6.3 最短路问题

1. 6.3最短路问题 6.3.1 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959) • 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路 令dij表示vi到 vj的直接距离(两点之间有边)，若两点之间没有边，则令 dij= ，若两点之间是有向边，则 dji= ；令 dii= 0，s表示始点，t表示终点 0、令始点Ts=0，并用框住，所有其它节点临时标记 Tj= ； 1、从 vs出发，对其相邻节点 vj1进行临时标记，有 Tj1=ds,j1； 2、在所有临时标记中找出最小者，并用框住，设其为 vr。若此时全部节点都永久标记，算法结束；否则到下一步； 3、从新的永久标记节点 vr出发，对其相邻的临时标记节点进行再标记，设 vj2为其相邻节点，则 Tj2=min{Tj2, Tr+dr,j2 }，返回第2步。

2. 例1 狄克斯特拉算法  11  10 31  0 15 12   8 13  15

3. Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 • 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs到 vj的最短路，因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有k条边，因此最多有n1次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻必须是箭头指向的节点；若第 n1次迭代后仍有节点的标记为 ，则表明 vs到该节点无有向路径 • 如果只求 vs到 vt的最短路，则当 vt得到永久标记算法就结束了；但算法复杂度是一样的 • 应用 Dijkstra 算法 n1次 ，可以求所有点间的最短路 • vs到所有点的最短路也是一棵生成树，但不是最小生成树

4. 6.3.2 Warshall-Floyd算法 (1962) • Warshall-Floyd算法可以解决有负权值边(弧)的最短路问题 • 该算法是一种整体算法，一次求出所有点间的最短路 • 该算法不允许有负权值回路，但可以发现负权值回路 • 该算法基于基本的三角运算 定义 对给定的点间初始距离矩阵{dij}，令dii=，对所有 i。对一 个固定点 j，运算 dik=min{dik, dij+djk}, 对所有 i, k  j , 称为 三角运算。(注意，这里允许 i=k) 定理 依次对 j=1,2,…,n 执行三角运算，则 dik最终等于 i到 k间最短路的长度。

5. 6.3.2 Floyd-Warshall 算法 (1962) • 若网路中存在负回路，则计算中，某些 dii 会小于0，此时应中断算法 • 显然，Floyd 算法要进行 n(n-1)2 次加法和比较 • 如何回溯找出任两点之间的最短路？ • 在Floyd 算法中设一伴随矩阵E={eik}， eik记录了 i到k最短路中最后一个中间节点 for i=1 to n do dii=; for all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if ij then for k=1 to n do if kj then begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end;

6. 小结 • 最短路有广泛的应用 (6.3.4节 市话局扩容方案) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高，且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最短路，以此类推