数理逻辑 (6)

数理逻辑 (6) 递归论

什么是计算？ 一般递归函数显然被认为是可计算的。

丘奇1903-1995,美国 λ－演算。定理：一个函数是λ－可计算的当且仅当它是递归的。丘奇论题：一个函数是可计算的当且仅当它是λ－可计算的。

图灵1912－1954，英国 • 图灵机: • 双边无穷的工作带（tape），磁带上或者是空(B),或者是0，或者是1(令S={B,0,1})； • 读头； • 有限状态集(states)Q={q0,…,qn}。 • 图灵机的运行： • 从一个状态到另一个状态； • 从一个符号扫描到另外一个符号； • 左右移动读头。 • 一条指令是一个5元组Q×S×Q×S×{R,L}。 • 一个程序就是一个有限指令集。

图灵机的运行 图灵机的输入：工作带初始状态。计算的开始：初始状态q1并且读头扫描到1。图灵机的停机：到达状态q0。图灵机的输出：停机后的工作带上1的个数。约定：当输入数字x时，工作带上出现x+1个连续的1。

几个例子 程序｛(q1,1,q1,1,R), (q1,B,q2,1,R), (q2,B,q0,1,R)｝计算x+3。程序｛(q1,1,q2,0,R), (q2,1,q3,1,R), (q3,1,q3,1,R), (q3,B,q3,1,R), (q2,B,q0,0,R)｝算一个函数f使得f在x定义当且仅当x=0并且输出0。

丘奇－图灵论题 一个函数f是图灵可计算的，如果存在一台图灵机使得当输入x时，输出是f(x)。定理：一个函数是图灵可计算的当且仅当它是递归的。丘奇－图灵论题：一个函数是可计算的当且仅当它是图灵可计算的。

可计算性 • f是（部分）可计算的如果存在一台图灵机使得对于所有的输入x，它的输出(如果有)是f(x)。 • 一个自然数集合是可计算的当且仅当它的特征函数是可计算的。 • 一个自然数集合是可计算可枚举的，如果它是某个部分可计算函数的值域。定理：每一个可计算集合都是可计算可枚举的。

图灵机的枚举 令#(B)=1,#(0)=2,#(1)=3,#(R)=4,#(L)=5,#(qi)=6+qi。通过<>将一个程序编码为一个自然数。因此我们有一个扩展的函数#从ω到程序集合。通过这个函数我们获得图灵机的一个枚举{Me}e∈ω。这是一个能行的枚举：函数p(<e,n>)=Me(n)是部分可计算的。因此存在一台通用的图灵机U。 c.e.集的能行枚举{We}e∈ω。

停机问题 因此我们有一台通用图灵机U(<e,n>)=Me(n)。令K={e|U(<e,e>)停机｝。定理：K是可计算可枚举的但不是可计算的。证明：显然K是可计算可枚举的。假设K是可计算的。令f(e)为一个函数使得如果e∈K，那么f(e)=Me(e)+1,否则f(e)=0。则f是可计算的，因此它有一个编码e。那么f(e)=Me(e)+1,矛盾！ QED

正则定理 对于每一个部分可计算函数φ,都存在一个完全可计算函数f,g使得φ(n)=f(μ(m)（g(n,m)＝1）)。证明：给定一个部分可计算函数φ,令 g(n,<i,j>)=0如果φ(n)运行到第j步时不等于i。否则g(n,<i,j>)=1。令f(<i,j>)=i。 QED

s-m-n定理 定理：对于任何部分可计算函数φe(x0,…,xm,y0,…,yn),存在一个完全递归可计算函数s使得φe(x0,…,xm,y0,…,yn)=φs(e,y0,…,yn)(x0,…,xm)。证明：对于y0,…,yn,我们可以能行地找到编码为s(e,y0,…,yn)的图灵机计算x0,…,xm。 QED

填充引理 • (padding引理）定理：对于每一个部分可计算函数φ，存在一个完全的1－1的可计算函数f使得对于所有的e, φ=φf(e)。 • 证明：固定一台图灵机M计算φ，我们对M加入一些“空语句”。于是我们能行地获得了一系列图灵机它们计算同一个函数φ。 QED

可计算可枚举(c.e.)集 定理：一个集合是可计算可枚举的当且仅当它是某个可计算函数的值域。证明：如果A是某个φ的定义域。假定A非空，固定A的一个元素x。定义f(s)=n，如果φ(n)在第s步有定义。否则f(s)=x。 QED 定理：一个无穷集合是可计算当且仅当它和它的补集都是c.e当且仅当它是某个严格单调可计算函数的值域。

可计算可枚举集(2) 定理：每一个无穷c.e.集合都有一个无穷的可计算子集。定理：一个无穷集合是c.e.当且仅当它是某个1－1可计算函数的值域。定理：一个集合是c.e.当且仅当它可以被一个公式Σ1公式定义。如果#(T)={#(φ)|φ∈T}是c.e.，则{#(φ)|T┠φ}也是c.e.

极限引理 定理：一个函数f(n)是Δ02的当且仅当存在一个可计算函数g(n,s)使得f(n)=limn->∞g(n,s)。

模型不可判定性 定理：｛＃（φ）｜（ω，＋，×，<,0,1）ㅑφ｝不是可计算的。证明：n∈K可以被一个公式Σ1公式φ(n)定义。QED 给定一个语言L以及一个被编码的可数结构M，我们称一个公式φ是可判定的，如果｛＃（m）｜Mㅑφ(m)｝是可计算的。

希尔伯特第十问题 定理：｛#(p)|p是整系数多项式并且(Z,+,,<,0,1) ㅑn0… ni(p(n0,…,ni)=0)｝是不可计算的。

语法不可判定性 由表示定理，如果n∈K，则PA┠φ(n)。如果PA是ω-协调的，则PA┠φ(n)蕴含n∈K。因为{#(φ(n))|n∈ω}是可计算的。因此{＃（ψ）|PA┠ψ}不是可计算的。因为K不是可计算的，必定存在一个m∉K，使得¬φ(m)是不可证的。如果PA是ω-协调的，则φ(m)也是不可证的。

归约 A多一归约于B(≤m)，如果存在一个可计算函数f使得对于所有的n,n∈A当且仅当f(n) ∈B。如果f是单射，则A－一归约于B(≤1)。这些关系是传递等，因此我们可以定义一个等价类，每一个等价类我们称为一个度。定理：可计算集合与c.e.集合的m-度是向下封闭的。对于所有的集合A,B, A⊕B＝｛2n|n∈A｝∪｛2n+1|n∈B｝是它们的m－度最小上界。

停机问题 定理：对于所有的c.e.集A，A≤1K。证明：A是某个φe的定义域，定义部分可计算函数 p(<e,n>,m)=φe(n)，则存在某个可计算函数s使得φs(<e,n>)(m)=φe(n)。令f(n)=s(<e,n>)。由填充引理，我们可以让f为单射。 QED

递归定理 递归定理：对于所有的可计算函数f,存在一个e使得 φe=φf(e)。证明：令p(u)=φu(u)。则由s-m-n定理存在一个完全可计算函数d使得φd(u)=φp(u)。因此存在一个v使得φv=f（d）。令e=d(v)，于是φe=φd(v)=φp(v)=φf(d(v))=φf(e)。 QED

递归定理的应用 （Quine）定理：存在一个打印自己的程序。证明：存在一个递归函数f使得对所有的n,φf(e)(n)=e。由递归定理，存在e使得φe的输出是φe的程序代码。 QED

递归不可分离（1） 定义：给定两个不相交的自然数集合A,B，如果不存在递归集合C使得C⊇A并且C∩B=Ø，则它们称为递归不可分离的。令K0={n|ϕn(n)=0}, K1={n|ϕn(n)=1}。则K0, K1是不相交的c.e.集。定理：K0, K1是递归不可分离的。证明:如果存在递归集合C分离K0, K1，则对于某个e, χC=ϕe。如果ϕe(e)=0，则e∈K0。否则e∈K1。矛盾！ QED

递归不可分离（2） 定义：给定两个不相交的自然数集合A,B，如果存在一个可计算函数f(i,j)使得对于任何不相交的Wi ⊇A,Wj ⊇B,f(i,j) ∉Wi∪Wj。则A,B称为能行递归不可分离的。定理：K0, K1是能行递归不可分离的。证明:如果令φs(e,i,j)(n)=0,n∈Wj; φs(e,i,j)(n)=1,n∈Wi; φe(n)无定义,否则。f(i,j)=s(e,i,j). QED

产生集与创造集 定义：一个集合A是产生的，如果存在一个部分可计算函数p使得对于所有的A⊇Wx,p(x) ∈A-Wx。定义：一个c.e.集合A是创造的，如果它的补集是产生的。如果c.e.集合A,B是能行递归不可分离的，则A是创造的。定理：p可以是可计算的单射。证明：存在一个可计算函数g使得Wg(x)=Wx,如果p(x)收敛；否则Wg(x)=Ø。令q(x)=p(x)或者p(g(x))，依赖于哪个先收敛。则q是可计算的。令h使得Wh(x)=Wx∪{q(x)}。令r(0)=q(0),r(x+1)为序列q(x+1),…,q(h(n)(x+1)),…中第一个不与前面r重复的或者重复的。后者必然Wx+1不是A的子集。

产生集与创造集(2) 定理：如果A是创造集，则K≤mA。证明：假定P=ω-A是产生的。令f为相应的可计算单射。令Wg(x,y)={f(x)}，如果y∈K;否则Wg(x,y)=Ø。由递归定理，存在一个可计算函数h使得对所有y,Wg(h(y),y))=Wh(y)。则y∈K蕴含Wh(y)={f(h(y))}蕴含f(h(y)) ∈A;否则Wh(y) =Ø，因此f(h(y)) ∈P。 QED

哥德尔－罗瑟不完备性 令R0(n,y)为可计算关系使得n∈K0当且仅当yR0(n,y)。同样对于R1(n,y)。令S0(n)为yR0(n,y) ∧ z≤y¬R1(n,z)。同样对S1(n)。则S0(n)蕴含PA证明S0(n)。同样对于S1(n)。（＊）而且PA证明S0(n)蕴含PA证明¬S1(n)。由(*),c.e.集D0={n|PA证明S1(n)} ⊇K1并且D1={n|PA证明¬S1(n)} ⊇K0。由协调性， D0∩D1=Ø。因此必然有一个n使得n∉D0∪D1。则S1(n)独立于PA。进一步，D0, D1是能行递归不可分离的。

PA的复杂性 定理：K≤mD0。证明：由能行递归不可分离性, D0是创造的。 QED 因此{#(φ)|PA┠φ}是c.e.集中m-度最大的。

波斯特1897-1954, USA "The conclusion is unescapable that even for such a fixed, well defined body of mathematical propositions, mathematical thinking is, and must remain, essentialy creative."

带谕示的图灵机 带谕示(Oracle)的图灵机。如果图灵机M的谕示是A,则用MA表示。如果B的特征函数能被某台MA计算，则称B图灵归约于A，记为B≤TA。 A≡TB，如果B≤TA并且A≤TB。 ≡T等价类称为一个图灵度。

康托空间 2ω上的基本开集是[σ]={x|σ≺x}，σ∈2<ω。对于每一个基本开基[σ]，它的测度μ([σ])=2-|σ|。寇尼引理：康托空间是紧致的。

数学刻画 给定一个可计算可枚举集合M⊆2<ω×2<ω,如果对于任何σ0≺σ1∈2<ω，(σ0,τ0) ∈M并且(σ1,τ1) ∈M，那么τ0≺τ1或者τ0＝τ1，则称M为一个可计算归约函数。我们称A可计算归约于B，如果存在一个可计算归约函数M使得对于所有的n,存在一个m，使得(B｜m,A|n) ∈M。定理：A≤TB当且仅当A可计算归约于B。每个可计算归约可以看成一个部分连续函数的图像。实际上每一个连续函数都可以看成一个相对化的可计算归约。

图灵度的基本性质 A≤mB蕴含A≤TB。 A≤Tω-A。所有可计算集合形成一个图灵度0。有连续统多个图灵度。每一个图灵度下面至多可数多个图灵度，但是有连续统多个图灵度在它上面。记停机问题的图灵度为0’。

相对化 给定集合A,KA={x|x∈WxA}。它的图灵度记为A’。定理:A≤TB当且仅当KA≤mKB。证明：如果A≤TB，则KA是B-c.e.。因此KA≤mKB。如果KA≤mKB，则A和ω-A都是B-c.e.。 QED

低度定理:存在不可计算的集合A使得A’≤TK。证明：对角线法。 QED

实数的计算能力 定理：如果μ({B|A≤TB})>0，则A是可计算的。

可计算二叉树 一棵树T是指一个2<ω子集，它在初始段下是封闭的。如果T是可计算的，则T称为可计算二叉树。给定一个二叉树T，实数x∈2<ω是一条无穷长道路，如果它的每个有穷初始段都在T中。定理：存在可计算的无穷二叉树没有可计算的无穷长道路。

低基定理 定理：对于任意可计算的无穷二叉树T,存在无穷长道路x使得Kx ≤TK。证明：本质上是力迫法。 QED

完备性的可能的度 定理：存在可计算的无穷二叉树T使得它的每条无穷道路都计算PA的一个完备扩张推论：存在PA的一个完备扩张T使得T’ ≤TK。

习题 • 如果A,B是c.e.并且A∪B=ω,那么存在可计算集合C使得A⊇C并且B⊇ω-C。 • 如果A是创造集，则K≤1A。 • 证明存在一个图灵度集合使得它们在图灵归约下的序型是ω1。 • 是否存在更长的序型？ • 证明如果T是PA的扩张，则每一个可计算无穷二叉树都有一条无穷道路图灵归约于T。

阅读材料 • 《Computability》，N.J. Cutland, 1980. University of Cambridge • 《Theory of Recursive Functions and Effective Computability》, Hartley Rogers,1987. The MIT press.

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