτο και η μεση ισχυς ο λογος της ενεργειας προς τον χρονο Τ.

3. DECIBELS • Μοναδα συγκρισης (κυριως ενεργειων και ισχυων) • Χρησιμη : • Οταν τα μεγεθη μεταβαλλονται κατα αρκετες ταξεις μεγεθους • Οταν μας ενδιαφερει κυριως η σχεση (ο λογος ) δυο μεγεθων • Για συγκρισεις ενεργειων ή ισχυων: db = 10 log10(P1/P2) • Mερικες φορες ειναι χρησιμη η συγκριση της ισχυος ενος σηματος με μια ισχυ αναφορας 1Watt (1W) ή 1 milliWatt (1mW). • dbW= 10 log10(P1/ 1W) • dbm= 10 log10(P1/ 1mW) • Παραδειγματα: Ρ1=1mW =0dbm, Ρ1=10mW =10 dbm, Ρ1=100mW =20dbm, Ρ1=1000mW =30dbm, Ρ1=2mW =3dbm, Ρ1=4mW =6dbm, Ρ1=8mW =9dbm, Ρ1=5mW =7dbm, Ρ1=2.5mW =4dbm, Ρ1=1.25mW =1dbm

4. O Μετασχηματισμος Fourier - Ορισμος • Ο μετασχηματισμος (μ/ς) Fourierτου σηματος w(t) ειναι ο: • Ο αντιστροφος μ/ς Fourier διδεται απο την σχεση: • Συμβολιζουμε ενα ζευγος μ/ς Fourier ως εξης: w(t)  W(f) ή W(f)=F(w(t)) • O μ/ς Fourier υπαρχει εαν το w(t) ειναι σημα ενεργειας

5. Αλλες μορφες του μ/ς Fourier • Σε μερικα βιβλια βλεπουμε και τον ακολουθο συμβολισμο: • Εδω η κυκλικη συχνοτηταω =2 π f μετριεται σε radians/sec και προφανως εχουμε dω=2 π df. • Οι δυο μορφες ειναι εντελως ισοδυναμες

6. Φυσικη σημασια του μ/ς Fourier • O μ/ς Fourier μπορει να θεωρηθει σαν ενας εργαλειο με το οποιο βλεπουμε ενα σημα απο μια αλλη οπτικη γωνια: • Κοιταξτε ποσο διαφορετικη μπορει να φανει μια καρεκλα οταν την κοιτάμε απο διαφορετικες γωνιες • Η συχνοτητα μετρα τον ρυθμο της χρονικης μεταβολης ενος σηματος: • «Η υψηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις γρηγορες μεταβολες συναρτησει του χρονου» • «Η χαμηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις αργες μεταβολες»

7. Παραδειγμα Υπολογισμου μ/ς FourierΤετραγωνικος Παλμος • Τετραγωνικος παλμος: • Αλλά • Οπότε Π(t/T) 1 t -Τ/2 Τ/2

8. Μ/ς Fourier Τετραγωνικου Παλμου (2) • Eιδαμε οτι Π(t/T)  Τ sinc(πfT) • Παρατηρησεις: • Η διαρκεια του παλμου ειναι αντιστροφως αναλογη του ευρους φασματος • Η ασυνεχεια στο πεδιο του χρονου οδηγει σε απεριοριστο φασμα πεδιο συχνοτητων Τ sinc(fT) Πεδιο χρονου π(t/T)

9. Ταυτοτητες EULER

10. Μερικα συνηθισμενα σηματα • Τετραγωνικος Παλμος: • Τριγωνικος Παλμος • Η συναρτηση δειγματοληψιας • Μοναδιαια βηματικη συναρτηση • Η μοναδιαια κρουστικη συναρτηση Βασικες ιδιοτητες της δ(t) T -T 1

11. Παραδειγμα μ/ς Fourier #2Η εκθετικη συναρτηση • Φασμα μετρου |Χ(f)|=|X(-f)| • Φασμα φασης

12. Παραδειγμα μ/ς Fourier #3Ημιτονοειδης Συναρτηση • Μερικες φορες ειναι ευκολωτερο να βρουμε ενα ζευγος μ/ς υπολογιζοντας τον αντιστροφο μ/ς. Ετσι αρχιζοντας απο την σχεση: • βρισκουμε: • δηλαδη

13. Μεθοδοι ευρεσης ζευγων μ/ς Fourier • Εφαρμογη του ορισμου • Δημιουργια πινακα με ζευγη μ/ς Fourier • Δημιουργια πινακα απλων κανονων για την μετατροπη των ζευγων του μ/ς

14. Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς • Γραμμικοτηταa1x1(t)+a2x2(t)  a1X1(f)+a2X2(t) • παραδειγμα: 5Π(t/10)+3Π(t/20)  50 sinc(10f) +30sinc(20f) • Χρονικη καθυστερηση: x(t-Td)  X(f)exp(-j2πfTd) παραδειγμα: sin(2πfct) = cos(2πfct – π/2) = cos[2πfc(t – 1/4fc)]  =(1/2)δ(f-fc)exp(-jπf/2fc) + (1/2) δ(f+fc)exp(-jπf/2fc)= =(1/2)δ(f-fc)jsin(-π/2) + (1/2)δ(f+fc)jsin(π/2) = =(-j/2)δ(f-fc) +(j/2)δ(f+fc)={δ(f-fc) -δ(f+fc)}/2j • Aλλαγη κλιμακας: x(at)  (1/ |a|)X(f/a) • Μεγαλο a => “στενωτερο” χρονικα σημα =>“φαρδυτερο” φασμα • Mικρο a => “φαρδυτερο” χρονικα σημα => “στενωτερο” φασμα

15. Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (2) • Ολοκληρωση: αν x(t)  X(f) και y(t) = - tx(τ)dτ τοτε Y(f) = X(f)/(2jπf) + (1/2) X(0)δ(f) • Παραδειγμα: Αν y(t)= -  tΠ(τ)dττοτε Υ(f) = sinc(f)/(2jπf) + (1/2)sinc(0)δ(f)= =sinc(f)/(2jπf) +(1/2)δ(f) • Παραγωγιση:d[x(t)]/dt  j2πfX(f)και t x(t)  (j/2π) d[X(f)]/df • Δυϊσμος (duality):Αν x(t)  X(f)τοτε Χ(-t)  x(f)και X(t)  x(-f) • Παραδειγμα: Π(t)sinc(f) =>sinc(t)=sin(πt)/(πt)  Π(-f) = Π(f)

16. Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (3) X(f) A A/2 -W W -fc-W –fc -fc+W fc-W fc fc+W • Διαμορφωση: x(t)cos(2πfct)  (1/2)X(f+fc) + (1/2)X(f-fc) • παραδειγμα • Θεωρημα του Parseval: E = |x(t)|2dt =  |X(f)|2df • H ενεργεια μπορει να υπολογισθει ειτε στο πεδιο του χρονου ειτε στο πεδιο συχνοτητων • H |X(f)|2καθοριζει τον τροπο κατανομης της ενεργειας στο φασμα • Παραδειγμα: Αν x(t)=sinc(t) τοτε E =  sinc2(t)dt =  [Π(f)]2df = 1

17. Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (4) • Συνελιξη: Ορισμος x1(t)*x2(t) = - x1(τ) x2(t-τ) dτ • Ιδιοτητα: x1(t)*x2(t)  X1(f) X2(f) • Μια πολυπλοκη πραξη στο πεδιο του χρονου αντιστοιχει σε απλο πολλαπλασιασμο στο πεδιο συχνοτητων. • Ετσι απλοποιουνται τοσο αναλυτικοι οσο και αριθμητικοι υπολογισμοι • Εφαρμογη στα γραμμικα συστηματα: • y(t) = x(t)*h(t)  Y(f) = X(f) H(f)h(t)  H(f) = συναρτηση μεταφοραςhttp://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Η αυτοσυσχετιση στο πεδιο του χρονου του x(t) οριζεται σαν Rx(τ) = -  x(t) x(t-τ) dt = x(τ)*x(-τ)  Χ(f) X*(f) = |X(f)|2 Η ενεργεια ΕΧ του σηματος x(t) ισουται με ΕΧ = RX(0) http://cnyack.homestead.com/files/aconv/convio.htm y(t) = -  x(τ) h(t-τ) dτ = = -  h(τ) x(t-τ) dτ Κρουστικη αποκριση h(t) x(t)

18. Περιληψη μ/ς Fourier • Μαθηματικη πραξη με αυστηρα οριζομενους κανονες • Φυσικη σημασια: Δειχνει το φασματικο περιεχομενο ενος σηματος • Διευκολυνει τον υπολογισμο πολλων ποσοτητων και παραμετρων • Θεωρημα Parseval (Υπολογισμος ενεργειας) • Θεωρημα συνελιξης (διελευση μεσα απο γραμμικα συστηματα)

19. Σχετικες εννοιεςΠυκνοτητα Φασματικης Ενεργειας και Ισχυος • Πυκνοτητα φασματικης ΕνεργειαςEΧ(f) = |X(f)|2 = F[R(τ)] • Πυκνοτητα φασματικης Ισχυος:Εστω οτι το x(t) ειναι σημα ισχυος. Τοτε δεν εχει μ/ς Fourier. Οριζουμε το truncated σημα xT(t) = x(t) Π(t/T) O μ/ς Fourier του xT(t) υπαρχει ((γιατι??) XT(f)  xT(t) H πυκνοτητα φασματικης ισχυος SX(f) οριζεται ως εξης: = οριο του λογου (ενεργεια/χρονος)

20. Αυτοσυσχετιση και πυκνοτητα φασματικης ισχυος σηματων ισχυος Για τo σημα ισχυος x(t) οριζουμε την μεση χρονικα συναρτησηαυτοσυσχετισης RX(τ) Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος (Power Spectral Density – PSD) SX(f) αποδεικνυεται οτι ειναι ο μ/ς Fourierτης RX(τ), δηλαδη: RX(τ)  SX(f) Η ισχυς του σηματος ΡΧειναι Εδω ορισαμε τις πυκνοτητες φασματικης ενεργειας και ισχυος για μη-τυχαια σηματα. Οι ιδιοι ορισμοι ισχυουν και για τα τυχαια σηματα.

21. Σχετικες Εννοιες (2)Σειρες Fourier • O μ/ς Fourier ειναι χρησιμος για ολα τα φυσικα υλοποιησιμα σηματα (=πεπερασμενης ενεργειας) • (και επιπλεον για μερικα μη υλοποιησιμα σηματα οπως το ημιτονοειδες σημα και η συναρτηση δελτα). δ(t)  1, 1 δ(f), cos(2πf0t)  (1/2)δ(f-f0) + (1/2)δ(f+f0) • Οι σειρες Fourier ειναι ενα παρομοιο εργαλειο μετασχηματισμου που ειναι χρησιμο για περιοδικα σηματα. • Τα περιοδικα σηματα ειναι σηματα ισχυος και εξ ορισμου μη υλοποιησιμα • Τα περιοδικα σηματα μπορουμε να τα παραστησουμε με μ/ς Fourier αν δεχθουμε την χρησιμοποιηση συναρτησεων δελτα.

22. Σχετικες Εννοιες (3)Σειρες Fourier - Ορισμος • Αν το x(t) ειναι περιοδικο σημα με περιοδο Τ0 , • αν ο αριθμος των μεγιστων και ελαχιστων καθως και των σημειων ασυνεχειας σε καθε περιοδο ειναι πεπερασμενος και • αν ειναι ολοκληρωσιμο κατ’ απολυτο τιμη στο [0, Τ0], τοτε μπορει να γραφεί σαν αναπτυγμα σε σειρα Fourier: οπου • Οι συντελεστες xnεπιλεγονται ετσι ώστεΟρθογωνικότητα • Οι συντελεστες xnονομαζονται συντελεστες Fourierκαι η f0= (1/T0) ειναι η θεμελειωδης συχνοτητα του x(t).

23. Παραδειγμα υπολογισμου σειρας Fourier • Εστω x(t) μια περιοδικη ακολουθια παλμων Π(t/τ) με περιοδο Τ0. Η x(t) γραφεται: • Οι συντελεστες Fourier υπολογιζονται ως εξης: • Οποτε

24. Σχετικες Εννοιες (4)Μετ/σμος Fourier Περιοδικων Σηματων • Το x(t) ειναι περιοδικο σημα με περιοδο Τ0. • Το αναπτυγμα σε σειρα Fourier ειναι • Παιρνοντας τον μ/ς Fourier αμφοτερων των μελων βρισκουμε: • Οι συντελεστες Fourier xnβρισκονται ως εξης: Οριζουμε το σημα xTo(t) = x(t) Π(t/T0)που ισουται με μια περιοδο του x(t), και εχει μ/ς Fourier ΧTo(f). Τοτε

25. Απο το συνεχες στο γραμμικο φασμαλογω περιοδικης επαναληψης • x(t)X(f) • x(t)+x(t-T)X(f)+X(f)exp(-j2πfT)=X(f)[1+exp(-j2πfT)]= = X(f) exp(-jπfT) [exp(jπfT)+exp(-jπfT)]= = 2 X(f) exp(-jπfT) cosπfT • x(t)+x(t-T)+x(t-2T)=X(f)[1+exp(-j2πfT)+ exp(-j2πf2T)]= =X(f) exp(-j2πfT)[exp(j2πfT)+1+exp(-j2πfT)]= = X(f) exp(-j2πfT)[1+2cos(2πft)] = X(f) exp(-j2πfT)[4cos2 (πft)-1] • x(t)+x(t-T)+x(t-2T)+x(t-3T) =X(f)[1+exp(-j2πfT)+ exp(-j2πf2T)+exp(-j2πf3T)]= =X(f) exp(-j3πfT)[exp(j3πfT)+ ex(jπfT) +exp(-jπfT)+1+exp(-j3πfT)]= =X(f) exp(-j3πfT)[2cos(3πfT/2)+2cos(πfT)]