オフィスにおける社会的選択問題：論理プログラミングアプローチ

1. オフィスにおける社会的選択問題：論理プログラミングアプローチオフィスにおける社会的選択問題：論理プログラミングアプローチ Social Choice Problems in Office: A Logic Programming Approach

2. 発表の要点 • 筆者は論理プログラミング（ PROLOG）による社会的選択問題への新しいアプローチに，とりくんでいます． • また，分析の手順を体系化し、LPMSC法としてまとめました。本発表では，会議スケジューリング（と人員配置）のような、より現実的な応用を、論じてみたいと思います． • 具体的は，ＰＲＯＬＯＧによる実験データに基づき，戦略的操作不可能かつ非独裁的な会議スケジュール選定手続き（NDSPルール）を設計します． • また２つの制約条件、「穏当な選択」と「極大性」を追加することにより，MDSPルールを少数に絞り込むことができます．

3. 社会的選択問題（SCP) • 社会的選択問題とは，選好集計の問題(Arrow[3],Sen[4])． • 社会全体で共通して選ぶことができる代替案（社会状態）の集合 • 各メンバーの考えるその望ましい順序（個人の選好プロフィール） • これらを統合し，社会全体としての順序（ないし案）を定める． [3] Arrow, K., Social Choice and Individual Values, Yale University Press, 1963. [4] Sen, A., Choice, Welfare and Measurement, The MIT Press, 1982.

4. （ｘ，ｙ，ｚ）をランキングとして読むと… （ｘ，ｙ，ｚ） ⇔　業務ｘは業務ｙより優先されるべきだ．（最初のペアより） ＆　業務ｙは業務ｚより優先されるべきだ．（後のペアより） ＆　業務ｘは業務ｚより優先されるべきだ．（推移性による）

5. 3代替案のときの選好モデル（例） r（1）＝(a,b,c), 　　　　田中さん,鈴木さん r（2）＝(a,c,b), 　　　　北川さん r（3）＝(b,a,c)，　　　　山本さん r（4）＝(b,c, a), 　　　　該当者なし r（5）＝(c,a,b), 　　　　社長？ r（6）＝(c,b,a) 　　　　専務 オフィス全体としての順序 ｒ（ｋ） 社会的厚生関数（ＳＷＦ） 社会的選択関数（ＳＣＦ）ではX∈{a,b,c}を選ぶ 各メンバーが各々考える理想の順序

6. 不可能性定理 • Gibbard-Satterthwaiteの定理([1],[2]) • Arrowの一般不可能性定理[3] • 社会的選択理論の初期の成果として有名 [1] Gibbard, A., “Manipulation of voting schemes: A general result,”Econometrica, Vol. 41: 587-602, 1973. [2] Satterthwaite, M. A., “Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions,”Journal of Economic Theory, Vol. 10: 187-217, 1975.

7. 現実のオフィスにあてはめると．．． • 例えば，こんな作り話に当てはまる？ • ある国のあるオフィスでは，ある方法で，翌日の会議を，朝一番にするか，昼食後にするかを決めていた．全員が正直に自分の意見を言い，皆が結果に満足していた．ところがある日，夕方の時間帯も諮ることになった．すると，その日を境に，いつも同じ一人のいいなりになってしまった．　・・・予稿集冒頭に示したお話し

8. 戦略的操作可能か，さもなくば独裁か • 前出の定理([1],[2])は，代替案が３つ以上のとき，以下の条件の下で，戦略的操作可能性か独裁かの，いずれか一方だけが成り立つことを帰結する． • いかなる個人の選好モデル （ランキングの組）も制限されない． • どの代替案も，社会的選択のルール（SCＦ)において，禁止されない（いずれかのランキングの組で選出されうる） 非制限的領域（U) unrestricted domain 市民主権（CS) citizen's sovereignty

9. 戦略的操作不可能性 • SCFの戦略的操作が不可能であること （Strategy Proofness；SP） ⇔　SCFが戦略的操作可能（Manipulable）でない ⇔　あるランキングの組で，ある人が自分のそれを偽ると，SCＦによって，その人に有利な選択が行われるということがない．

10. 独裁性 • 社会的に選出される案が，ある一人のメンバーのベストの案と，つねに一致． • 非独裁性（Non-dictatorship；ND）

11. いくつかの可能性定理 • 2代替案の場合[3] • 単峰性領域[3] • 価値制限領域[8,4] 単峰性などを含む • 分解可能性[10] [8] Inada, K., “On the simple majority decision rule,” Econometrica, Vol. 36: 490-506, 1969. [10] Kalai, E. and Muller, E., “Characterization of domains admitting nondictatorial social welfare functions and nonmanipulable voting procedures,” Journal of Economic Theory, Vol. 16: 457-469, 1977.

12. 社会的選択理論（ないしゲーム理論）の会議スケジューリングへの応用社会的選択理論（ないしゲーム理論）の会議スケジューリングへの応用 • Ephratiら[5] • 戦略的操作を防ぐため，重みつき投票に，クラーク税を用いた． • 税や税引き後スコアの意味が分かりにくい． • 無関係な代替案の独立性（IIA）に違反する． • Pinoら[9] • 上記の研究を含むレビュー．代替システム開発 [5] Ephrati, E., Zlotkin, G., and Rosenschein, J. S., “Meet your density: A non-manipulable meeting scheduler,”CSCW’94, pp. 22-26, 1994. [9] Pino, J. A. and Mora, H. A., “Schduling meetings using participants’ preferences,”Information Technology & People, Vol. 11(2): 140-151, 1998.

13. ボスを追放したら，オフィスは猜疑心に満ちる？ボスを追放したら，オフィスは猜疑心に満ちる？ • Pinoら[9]のレビューで示唆されているように，オフィスのメンバーの選好に基づく会議スケジューラーは利用されていない． • その理由は，慣習的な方法が，戦略的操作と独裁性を回避するのに役立っているからと考えられる(第3節） • また，メンバーの選好を固定入力させることは，心理的な抵抗があるといわれる．（上記の解決を無にすることになりかねないという意味では，合理的かもしれない…）

14. LPMSC法の利点 • しかし，よりフラットなオフィスでは，別の方法，つまり適切に制限された領域の設計法が必要ではないか．LPMSC法はそのための論理的かつ計算的手段を提供する． • 申告に基づき，ある可能なスケジュールの集合を設定するので，厳密にプライバシーを明かさなくてすむ．

15. PROLOGで容易にできたこと • LPMSC法についての先行研究([6],[7])で行われたこと • 2人3代替案強順序の場合の２つの不可能性定理の自動証明 • 分解可能な制限的領域の生成とその非独裁かつ操作不可能な社会的選択の自動設計 [6] Indo, K., “An automated proof of the Arrow’s theorem,” mimeo, 2006. (http://www.us.kanto-gakuen.ac.jp/indo/wp/myswf.pdf) [7] 犬童健良, “社会的選択問題のための論理プログラミング,” mimeo, 2006. (http://www.us.kanto-gakuen.ac.jp/indo/wp/lpmsc.pdf)

16. 例１． • 会議 • M1：会議1 • M2:会議2 • タイムスロット • T1：朝 • T2:昼 • 可能なランキング（可能なスケジュール） • （M1，M2) • （M2，M1)

17. 多数決による社会的選択（３人のオフィスにおける１つのケース）多数決による社会的選択（３人のオフィスにおける１つのケース） • 個人の望むスケジュール • 人1：（M1，M2) • 人2：（M1，M2) • 人3：（M2，M1) • 社会全体としての決め方 • 多数決による ？ • 多数決による決定 • （M1，M2)

18. この場合，戦略的操作可能性（虚偽報告の動機）がないので…この場合，戦略的操作可能性（虚偽報告の動機）がないので… • 個人の望むスケジュール • 人1：（M1，M2) • 人2：（M1，M2) • 人3：（M2，M1) • 社会全体としての決め方 • 多数決による • 個人の申告 • 人1：（M1，M2) • 人2：（M1，M2) • 人3：（M2，M1) 正直！ 正直！ 正直！ • 多数決による決定 • （M1，M2)

19. 例２． • ランキング（スケジュール） • （M1，M2，－) • （M2，M1，－) • （M1 ，－ ，M2) • （M2 ，－ ，M1) • （ － ， M1，M2) • （ － ， M2，M1) • 会議 • M1：会議1 • M2:会議2 • タイムスロット • T1：朝 • T2:昼 • T3:晩

20. 戦略的操作が可能になる１つのケース 正直を仮定すると．．． ペアごとの多数決 • (M1，M2) ∵M1（2票），M2(1票) • (－, M2) ∵M2（1票），－(2票) • (－, M1) ∵M1（1票），－(2票) • 個人の望むスケジュール • 人1：（M1，M2，－) • 人2：（－， M1，M2) • 人3：（－，M2，M1) • 多数決による決定 (－， M1, M2)

21. 戦略的操作が可能になる１つのケース ペアごとの多数決 • (M1，M2) ∵M1（2票），M2(1票) • (M2，－) ∵M2（2票），－(1票) • (－，M1) ∵M1（1票），－(2票) • 個人の申告 • 人1：（M1，M2，－) • 人2：（－， M1，M2) • 人3：（M2，－，M1) 全員正直なら　.. (－， M1 ， M2) • 多数決は非推移的 (M2，－， M1，M2)

22. NDかつSPの社会的選択は可能か？ • いくつかの可能性定理 • 非制限的領域 • 2代替案[3] • 市民主権の制限[3] • 制限的領域 • 価値制限など[4,8] • 分解可能性[12]

23. 先の選好モデルをNDSPにするには.. • 可能なランキング • （M1，M2，－) ＝r(1) • （－， M1，M2) ＝r(5) • （M1，－，M2) ＝r(2) • （－，M2，M1) ＝r(6) • （M2，－，M1) ＝r(4) • 　ただし、ここでは人3のr(4)またはr(6)、および人2のr(5)またはr(2)を申告する戦略的操作可能性のみ考える。 • 　対応する付録1中の5順序NDSPルール３つのうち、いずれかを、右図のように、(a,b,c)⇒(M1,M2,-)と読み替えて用いる。これを任意の2人を選んで使えば、3人に対するNDSPルールを得る。 • もし人1と人3を選ぶと、 • （1,6）=>(-, M1,M2) • (1,4)=>(M2,-,M1)

24. 穏当な選択（２．４） • R１＝r(1)＝(a，b，c)，R２＝r(4)＝(b，c，a) • 上の例で，トリプル(a,b,c)について，仮に社会がaを選ぶとすると，次の意味においてラディカルな選択である．すなわち，人1にとってベスト，人2にとってワーストになるが，しかし，「もしbを選んでいたなら，セカンドベストになる人2が，たった一人，生じるだけであったろうに」という，公平性に照らしての慙愧の念を含む． • 穏当な選択は，上の意味でラディカルな選択を含まないものとする．忌避されるべき順序ペアと選択案の組合せは，６つある． (1,4,a) ，(1,5,c) ，(5,4,b)，(2,3,b) ，(2,6,a)，(3,6,c) 予稿集および配布資料で(5,4,c)となっていますが、正しくは(5,4,b)です。

25. 穏当な選択に違反する箇所

26. 修正LPMSC法(2人3代替案)(4.1) • A1．まず各人の選好順序，社会的意思決定ルール，およびその制約条件（論理仕様）を，PROLOGコードとして実装する． • A2．PROLOGコードによる実験を通じ，論理仕様を満たす社会的意思決定ルールと，許可される順序のリスト（許容的領域）をモデリングする． • A3．論理仕様が満たせない場合は，A2に戻り，不満足性の指標が許容水準以下になるまで，あるいはモデラーやユーザの納得が得られるまで，モデリングを反復する（DS基準⇒次のスライド）．

27. DS基準（４．２） 訂正（＊ 実際には市民主権も加えた｛NDSP，CS｝を用いている． お詫びして訂正します． • 以前の研究では，2人3代替案の場合について，上記の手順A3を，DS基準＝｛NDSP｝として決定的に解いた． • またそのPROLOGコードを用いた実験では，NDSPルール＊は290通り出力される．本論文ではNDSP条件に加えて，穏当な選択の条件(R)，および埋込み極大性の条件(M)を採用し，NDSPルールを図1のように絞り込んだ． • 専用プロトコル（アルゴリズムＢ）により，ユーザーの選好に基づき，ＤＳ基準を満たすルールを選択する．

28. 図1．穏当かつ極大なNDSPルール 3代替案のNDSP（非独裁，かつ戦略的操作不可能）な許容的領域とサイズ 2人のランキング対の番号 r（１）＝(a,b,c), r（2）＝(a,c,b), r（3）＝(b,a,c) r（4）＝(b,c, a), r（5）＝(c,a,b), r（6）＝(c,b,a)

29. (埋め込み）極大性（５．１） • 290通りのNDSPルールの中には，より広い許容的領域に自分自身を埋め込めるものが多く含まれている．そうでないものを，埋込み極大性を満たすNDSPルール，あるいは，たんに極大ルールと呼ぶことにする． 付録2参照

30. アルゴリズムBthe protocol　（４．３） • B1．希望する順序を，各自一つずつ申請する．図1から，申請された順序番号のペアを包含するNDSPルール（SCF＋許容的領域）のうち１つを選ぶ． • B2．選んだルールで，不許可にする順序ペアと共に，各人に提示する．拒否されたら別のルールを提示する．該当するルールがなければ，B1に戻る． • B3．選ばれたSCFを用い，先頭タイムスロットの会議を割当てる．先頭のタイムスロットと割当済みの会議を削除し，残りのペアの順序を（多数決により）決める． • あるいはB2で不許可にすべき順序を，B1で申請するように変更してもよい．

31. 極大性だけでは十分でない 付録１ 参照 • 極大ルールは許可リストのサイズごとに，それぞれ5順序24個，4順序18個，3順序14個，合計56個ある． • とくに3順序の場合の領域は，いわゆるラテン方格（(1,4,5)と(2,3,6)）である． • 2順序の許容的領域には極大ルールはない．ちなみに極大でないものは，いずれも反対順序ペアに対しての15個である．

32. なぜより広い領域がいいのか？（５．２） • 安定性（S）の条件を，不許可にする順序の数の少なさとしよう．この観点では，極大なルールはその下位ルールに勝る． • 条件Sはそれ自体ではDS基準にならないが，選好変化に備えて頑健なルールを設計したいときには，できるだけ可能な順序が多い方がよいだろう． • 例えば，2順序(1,6)に対するNDSPルール5つのうち，一つ(abbc)を除くと，図1の最初の4つのルールに埋込まれている．その(abbc)は5順序領域の穏当ではないルールに埋込まれている．

33. なぜ5順序の領域を使わないのか？（５．３）なぜ5順序の領域を使わないのか？（５．３） • 実は，穏当性を満たす極大ルールは，4順序の3領域における6個と，ラテン方格に対する2個の，合計8個しかない(図1参照)． • アルゴリズムBは4順序の領域における極大ルールを採用している．これは5順序のNDSPがすべてラジカルな選択を含み，したがって穏当性に違反するためである． • 4順序の極大ルールは，全ペアをカバーし，一致と反対のペアの場合を除くと，バランスがとれている．またラテン方格を含まないので，価値制限(VR) ([4], [8])を満たす．

34. 「4順序の極大ルールは全ペアをカバーし，一致と反対のペアを除いてバランスしている。」「4順序の極大ルールは全ペアをカバーし，一致と反対のペアを除いてバランスしている。」

35. ６　人員配置問題の場合 • マッチング問題として，形式的には同じモデルである． • 会議スケジューリング • 会議とタイムスロットのマッチング • 人員配置問題 • 人と仕事のマッチング • 後者に対する上昇オークションは，VCG価格と一致し，操作不可能性を保証する[11]． • LPMSC法では VCGのような課税スキームなしに，操作不可能にすることができる． [11] Leonard, H. B., “Elicitation of honest preferences for the assignment of indivisuals to positions,” Journal of Political Economy, Vol. 91(3): 461-479, 1983.

36. まとめ • 社会的選択問題を，より現実的な会議スケジューリングを例にとり，その意義について考えた． • 多数ある非独裁的・操作不可能な社会的意思決定ルール（NDSPルール）のうち，より望ましい条件（穏当性）を満たすものを，3代替案の場合に，6 種類に絞ることができた． • あいまいな選好順序を設定することにより，スケジューラ利用者の心理的抵抗の軽減を狙ったスケジュール選定手続き（アルゴリズムB）を提案した．

37. おわり • 拙発表をお聞きいただき，ありがとうございました．

38. 文献（予稿集と同じです） • Gibbard, A., “Manipulation of voting schemes: A general result,” Econometrica, Vol. 41: 587-602, 1973. • Satterthwaite, M. A., “Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions,” Journal of Economic Theory, Vol. 10: 187-217, 1975. • Arrow, K., Social Choice and Individual Values, Yale University Press, 1963. • Sen, A., Choice, Welfare and Measurement, The MIT Press, 1982. • Ephrati, E., Zlotkin, G., and Rosenschein, J. S., “Meet your density: A non-manipulable meeting scheduler,” CSCW’94, pp. 22-26, 1994. • Indo, K., “An automated proof of the Arrow’s theorem,” mimeo, 2006. • (http://www.us.kanto-gakuen.ac.jp/indo/wp/myswf.pdf) • 犬童健良, “社会的選択問題のための論理プログラミング,” mimeo, 2006. • (http://www.us.kanto-gakuen.ac.jp/indo/wp/lpmsc.pdf) • Inada, K., “On the simple majority decision rule,” Econometrica, Vol. 36: 490-506, 1969. • Pino, J. A. and Mora, H. A., “Schduling meetings using participants’ preferences,” Information Technology & People, Vol. 11(2): 140-151, 1998. • Kalai, E. and Muller, E., “Characterization of domains admitting nondictatorial social welfare functions and nonmanipulable voting procedures,” Journal of Economic Theory, Vol. 16: 457-469, 1977. • Leonard, H. B., “Elicitation of honest preferences for the assignment of indivisuals to positions,” Journal of Political Economy, Vol. 91(3): 461-479, 1983.

39. 付録１．5順序のＮＤＳＰルール

40. 付録2．2順序のＮＤＳＰのベーシス

42. PROLOGでもむずかしかったこと補遺 I deeply ahamed of guessing that ... • 4代替案以上のケースでの設計は，意外にむずかしい．執筆段階では，より大きな問題では，トリプルに分解して，ペアまで砕いたら，多数決を使おうと思っていた（5.4節）． • しかし，現在知られているFishburn-Craven ，Abello-Johnsonの方法でも，厳密な最長価値制限領域は知られていない．（例えばn>4のときの下界は3＊2n-2-4） • 現在のコードは，6代替案以下で2n-1の領域を生成できる． • ただし，トリプルに対する穏当性を満たす前出の極大領域は，稲田[8]の2群分割可能性（中位でないことに合意できる代替案がある）を満たす．また，最長多数決非循環領域の最善下界の研究において，その一般化が用いられており，5節で述べた階層化の方法を正当化できるかもしれない．

43. 補足．非推移性の源泉(Inada[8], Sen[4]) • 許可されたランキングの中に,ラテン方格(latin square)が含まれていると，ペアワイズ多数決は循環してしまう．また強順序の奇数人数の場合，非推移性の必要十分条件である[8]． • ラテン方格：代替案のトリプルで，どの案もどの3順位をもれなくとる最小の組み合わせ． • 言換えれば，各トリプルで，順位の分布に最低1つの穴があれば，多数決は循環しない（⇒文献で価値制限と呼ばれている）

44. 予稿集論文の構成 • 1節　全体の紹介です． • 2節　会議スケジューリングを社会的選択問題として述べてみます． • 3節　不可能性定理とその回避について述べています． • 4節　修正LPMSC法を説明しています． • 5節　その合理的根拠を説明しています． • 極大性と穏当性の基準の下で，操作不可能な非独裁的スケジューリング選択法（NDSPルール）を絞り込みます． • 6節　人員配置問題を論じます． • 7節　まとめます．