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Mathematics Appreciation. 数学欣赏. 主讲：张文俊. 第六章 数学问题. 几个著名数学问题的历史与现状. 名人语录. 问题是数学的心脏。 —— P.R.HALMOS 意义深刻的数学问题从来都不是一找出答案就完事了。 …… 每一代数学家都重新思考并重新改造他们的前辈所发现的解答，并把这些解答纳入当代流行的概念和符号体系之中。 ——L. BERS.
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Mathematics Appreciation 数学欣赏 主讲：张文俊
第六章数学问题 几个著名数学问题的历史与现状
名人语录 问题是数学的心脏。 ——P.R.HALMOS 意义深刻的数学问题从来都不是一找出答案就完事了。……每一代数学家都重新思考并重新改造他们的前辈所发现的解答，并把这些解答纳入当代流行的概念和符号体系之中。 ——L. BERS
只要一门学科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境地。只要一门学科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境地。 深圳大学综合选修课程
希尔伯特 几个著名数学问题的历史与现状 • 几何作图三大难题 • 化圆为方 • 倍立方体 • 三等分角 • 费马大定理 • 哥德巴赫猜想 • 四色猜想 • 庞加莱猜想 选题原则： 典型、重要、著名、合适 范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
第一节 几何作图三大难题 zwj@szu.edu.cn
倍立方体 几何作图三大难题 In This Section 一家人 • 化圆 • 为方 三等 分角 zwj@szu.edu.cn
= ×2= （公元前5世纪——1882年） zwj@szu.edu.cn
1 背景
诡辩学派与几何作图 欧几里得 • 几何学起源：古代中国和古埃及。 • 古希腊几何：公元前七世纪， “希腊七贤”之一的“希腊科学之父”泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及几何并传回希腊。
诡辩（智人）学派与几何作图问题： 公元前六世纪到五世纪，以芝诺（Zenon, 约公元前490---前429）为领袖的诡辩学派，以注重逻辑性而著称，他们主要研究几何作图问题。
为何研究作图问题 • 主要目的: 培养与锻炼人的逻辑思维能力，提高智力. • 作图方式： 限定作图工具：直尺（无刻度）和圆规 限定作图时间：必须在有限步内完成 • 遗留难题： 化圆为方 倍立方体 三等分角
2 传说
分明是一个大火球，哪里是什么神呀？ 1. “化圆为方”——一个囚徒的冥想 公元前5世纪，古希腊数学家、哲学家安纳萨格拉斯（Anaxagoras, 约公元前500—428年）在研究天体过程中发现，太阳是个大火球，而不是所谓的阿波罗神。
由于这一发现有背宗教教意，安纳萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而被投入监狱，并判处死刑。由于这一发现有背宗教教意，安纳萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而被投入监狱，并判处死刑。 在监狱里，安纳萨格拉斯对自己的遭遇愤愤不平，夜不能眠。
夜深了，月光透过正方形的铁窗照进牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察圆月的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会儿看见方窗比圆月大。最后他说：夜深了，月光透过正方形的铁窗照进牢房，安纳萨格拉斯不断地变换观察圆月的方位，一会儿看见圆月比方窗大，一会儿看见方窗比圆月大。最后他说： “算了，就算两个图形的面积一样大好了。” =
= 于是，他把 求作一个正方形，其面积等于已知圆的面积 作为一个问题进行研究。
这就是化圆为方问题 求作一个正方形， 其面积等于已知圆的面积 该问题直到1882年才被德国数学家林德曼（C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明为不可能。
2. 瘟疫、祭坛与“倍立方体问题” 公元前429年，希腊首府雅典发生了一场大的瘟疫，居民死去四分之一，希腊的统治者裴里克里斯也因此而死。雅典人派代表到第罗（Delos）的太阳神庙祈求阿波罗神，询问如何才能免除灾难。一个巫师转达阿波罗神的谕示：由于阿波罗神神殿前的祭坛太小，阿波罗神觉得人们对他不够虔诚，才降下这场瘟疫，只有将这个祭坛体积放大成两倍，才能免除灾难。
居民们觉得神的要求并不难做到。因为他们认为，祭坛是立方体形状的，只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。居民们觉得神的要求并不难做到。因为他们认为，祭坛是立方体形状的，只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。 ? ×2=
于是，人们按照这个方案建造了一个大祭坛放在阿波罗神的神殿前，但是，这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘由，巫师说道：于是，人们按照这个方案建造了一个大祭坛放在阿波罗神的神殿前，但是，这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘由，巫师说道： “他要求你们做一个体积是原来祭坛两倍的祭坛，你们却造出了一个体积为原祭坛8倍的祭坛，分明是在抗拒他的旨意，阿波罗神发怒了。”
居民们明白了问题所在，但是，他们绞尽脑汁，却也始终找不到建造的方法。他们请教当时的有名数学家，数学家也毫无办法，这个问题就作为一个几何难题流传了下来。居民们明白了问题所在，但是，他们绞尽脑汁，却也始终找不到建造的方法。他们请教当时的有名数学家，数学家也毫无办法，这个问题就作为一个几何难题流传了下来。
这就是著名的“倍立方体问题”，又叫“第罗问题”：这就是著名的“倍立方体问题”，又叫“第罗问题”： 求作一个正方体，其体积等于已知正方体体积的两倍 该问题直到1837年才由万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定的答案。
3. 公主的别墅与“三等分角问题” 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区，圆心处是一位美丽的公主的居室。别墅区中间有一条东西方向的河流将别墅区划分两半，河流上建有一座小桥，别墅区的南北围墙各修建一个大门。这片别墅建造的非常特别，两大门与小桥恰好在一条直线上，而且从北门到小桥与从北门到公主的居室距离相等。
北门N 小桥P 河流 H公主居室 南门S 过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为小公主修建一片别墅，小公主提出她的别墅要修建的向姐姐的一样，有河、有桥、有南门、北门，国王答应了。
北门N 小桥P 河流 H公主居室 南门S 小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好南门，确定北门和小桥的位置时，却犯了难。如何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并且，北门到居室和小桥的距离相等呢？
北门N 小桥P 河流 H公主居室 南门S 要确定北门和小桥的位置，关键是算出夹角 。记a为南门S与居室H连线SH与河流之间的夹角，则通过几何知识可以算出 a ?
这相当于 求作一个角，等于已知角的三分之一 也就是三等分一个任意角的问题。工匠们试图用尺规作图法定出桥的位置，却始终未能成功。
这就是著名的“三等分任意角”问题 求作一个角， 等于已知角的三分之一 这个问题流传下来，直到1837年才由万锲尔给出否定的答案。
3 三大作图难题难在何处？
直尺和圆规能做什么？ 作图工具——直尺和圆规能做什么？ 直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
笛卡尔 深入地看：17世纪数学家笛卡尔创立的解析几何知识，将几何问题转化为代数问题研究，从而也为解决三大难题提供了有效的工具。
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到： 直线方程是（一次）线性的，而圆的方程是二次的。通过上述五种手段所能做出的交点问题，转化为求一次与二次方程组的解的问题。
简单的代数知识告诉我们： 通过直尺与圆规所能做出的只能是已知线段（长度）的和、差、积、商以及开平方的有限次组合。
三大作图问题的不可能性 三大作图问题要作什么？ （1）“倍立方体” ，要作出数值 （2）“化圆为方” ，要作出数值 （3）“三等分角”，如果记a = cosA, 要作出角度A/3, 也必作出相应的余弦值x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x是方程 的解。
三大作图问题是不可能的 （1）“倍立方体” ，要作出数值 ， “三等分角”，要作出是三次方程 的解。1837年万锲尔证明，这两个问题都是用直尺和圆规不能作出的。 （2）“化圆为方” ，要作出数值 ，1882年德国数学家林德曼（C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明了是超越数，随即解决了“化圆为方”问题的不可能性。
4 ？ “不可能” = “未解决”
生活中：“不可能”=“未解决” 在日常生活中，我们许多情况下所指的“不可能”，意味着在现有条件或能力下是无法解决的，是不可能的，它会随着历史的发展由不可能变为可能。这里的“不可能”等于“未解决”。比如，在没有发明电话之前，一个人在香港讲话，在深圳的人们不可能听到；在没有飞机之前，要在3小时内从香港到达北京也是不可能的，如今这些都已成为可能。
数学中：“不可能”“未解决” 但是，数学中所说的“不可能”与“未解决”具有完全不同的含义。 所谓“不可能”是指，经过科学论证被证实在给定条件下永远是不可能的，它不会因时间的推移、社会的发展而发生改变。 而“未解决”则表示目前尚不清楚答案，有待于进一步研究的。
打一个形象的比喻： “到木星上去”是一个未解决的问题，您可以去研究解决的办法； 但“步行到木星上去”则是一个不可能的事情，如果有人再去一门心思研究这个问题就会成为笑话。
几何三大作图难题是已经解决了的，结论为“不可能”。几何三大作图难题是已经解决了的，结论为“不可能”。 其前提是尺规作图。 如果不限于尺规，它就会成为可能，目前已知的方法就有好几种。 “三等分角问题”除了尺规要求外，还有一点常被人忽略，那就是三等分的是“任意角”，对于某些具体的角度，比如90，它就是可能的。
5 启示
启示1: • 对于历史长、影响深，经过一些著名数学家钻研而尚未解决的那些著名问题，往往要越出通常的方法才能解决. 它山之石，可以攻玉！
启示2: • 问题本身的意义不仅在于这个问题的解，更在于一个问题的解决可望得到不少新的成果和发现新的方法。 醉翁之意不在酒！
启示3: • 几何三大问题的研究开创了对圆锥曲线的研究，发现了一些有价值的特殊曲线，提出了尺规作图的判别准则，等等。这些都比几何三大问题的意义深远得多。 无意插柳柳成荫 ！
对于那些至今未解决的许多著名问题，例如哥德巴赫猜想等，也应采取这样的态度，停留于初等方法是决不可能解决这些问题的.对于那些至今未解决的许多著名问题，例如哥德巴赫猜想等，也应采取这样的态度，停留于初等方法是决不可能解决这些问题的.
第二节 Fermat大定理 zwj@szu.edu.cn
第二节Fermat大定理 （1637年——1994年） 方程 没有正整数解。
1 背景
