Современные проблемы прикладной математики и информатики

1. Курс лекций для магистров Направление 010400.68 Прикладная математика и информатика Профиль подготовки Математическое и информативное обеспечение экономической деятельности Автор курса : Лелявин С.Н. Современные проблемы прикладной математики и информатики

2. СТРУКТУРА ЕЁ РЕАЛЬНОСТИ ОБЪЕКТИВНОСТЬ МИРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФОРМ ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ

3. Мир математических форм обладает объективным самостоятельным существованием, не принадлежа при этом ни миру материи, ни миру духа, но представляя третий сорт бытия, не сводимый к первым двум. критерии объективной реальности

4. Как практически проверить факт такого независимого существования? Можно ли формулировке придать ясный смысл? Достаточныекритерии реальности объектов: Что объективно познаваемо, то объективно существует. (R) критерии объективной реальности Достаточные критерии объективной реальности

5. 1. «Объективно познаваемо» то, что приводит к воспроизводимому знанию, –к знанию, которое может быть получено с использованием воспроизводимых методов. Разные исследователи могут прийти к одной и той же информации об интересующем объекте, эта информация имеет объективный смысл, не зависящий от самих субъектов, но зависящий от объекта, который, тем самым, объективно существует. Достаточные критерии объективной реальности

6. Если вместе с воспроизводимостьюметода имеется и воспроизводимостьрезультата, то объект познаваем этим методом, так как не только процедуру можно воспроизвести, но и результат ее будет одним и тем же. Достаточные критерии объективной реальности

7. 2.Знание, в одном и том же или эквивалентном виде получено независимо разными исследователями, так чтобы независимые акты познания были связаны также с воспроизводимыми методами. Воспроизводимая методика должна быть в реализуема чисто механически, автоматом. Это принципиальный элемент определения воспроизводимости. Достаточные критерии объективной реальности

8. Введем признаки объективной познаваемости и, соответственно, объективной реальности в форме «квазиматематической». Пусть А означает вещь, которая может быть объектом познания, ОбСущ(А), ОбПозн(А), ВоспрМет(А), НезОткр(А) есть предикаты, означающие, соответственно, «А объективно существует», «А объективно познаваемо», «А познаваемо воспроизводимыми методами», «А открыто независимо более одного раза», тогда введенные выше признаки объективного существования объекта А имеют форму двойной импликации: ВоспрМет(А) ⇒ОбПозн(А) ⇒ОбСущ(А) (R1) НезОткр(А) ⇒ОбПозн(А) ⇒ОбСущ(А) (R2) Поэтому собственной реальностью обладает все то, что объективно познаваемо, Достаточные критерии объективной реальности

9. Объективная реальность не обязана быть однородной, но реальность не находится в зависимости от того, имел ли место фактически акт познания в отношении этого объекта – свойство «потенциальности». «Потенциальность» может характеризовать наше субъективное отношение к существованию каких-то объектов, но не это существование как таковое. Одиночное квантовое измерение хоть и воспроизводимо как процедура, но не приводит ни к какому объективному знанию из-за отсутствия воспроизводящегося результата. Поэтому проблема «потенциальной» реальности снимается. Достаточные критерии объективной реальности

10. Обладают ли «самостоятельным» существованием абстрактные математические объекты? Математические объекты мыслимые как реально существующие, известны, как «математический реализм». Величайшие математики придерживались этой позиции: среди них Ш.Эрмит, Д. Гильберт, А. Пуанкаре, К.Гёдель.РоджерПенроуз «Путь к реальности...» [3] (стр. 37): «Множество Мандельброта совершенно определенно не является изобретением человеческого разума. Оно просто объективно существует в самой математике… множество Мандельброта существует и существует вполне устойчиво: кто бы ни ставил перед компьютером задачу построения множества, каким бы ни был этот самый компьютер, структура в результате получается всегда одинаковая — и чем “глубже” мы считаем, тем более точной и детальной будет картинка. Следовательно существовать множество Мандельброта может только в платоновском мире математических форм, больше нигде.» Объективность математических форм Объективное существование мира математических форм

11. Математические формы, по терминологии Пенроузаопределенно обладают собственной реальностью, так как удовлетворяют условиям (R1) и (R2). 1. Они объективно познаваемы и получаются воспроизводимыми методами математических доказательств или вычислений (R1). 2. многие математические истины открывались независимо разными исследователями (R2). Мир математических форм существует совершенно объективно и независимо от сознания познающих его субъектов. Объективное существование мира математических форм

12. Уверенность в объективном существовании основана на познаваемости объектов воспроизводимыми методами, природа методов различна в отношении мира математики и материального мира. В одном случае это метод доказательств вычислений), в другом – это экспериментальный метод (наблюдения). Вычисление есть процесс, который в принципе должен быть выполнен некоторым реальным физическим устройством шаг за шагом, линейно упорядоченным во времени Поэтому математическое доказательство, как разновидность метода познания, может рассматриваться как разновидность воспроизводимой экспериментальной процедуры. Объективное существование мира математических форм

13. Близость методов математики экспериментальным процедурам стала еще более заметной с возникновением понятия квантового компьютера,эти вычисления не могут быть выполнено «на бумаге» или «в уме», но могутбыть реализовано в виде некоторого физического процесса специальным устройством – квантовым процессором.Квантовый компьютер является по своей сути аналоговым, работает лишь с конечной точностью и всегда имеется неисчезающая вероятность получения ошибки.Поэтому граница между обычными экспериментальными процедурами и методами математики является крайнеразмытой. Объективное существование мира математических форм

14. Реальность мира математики имеет структуру проверяемого научного утверждения. Идею опытной проверки реальности мира математических форм можно увидеть в комментариях Р. Пенроуза по поводу реальности множества Мандельброта: «кто бы ни ставил перед компьютером задачу построения множества, каким бы ни был этот самый компьютер, структура в результате получается всегда одинаковая»Это утверждение имеет форму предсказания - кто бы и каким бы методом ни взялся вычислять определенную характеристику, результат получится всегда один, так как он существует объективно и не зависит от любого его практического вычисления, например, число может быть вычислено с помощью различных рядов и бесконечных произведений, представлено интегралами разных типов, можно, воспользоваться методом Монте Карло. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

15. Получение двух различных результатов с помощью различных, но правильных логических выводов, называется противоречием. В рассматриваемой системе для некоторого осмысленного утверждения А можно одновременно доказать А и не-А. Это означает противоречивость всей системы,такая система с практической точки зрения является совершенно бесполезной и никакие математические формы объективным существованием не обладают. Математика является непротиворечивой (в противном случае она была бы бесполезной) и объективное существование мира математических форм тавтологично не фальсифицируемо. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

16. 1.Фальсифицируемость по Попперу есть требование только к форме следствий, вытекающих из теории. Научные утверждения должны приводить следствиям которые отвергается опытом. Это требование выполняется для гипотезы о реальности мира вычислимых математических форм. 2.Непротиворечивость мира математических форм на самом деле отнюдь не имеет тривиального характера .Так как непротиворечивость математики в целом не доказана, Бурбаки Н. писал:«итак, мы верим, что математике суждено выжить и что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что это мнение основано на чем-либо, кроме опыта». критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

17. Противоречия в математике: в наивной канторовской теории множеств-любое осмысленное свойство определяет множество объектов, обладающих этим свойством, приводит к противоречию. Это противоречие удалось устранить за счет более аккуратной формулировки теории.В отношении некоторых других разделов математики в силу второй теоремы Гёделя о неполноте непротиворечивость не может быть доказана. Вторая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что непротиворечивость системы не может быть доказана внутри самой системы ее собственными средствами, если система действительно непротиворечива. теоремы Гёделя о неполноте выполняются не для всех математических систем, существует целый ряд теорий, непротиворечивость которых доказана до конца простыми и строго финитными методами. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

18. Объективный мир математики неоднороден в отношении его объективного существования в той же степени, в какой он неоднороден в отношении его непротиворечивости.Непротиворечивость математической теории и существование объектов этой теории эквивалентны.Для Д.Гильбертанепротиворечивость аксиоматического понятия в математике эквивалентна его существованию. Д. Гильберт стремился получить уверенность в существовании математических объектов, прежде чем начать их изучать. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

19. В силу первой теоремы Гёделяо неполноте некоторые системы (формальная арифметика, теория множеств) содержат истинные (гёделевские) утверждения, которые, невыводимыв данной системе. Непротиворечивость Гёделевских утверждений в общем случае закрыта для опытной проверки, невозможно построить ни одного формального доказательства такого утверждения и сравнить результаты различных доказательств. Кроме гёделевскихобъектов в мире математических форм существуют чрезвычайно обширные фрагменты, в отношении которых открытость утверждения об их объективном существовании для контроля опытом и для фальсификации не вызывает сомнений. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

20. Если математические истины существуют объективно и независимо от нас, то они должны быть по необходимости пере открыты другими цивилизациями, достигшими как минимум уровня космических технологий. Другая цивилизация должна пройти весь путь построения математики и все результаты должны были быть получены независимо о нас, так как все эти результаты уже существуют независимо от кого бы то ни было в объективном мире математических форм.Критерий независимости получения информации в отношении мира математических форм (R2) превращается из достаточного критерия объективности, в необходимый, открытый контролю опытом, тогда критерий (R2) перемещается из области философии в область естественных наук. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

21. Объективная реальность представлена не только объективной реальностью материального мира, но и объективной реальностью совершенно иного рода – объективным миром математических форм, реальность мира математических форм не должна рассматриваться как предмет веры или даже как философский постулат, так как допускает опытный контроль с помощью ясных операционально определенных процедур и фальсификацию в смысле Поппера. критерии объективной реальности Доказательства существования мира математических форм

22. Проблеммы в Информатике инженернаяграфика, научнаяграфика, Wеb-графика, компьютернаяполиграфия графикадляразвлечений

23. Отображениеинформации Визуализациярезультатов Современнаякомпьютернаяграфика-этодостаточносложная,основательнопроработаинаиразнообразнаянаучно-техническаядисциплинНекоторыеееразделы,такиекакгеометрические преобразования,способыописаниякривыхиповерхностен'-',кнастоящемувремениужеисследованыдостаточнополно. Рядобластейпродолжаетактивноразвиваться:методырастровогосканирования,удалениеневидимыхлинии'-' иповерхностен'-', моделированиецветаиосвещенности, созданиеэффектапрозрачностиидр.

24. Отображениеинформации Визуализациярезультатов Ниоднаизобластейсовременнойнаукине обходитсябезграфического представления информации. Помимовизуализациирезультатовэкспериментовианализаданныхнатурных наблюденийсуществуетобширнаяобласть математического моделированияпроцессови явлений,котораяпростонемыслимабез графического вывода

25. Отображениеинформации Визуализациярезультатов Помимовизуализациирезультатовэкспериментов ианализа данныхнатурныхнаблюденийсуществуетобширнаяобласть математическогомоделирования процессов и явлении'-J,котораяпростонемыслима безграфического вывода. Например,описатьпроцессы,протекающиев атмосфереилиокеане,безсоответствующих наглядныхкартинтечении'-' илиполеи'-' температурпрактическиневозможно …

26. Примеры визуализации результатов. Векторноеполе Распределениетемпературывсалонеавтомобиля Геометрия3-х пластовнефтяногоместорождения.

27. Отображениеинформации Например,описатьпроцессы,протекающиеватмосфереили океане,безсоответствующихнаглядныхкартинтеченийилиполе температурыпрактическиневозможно Пример 1.Векторноеполе Нарисунке:Ориентациявектора.Цветвектора

28. Визуализациярезультатов Векторное поле.Ориентациявектора.Цветвектора

29. Отображениеинформации Визуализациярезультатов Например,описатьпроцессы,протекающие ватмосфереили океане,безсоответствующих наглядныхкартинтеченийилиполе температурыпрактически невозможно Пример2.Распределениетемпературывсалонеавтомобиля

30. Отображениеинформации Визуализациярезультатов Помимовизуализациирезультатовэкспериментов ианализа данныхнатурныхнаблюденийсуществуетобширнаяобласть математическогомоделированияпроцессов иявлении,котораяпростонемыслима безграфического вывода. Например,описатьпроцессы,протекающие ватмосфереили океане,безсоответствующихнаглядныхкартинтеченийилиполтемпературыпрактически невозможно. Вгеологииврезультате обработкитрехмерныхнатурныхданныхможнополучитьгеометриюпластов,залегающихнабольшойглубине.

31. Визуализация результатов В геологии в результате обработки трехмерных натурных данных можно получить геометрию пластов ... Отображение информации Пример 3. Геометрия 3-х пластов нефтяного месторождения

32. Отображение информации Визуализация результатов Примеры блочных геологических моделей Пример 4 . Сеточная модель залежи

33. Отображение информации Визуализация результатов Демонстрация эволюции процесса вытеснения: нефтенасыщенность и пластовое давление

34. Отображение информации Визуализация результатов Помимо визуализации результатов экспериментов и анализа данных натурных наблюдений ... В медицине в настоящее время широко используются методы диагностики, использующие компьютерную визуализацию внутренних органов человека. Томография (в частности, ультразвуковое исследование) позволяет получить трехмерную информацию, которая затем подвергается математическом обработке и выводится на экран. Помимо этого применяется и двумерная графика: энцифолограммы, миограммы, выводимые на экран компьютера или графопостроитель.

35. Отображение информации Проектирование В строительстве и технике чертежи давно представляют собой основу проектирования новых сооружений или изделий. Процесс проектирования с необходимостью является итеративным.

36. Отображение информации Проектирование В строительстве конструктор перебирает множество вариантов с целью выбора оптимального по каким-либо параметрам.

37. Отображение информации Проектирование Сегодня существуют развитые программные средства автоматизации проектно-конструкторских работ (САПР), позволяющие быстро создавать чертежи объектов, выполнять прочностные расчеты и т.п. Они дают возможность не только изобразить проекции изделия, но и рассмотреть его в объемном виде с различных сторон. Такие средства также чрезвычайно полезны для дизайнеров интерьера, ландшафта.

38. По области применения различают системы 1) Для полиграфии 2) Графического дизайна 3) Геоинформационные системы 4) Системы автоматизированного проектирования 5) Системы виртуальной реальности; тренажеры, игровые системы (шлем­ дисплей, сенсоры)

39. Компьютерная графика По области применения 1) Для полиграфии 2) Графического дизайна 3) Геоинформационные системы 4) Системы виртуальной реальности; тренажеры, игровые системы (шлем­ дисплей, сенсоры)

40. Компьютерная графика По области применения различают системы системыавтоматизированного проектирования Системы автоматизированного проектирования: системы автоматизации проектирования, системы автоматизации конструирования,системыавтоматизации производства, системы автоматизации научных исследовании, автоматизированные системы управления технологическими процессами.

41. Компьютерная графика Основными факторами успеха в современном промышленном производстве являются: сокращение срока выхода продукции на рынок, снижение ее себестоимости и повышение качества. К числу наиболее эффективных технологий, позволяющих выполнить эти требования современного промышленного производства относят так называемые САD/САМ/САЕ-системы.

42. Системы автоматизированного проектирования САD/САМ/САЕ-системы – системы автоматизированного проектирования, системы технологической подготовки производства, системы инженерного анализа

43. Компьютерная графика По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования САD-системы (ComputerAidedDesignSystem- компьютерная поддержка проектирования) предназначены для решения конструкторских задач и оформления конструкторской документации (более привычно они именуются системами автоматизированного проектирования - САПР( САD-системы - конструкторские (не специализированные) САПР общего назначения).

44. Компьютерная графика По области применения различают системы Как правило, в современные САD-системы входят модули моделирования трехмерной объемной конструкции (детали), оформления чертежей и текстовой конструкторской документации (спецификаций, ведомостей и т. д.). Ведущие трехмерные САD-системы позволяют реализовать идею сквозного цикла подготовки и производства сложных промышленных изделии.

45. Компьютерная графика По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования САМ-системы (СоmputеrAidedManufacturing- компьютерная поддержка изготовления) предназначены для проектирования обработки изделий на станках с числовым программным управлением (ЧПУ) и выдачи программ для этих станков (фрезерных, сверлильных, эрозионных, пробивных, токарных, шлифовальных и др.). САМ-системы еще называют системами технологической подготовки производства.

46. Компьютерная графика По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования (САМ технологические САПР общего назначения, в частности системы автоматизированном подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ). В настоящее время они являются практически единственным способом для изготовления сложно профильных деталей и сокращения цикла их производства. В САМ -системах используетсятрехмерная модель детали, созданная в САD-системе.

47. Компьютерная графика По области применения различают системы Системы автоматизированного проектирования САЕ-системы - (Соmputеr AidedEngineering- поддержка инженерных расчетов) представляют собой обширный класс систем, каждая из которых позволяет решать определенную расчетную задачу (группу задач), начиная от расчетов на прочность, анализа и моделирования тепловых процессов до расчетов гидравлических систем и машин, расчетов процессов литья. (САЕ- САПР функционального проектирования). САЕ-системы еще называют системами инженерного анализа, в САЕ-системах также используется трехмерная модель изделия, созданная в САD-системе.

48. Компьютерная графика По области применения различают системы

49. Компьютерная графика По области применения различают системы

50. Компьютерная графика По области применения различают системы Лидеры мирового рынка САD/САМ/САЕ-систем по объёмам продаж • Parametric Technology Corporation (РМТС), ПО Pro/Engineer,Windchill; • DassaultSystemes (DASTY), ПО CATIA, SolidWorks, ENOVIACATIA, DELMIA; • Autodesk (ADSK), семейство программ, в основе которых лежит AutoCAD; • Unigraphics Solutions (UGS), ПО Unigraphics, Solid Edge, iMAN,Parasolid; • Structural Dynamics Research Corporation (SDRC), ПО I-DEAS