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§1 － 7 　高阶偏导数及泰勒公式

§1 － 7 　高阶偏导数及泰勒公式. 一、高阶偏导数. 由于它们还是 x , y 的函数. 因此, 可继续讨论. 称为 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数. 类似 , 可得三阶 , 四阶 , …, n 阶偏导数. 例 1. 解 :. 问题 :. 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等 ?. 若不是 , 那么满足什么条件时 , 二阶混合偏导数才相等呢 ?. 定理 1. 若 z = f ( X ) = f ( x , y ) 的两个混合偏导数. 则. 分析 . 按定义. f ( x 0 +  x , y 0 ).

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§1 － 7 　高阶偏导数及泰勒公式

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  1. §1－7　高阶偏导数及泰勒公式

  2. 一、高阶偏导数 由于它们还是 x, y的函数. 因此, 可继续讨论

  3. 称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.

  4. 类似, 可得三阶, 四阶, …, n阶偏导数.

  5. 例1. 解:

  6. 问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢?

  7. 定理1 若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数 则

  8. 分析. 按定义

  9. f (x0 +x,y0) –f (x0,y0 +y) + f (x0 ,y0)] f (x0 ,y0 +y) –f (x0 +x,y0) + f (x0 ,y0)] 同理

  10. 证:分别给 x, y以改变量x, y , 使(x0 +x,y0 +y), (x 0 +x,y0)及 (x0 ,y0 +y)均在U(X0)内. 记 A = [ f (x0 +x,y0 +y) – f (x0 +x,y0)] – [ f (x0,y0 +y) – f (x0 ,y0)] (x) = f (x ,y0 +y) – f (x,y0), 有 A =  (x0 +x) –  (x0)

  11. 即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日中值定理条件. 因A =  (x0 +x) – (x0) , (x) = f (x ,y0 +y)–f (x,y0), A = ' (x0 +1x) x

  12. 得 再对变量 y用拉格朗日中值定理. 另外, A = [ f (x0 +x,y0 +y) – f (x0,y0 +y)] – [ f (x0+x,y0) – f (x0 ,y0)] 记 (y) = f (x0+x,y) – f (x0 ,y), 从而

  13. A = (y0 +y) –(y0)(由拉格朗日中值定理)

  14. 故

  15. 注 1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).

  16. 2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 　　若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x求导 m次, 对 y求导 k – m 次, 都可写成

  17. 例2. 解: 比较知 a = 1, b = 0.

  18. 例3. 解:设 u=x+y+z, v=xyz, 从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则.

  19. 注意： 还要用链式法则来求.

  20. 例4. 解:

  21. 例5. 解:(1) 由隐函数求导公式 从而,

  22. (2)上式两端对 x求偏导. 此时右边的z看作 x的的函数. y要看作常数. 有

  23. 例6.设方程组 解:(1)先求一阶偏导. 方程两边对x求偏导. 注意, u, v 看作 x, y 的函数. 得

  24. 从而,

  25. (2) 从而,

  26. 例7.设u = f (x, y, z), y=x3,  (x2, lny, z) = 0 . u = f (x, x3, z) 解:  (x2, 3lnx, z) = 0 易见 z, u均 x的函数, 方程两边对 x求导数.

  27. 得 从而

  28. 二、高阶微分 　　和一元函数一样, 多元函数也有高阶微分的概念. 我们只介绍二元函数的高阶微分. 若 dz还可微, 则记 d2z = d(dz), 称为 z 的二阶微分.

  29. 下边推导 z的 k阶微分的计算公式. 设以 x, y为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck . 　　由于x, y为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关. 固定x, y,, (即将它们看作常数), 求dz的微分.

  30. 且 d2z = d(dz)

  31. 引进记号. 记 　　这相当于规定了 "将字母 z 移到括号外" 的方法。

  32. 实际上， 它把C1中的每一个z, 通过上述运算, 映成了dz. 若记这个映射为g , 则

  33. 比较两端式子, 可看出, 不过是用一个我们陌生的式子 来代替字母 g而已. 即, 我们把这个映射称为一阶微分算子.

  34. 类似, 记

  35. 并规定:

  36. 　　故, 二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g复合二次. 　　只不过这种复合运算在上述规定下, 可以看作是一阶微分算子

  37. 一般, 若形式上规定.

  38. 注 (1) 当 z = f (x, y)Ck 时, z有 k阶微分. (2) 只有把它按上述规定, 展开后, 再将各项 "乘"以 z (即, 将 z补写在 k 后面), 一切记号才回复到导数和微分的意义.

  39. (3) 它本质上是一个映射. 它将Ck 中的元素 z映成 dk z . (4) 若 x, y不是自变量, dk z 一般不具有上述形式.

  40. §1－8　方向导数

  41. y y = f (x) y x<0 x>0 x x0+x o x0 x0+x 一、方向导数的概念 函数的导数就是函数的变化率. 比如, y = f (x), 如图

  42. y y = f (x) y x<0 x>0 x x0+x o x0 x0+x 表示在 x0处沿 x轴正方向的变化率. 表示在 x0处沿 x轴负方向的变化率.

  43. 又比如, z = f (x, y), 偏导数 分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.

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