3.3 多维随机变量及其分布一、多维随机变量及其联合分布函数

3.3 多维随机变量及其分布 一、多维随机变量及其联合分布函数定义1：如果是概率空间上的n个随机变量，那么称向量（）为n维随机变量或n维随机向量。定义2：对，称为n维随机变量的联合分布函数。【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量此时，有

y （x，y） ● 由上述得：F(x,y）是二维随机变量落入图中阴影部分的概率。 x

显见：落入任一矩形 内的概率： · · · ·

的联合分布函数F(x,y) 具有如下的基本性质： • F（x，y）对每个变元是非降的； • F（x，y）对每个变元左连续； • F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1 定理1：二维随机变量【注】

定理2：n维随机变量的联合分布函数 具有如下性质：对每个变量是非降的；对每个变量是左连续的；对任意的实数，

二、二维连续型随机变量 定义：如果二维R.V. 的联合分布函数 F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称是二维连续型R.V。此时，也称p（x，y）为的概率密度函数。

的联合密度函数p(x,y)具有如下性质： p(x,y) ≥0 在p(x,y)的连续点(x,y)处有 G是平面上某一区域，则

F(x,y)的边际分布函数 边际分布

p(x,y)的边际p.d.f

假设三、常用的二维连续型分布 1.均匀分布设是一平面区域，其面积为，向内随机地投一点，表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域 ,有显然： p(x,y)是随机变量服从区域上的均匀分布

注：可以把二维区域上的均匀分布推广到n维区域上的均匀分布

【解】 【注】1. 上的二元均匀分布可推广到m维区域上的均匀分布。 2. 可推广到n次矩形体上的多元均匀分布。【例1】设，求边际分布

附：

2.二元正态分布 （1）二元正态分布定义

（2）二元正态密度的性质

【例1】 两个边际分布都是正态的，但它们的联合分布可以不是二元正态

定义： 四、随机变量的独立性定理1 定理2

思考题 把定理1和定理2推广到n元的情形【例2】【解】

定理3

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