世纪难题的联想

1. 全国离散数学学会第13届学术年会报告 世纪难题的联想 郝克刚2006.8.21 西北大学 信息学院 计算机科学系软件工程研究所 西北大学计算机科学系软件工程研究所

2. 提纲 • 中国人做了庞加莱猜想证明的封顶工作。 • 七大世纪难题之一： P 与 NP 问题。 • 超越图灵机？ • Petri 网的功能与图灵机等价吗？ 西北大学计算机科学系软件工程研究所

3. 中国人最后证明了庞加莱猜想。 • 哈佛大学教授、著名数学家丘成桐教授6月3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布， 七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被中国科学家——中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东完成“最后封顶”工作，给出了完全证明。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

4. 庞加莱猜想（Poincare Conjecture） • 亨利•庞加莱（Henri Poincaré）在1904年发表的一组论文中提出： • 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 • 简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。单连通要求所有的封闭曲线都可以收缩成一点 ，例如轮胎面不是。 法国数学家（1854—1912) 西北大学计算机科学系软件工程研究所

5. 庞加莱猜想的证明 • 1960年美国数学家斯梅尔(S.Smale)跨过这个极难的维数,进而推广到n>3维.并证明了五维及五维以上的庞加莱猜想 , 因此荣获1966年菲尔兹奖. • 1982年,美国数学家弗里德曼(M.Freedman) 证明了4维庞加莱猜想,为此他荣获了1986年菲尔兹奖. • 2002年11月俄罗斯数学家格里高里－裴瑞曼（Grigory Perelman ）发表他的证明，此后他陆续将一系列的研究报告发表在国际著名的数学网站上。但随后，数学家们发现了的证明不完整，有漏洞。目前国际数学界众多专家都已经注意到他的研究成果， 西北大学计算机科学系软件工程研究所

6. 庞加莱猜想的证明（续1） • 从去年9月底至今年3月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期3小时的时间——连续20多个星期——向包括哈佛大学数学系主任在内的5位数学家进行讲解，回答问题。在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长达300多页的长篇论文。 • 2006年6月3日，丘成桐教授３日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布，中国科学家朱熹平教授和曹怀东教授完成“最后封顶”工作，给出了完全证明。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

7. 庞加莱猜想的证明（续2） • 综合八月十六日外电报导，庞卡赫猜想（日前已经正式确认由俄国天才数学家裴瑞曼所破解。因为这项成就，裴瑞曼可望获得有「数学界诺贝尔奖」之称的费尔兹奖，以及美国克莱数学研究所所提供的百万美元奖金。 • 但当国际数学联盟试图与裴瑞曼联络时，裴瑞曼不但拒绝出席，而且还消失无踪。这项奖原定在下周于西班牙马德里举行的年会上颁发，最可能的得奖人拒绝现身，使大会很可能会出现「有奖无得主」的尴尬场面。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

8. 克莱数学研究所与七大世纪难题。 • 美国麻省剑桥克莱数学研究所(The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI) )2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事，该机构设立了七个被称为“千僖年数学难题”巨奖，为每道难题悬赏奖金一百万美元。 • One hundred years earlier, on August 8, 1900, David Hilbert delivered his famous lecture about open mathematical problems at the second International Congress of Mathematicians in Paris. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

9. 七大世纪难题。 • Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture贝赫和斯维讷通－戴尔猜想。 • Hodge Conjecture霍奇猜想； • Navier-Stokes Equations纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性； • P vs NP P 对 NP 问题； • Poincaré Conjecture庞加莱猜想； • Riemann Hypothesis黎曼假设； • Yang-Mills Theory杨－米尔斯理论； 西北大学计算机科学系软件工程研究所

10. 二，世纪难题之一 ： P 与 NP 关系问题。 • 即在多项式时间界限下，确定的图灵机器和非确定的图灵机器所接受的语言类是否相同的问题。 • 问题涉及的几个概念。 • 图灵机器 ( Turing Machine) 和 非确定（ nondeterministic ）图灵机。 • 多项式和指数函数时间。 • 图灵机器所接受的语言类 西北大学计算机科学系软件工程研究所

11. 可计算性和实际可行性(feasible) • 由三十年代发展起来的图灵机器理论、递归函数理论等为“能行”这个概念给出了一个确切的数学定义， • “多项式时间有界的图灵机器” 刻划了“实际可行的”(feasible) 直观概念。Feasibility Thesis: A natural problem has a feasible algorithm iffit has a polynomial-time algorithm. • “在多项式时间界限下，确定的和非确定的图灵机器是否具有同等的功能？” 西北大学计算机科学系软件工程研究所

12. 有些确定的和非确定的图灵机的功能相同 • 如果不加多项式时间的限制， • 确定的和非确定的图灵机的功能是相同的，它们所接受的语言都是递归可枚举集。 • 对于有穷自动机来讲也是相同的，它们所接受的语言都是正则集合。 • 如果对图灵机加上空间的限制， • 在多项式空间界限下，确定的和非确定的图灵机也具有同样的功能。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

13. 有些确定的和非确定的机器功能不同。 • 并不是在所有情况下，确定的和非确定的机器都具有同样的功能。 • 例如，对具有一个下推存贮的有穷机器来讲两者的功能是不相同的， • 非确定性的下推自动机所接受的语言是上下文无关语言， • 而确定的下推自动机所接受的语言却是上下文无关语言的一个真正的子类。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

14. 回答有两种可能 • “在多项式时间界限下，确定的和非确定的图灵机器是否具有同等的功能？” • 回答有两种可能，一种是肯定的回答，一种是否定的回答。这两个方面都有人在作努力，比较多的人倾向于后一种回答。 • 这个问题的提法相当清晰，但是要解答这个问题却不容易。当代很多有名的计算机科学家都研究了这个问题，问题至今仍未解决，而且愈来愈觉得是相当困难的。解决这个问题似乎需要在方法上有重大突破 西北大学计算机科学系软件工程研究所

15. 上世纪70年代有重大突破--NP完全问题 • S. A. Cook (1971)[1]和R. M. Katp (1972)[2]首先提出了P归结的概念，证明了任何多项式界限下非确定图灵机器接受的语言都可以P归结为命题逻辑公式的可满足性问题。 • 也就是说这个问题是NP完全的。对于NP完全问题 • 只要证明其中任何一个问题能由多项式时间界限的确定的图灵机器解决，则P=NP。 • 反之，如果能证明其中任意一个问题不能由多项式时间界限的确定的图灵机器解决。则P≠NP。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

16. NP完全问题 • 后来证明了一大批问题都是 NP 完全问题。 • 命题逻辑的可满足性问题。 • 无向图的团集问题、离集问题和顶点复盖问题 。 • 集合族的粘连问题，隔衬问题和集合复盖问题 。 • 有向图的环路边集问题和环路点集问题 • H环路问题和销售员问题 ， • …… Minesweeper • Hartmanis和Berman(1976)引入了P同构的概念，提出了关于P同构的必要充分条件，而且证明了这些已知的NP完全问题全是P同构的。这就更本质地揭示了这些问题的内在联系。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

17. 多项式受囿存在量词运算 • 设有谓词R，多项式P，我们把谓词 N(x)= (y) [| y |≦P (| x |)ΛR(x，y)] 称为由R加多项式受囿的存在量词而得到的谓词， • 定理谓词N(x)∈NP当且仅当有谓词 R(x，y) ∈P，有一多项式P(x)，使 N(x)= (y)| y |≦P (| x |)R(x，y) • P=NP问题实质上是P谓词类关于多项式受囿存在量词运算是否关闭的问题。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

18. 二、三十年来问题没有重要进展。 • Stephen Cook The P versus NP Problem Official Problem Description • 1979 长春 计算机科学研讨会 北大吴允曾教授的推荐发表。 • 郝克刚：NP 完全问题及有关的理论研究《计算机科学》1980 年 第1期。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

19. 三，超越图灵机？-- Wegner 文章引起的联想和思考 Peter Wegner & Dina Goldin: Computation Beyond Turing Machines Seeking appropriate methods to model computing and human thought. COMMUNICATIONS OF THE ACM April 2003 / Vol.46, No.4 超越图灵机（Turing Machine）的计算 --- 寻找适当的方法给计算和人的思维建模 西北大学计算机科学系软件工程研究所

20. 文章对图灵机作为计算问题求解的基础的质疑 • 阿伦·图灵（Alan Turing）1936年提出了图灵机的概念，证明了计算机不能完全地证明所有的数学的命题，即存在不可判定问题。 • 这种图灵机不仅作为1940年代“程序存储式”计算机诞生的理论基础，后来被发展成为计算机科学的数学基础，丘奇- 图灵论题断言：所有可计算的都是图灵机可计算的。 • 此文认为图灵机不适合作为计算问题求解的普遍性的基础。 • 作者用“交互计算机”的概念扩展和超越图灵机的计算能力。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

21. 考查图灵模型的历史演化 • 1936的论文主要是论述图灵机不能解答所有的数学的问题， • 然而在1960年代，图灵机却被理论计算机科学家作为解答所有计算问题的方式所采用。 • 在1990年代又转化为计算方面的弱点。随着计算的实用性的增加延拓了我们关于“计算问题” 的概念，展现了图灵机在处理求解问题的能力方面的限制。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

22. 希尔伯特，歌德, 和丘奇（ Hilbert ，Gödel， Church） • 1900希尔伯特提出了假定，认为逻辑能完全证明数学的命题是真或假，并列出了25 个数学家应该努力去证明的尚未证明的数学命题。 • 罗素和怀特黑德的数学原理（Principia Mathematica）接受了希尔伯特原则，提出了一个数学的逻辑系统，作为进行数学的证明的普遍性的模型。 • 试图的屡屡失败，导致了歌德1931年证明的命题：逻辑不能对所有的数学命题判定其是否为真。歌德证明了数学命题判定问题在原则上是用逻辑不可解的， • 后来这个命题引出了很多数学家的研究工作，进一步用有关逻辑或其他的数学模型来解释数学的不可解性的理论和哲学。 • 丘奇采用了歌德的思想，在1935年证明了判定问题是不能用λ演算解决的。 • 同时，图灵证明了存在判定问题是不能用计算机解决的，因为图灵机的“停机问题” 本身就是不可解的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

23. 丘奇- 图灵论题 • 图灵的结果被歌德和丘奇所接受，作为一个更简单，而且更好的不可解性的论据。 • 图灵 1937年被邀请到普林斯顿和丘奇一起合作，后来被叫做丘奇- 图灵论题。这个论题断言逻辑，λ演算，图灵机，有效的函数计算具有等价的问题求解机制。 • 这个论题后来被重新解释为求解全部计算问题的统一的完整的机制。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

24. c- 机器 和 u- 机器 • 图灵在他的1936年论文中隐含着这样的断言：各种图灵机（他称其为自动的机器或a-machines）不能为所有形式的计算提供一个完全的模型，就如同它们不能为所有形式的数学提供模型一样。 • 他定义了c-机器（选择机器）作为计算的一种模型，增加了交互式的选择作为计算的一种形式； • 后来，他还定义了u-机器（未组织的机器）作为另一个关于脑的模型。 • 但是图灵没有对其进行形式化，而且在他过早的逝世10年后，这些模型在1960年代由于不必要已经被扔掉了，因为已经假定图灵机模型能完全描述所有形式的计算。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

25. Peter Wegner & Dina Goldin 的观点： • 虽然这种对丘奇- 图灵论题狭隘的解释与图灵关于图灵机仅是对算法类的问题求解的形式化的主张相矛盾， • 然而它还是在1960年代被计算机界所接受，成为了计算理论的教条式的原则。用理论上的图灵机这个数学模型为计算机科学建立了模型。 • 这个科学模型，和物理学，化学和生物学的那些模型相平行，提供了一个可接受的，但是弱的计算理论。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

26. 计算机科学，算法（algorithms） • 计算机科学从图灵1936年的开创性的文章发表开始，之后到1960年代已经形成了一门成熟的学科，在全国各地的大学里，已经将其列入大学生的课程教学计划之中。1968年，关于这门新学科应该教授的的内容也已达成共识，被明确地说明在ACM的课程‘68文件中。 • 计算机科学这门新学科把计算看作为信息处理，一种输入到输出的变换。在计算开始前，输入被完全定义，输出提供该问题的解答。这样的机械的变换在数学中早已称为算法（algorithms）；所以，计算机科学所采用的关于计算的这种方法被称为算法类（algorithmic）。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

27. 计算的领域已经大大地扩展了， • 从1960年代以来，愈来愈多的人认识到：人工智能，图形学和因特网不能用图灵机表达。其中，程序（系统）和世界（环境）之间在计算期间发生的的交互起着关键的作用，它不能用任何在计算之前被决定的输入的集合所替代。就人工智能来说，交互能看作是称为智能的系统行为的前提条件， • 如同 Brooks [ 2 ]论述的那样： 现实的计算系统不是那种清晰的机构，它接收输入，进行理论上计算，然后产生输出…而在智能和环境的交互之间画条界线是相当困难的。从某种意义上说，分清它们并不重要，因为所有的智能系统，如果他们是有用的实体，必然都处于世界的这种或那种环境之中。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

28. 需要一个新的概念构架 • 英国的计算机科学家罗宾•米尔纳（Robin Milner）为计算模型开发了一个新的概念构架，它基于CCS和后来基于π-演算。 • 在他的图灵奖授奖讲演：交互的要素中，米尔纳宣称所建立的计算的模型是不充分的： 经过整个1970年代，我越发确信并行和交互的理论需要一个新的概念构架，不仅是对我们已发现的顺序[算法类]计算的自然模型的一种提炼。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

29. 挑战图灵机 • 米尔纳在他的1991 图灵作奖授奖讲演中，作为对图灵机的封闭箱子式的计算的补充介绍了一些交互式的模型。不过他避开了CCS和π-演算的计算是否超越了图灵机和算法的问题。 • 图灵机已经被作为完整的计算的首要的范型所接受，但是在70年代末和80年代初，公开地向这种看法的挑战也已开始孕育。 • 在最近的20年中，计算技术已经由主机系统和微机工作站向网络和无线装置转移，以及相应地在应用中由数字化和数据处理向嵌入式系统和图形用户界面的转移。我们认为将交互作为计算包含的一个组成部分，已不再是不成熟的事了。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

30. 交互式机器模型 interaction machines (IMs) • 在90年代末，作为图灵机的一种扩展，开发了交互式机器模型 • Peter Wegner, Brown University, April 1997 Interactive Foundations of Computing • Peter Wegner and Dina Goldin, January 1 1999 Mathematical Models of Interactive Computing • P1 (Turing machines): TMs cannot model interaction since they shut out the world while computing. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

31. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

32. 交互式机器（IMs） • 交互式的系统以交互式机器（IMs）作为模型，它是TMs的简单的扩展。 • D1（交互式机器）：IMs用添加动态的输入/输出（读/写）的方法扩展TMs。交互式机器在某些方面可以有所不同,例如可以有一个或多个输入流，通信是同步或异步，但是所有IMs都是开放式系统，它表达的动态外部行为超越算法表示的可计算性。 • D2（交互历史）：IMs的可观察的行为由交互历史指定。 • D3（流）：串行的历史——叫做流——是交互式的与时间有关的字符串类似物。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

33. P2 命题2 （交互式机器）：交互式机器不能用图灵机作为模型。 • 命题2 可从下述事实得证：有限的输入字符串总是能交互式地被扩展。IMs不能用最初输入是有限字符串的TMs建模。他们需要一个无限的输入带，它的输入不受IM的控制，并且它的接受（结束）条件不能如Buchi自动机那样，由一个终止状态或状态的无限重复来指定的，。 • 为了证明P2，只需证明IMs能够表达有限以及无限的字符串之间的映射即够。但是，交互式的行为不能通过映射的字符串从有限到无限的延伸完全地刻画。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

34. O1（流）：流（历史）的语义不能用字符串的语义表达。O1（流）：流（历史）的语义不能用字符串的语义表达。 • 交互不能被表达为，或者被归结为变换（函数） 。 • 交互将计算扩展为历史上的可计算的nonfunctions（非函数），而不是字符串上的noncomputable（不可计算）函数。 • 飞机票预约系统和其他的反映式系统提供全天候交互式的服务，不能用函数来设定。 • 时间是一种非函数特性，因为函数（算法）的效果与它们的计算时间无关，与发生效果的时间无关。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

35. O2（行为）： • 交互的行为包括非函数的有限和无限的行为在内。 • 在路上没有其他交通车辆的情况下，驾车是一项能用算法阐述的交互式作业。它对蒙住眼的人，指定应该什么时候踩油门，转动方向盘，或者踩刹车等。在这种情况下驾车回家，原则上可以用封闭系统的脱机的规则来建模。 • 但是在实际的交通情况下驾车回家，即使是原则上也不能将其归结为算法，它依靠难以置信的、复杂的、不可预测的联机的事件，甚至对有限的计算来说，它都不能作为算法或顺序地加以描述。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

36. O3（持续）： • 持续的智能体行为不能用交互历史描述。 • 在司机可观察的历史和它们引起的司机行为之间的对应关系不是算法，甚至对于有限的旅程的离散近似也是如此，因为所有可能的事件历史的集合不能作为算法来描述，并且历史到行为上的映射也不是算法。 • 智能体的行为是由无法控制的外部交互历史确定的，而不是内部的状态转换决定的，这个思想是给交互式计算建模的核心。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

37. O4（智能）：用交互把算法扩展成高性能的智能体。O4（智能）：用交互把算法扩展成高性能的智能体。 • 用装有激光制导的炸弹，它交互式地核对所观察地形和准备好的地图，可以很好的解释交互式的能力。 • 当增加了交互功能后，盲哑的算法转换成为高性能的智能体（嵌入式系统）。 • 算法“哑” 而且“盲” ，因为当它们计算的时候不能交互：他们患有杜绝交互的孤独症（autistic） 。 • 形成对照地，交互式系统对外部现实的建模，与内部的算法的变换规则相比，具有更高的要求和表达能力。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

38. O5（关闭）：自然数在对角线运算下不关闭，如同有理数在代数运算下不关闭一样。O5（关闭）：自然数在对角线运算下不关闭，如同有理数在代数运算下不关闭一样。 • 交互式机器的输入不能用有限的字符串的集合建模，因为流不能用字符串建模，并且有限的序列总是能被扩展。 • 交互式机器不能用所有有限的序列的可数（enumerable）集合建模，但是可以用无限的序列更自然地建模，因为对手有最后的发言权，总是能扩展任何有限的序列。 • 对手的行为最好是用无限的过程建模，它能表达的是实数的基数（康托的对角线运算）而不是可数的序列。 • 自然数对交互式的过程类似对角线运算那样是不关闭的，就如同有理数在代数的运算下不关闭一样。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

39. O6（实数）：交互式机器用实数为实际时间和现实世界建立模型。O6（实数）：交互式机器用实数为实际时间和现实世界建立模型。 • P3（不可数性）：交互式机器的交互历史是不可数的。 • 实数在19世纪被看作为连续的数学和物理空间的无限分解性的模型。 • 连续的物理空间的有限区间的无限分解性和离散的物理的时间的无限的可扩展性，引起了相对于实数和实时的双重不可数的现实的抽象。 • 所有无限位的流的集合与实数之间和与交互式机器的输入流之间均能建立一对一的（one-to-one）对应。 • 交互式的模型引出了实数和现实世界之间的偶然发现的和出乎意料的联系。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

40. 论题（直观计算）： • 当可计算的概念包括了交互而被延宽后，相对于图灵机的形式的可计算性（丘奇-图灵论题）的直观概念被突破了。 • 虽然丘奇论题在窄的意义下（图灵机表达算法的行为）是有效的，但是在更宽的意义下（算法精确地刻画可计算性）是不正确的。 • 论题（直观计算）： 算法（图灵机）不能刻画计算的直观概念，因为它们不能表达交互式的计算，而直观的计算应包括交互在内。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

41. 交互式机器模型的概念仍然是有质疑的 • 荷兰的计算理论专家范•里温（Van Leeuwen）认为： • 既使古典的图灵的范型也许不再能充分地适合刻画现在的计算的全部特点。 • 我们的交互式模型的概念仍然是有质疑的，因为我们没有提出一个理论上的构架，能比的上图灵机的理论。 • 不过，计算的完整的模型经常是在没有理论基础或数学模型的情况下被开发的。甚至图灵也曾经在没有形式化的基础上提出过c-机器和u-机器。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

42. 四，Petri 网的功能与图灵机等价吗？ • 交互式 Petri 网—开放网 郝克刚：“开放网—交互式并行系统的模型”《西北大学学报》（自然科学版）1997. 5. • 交互式 图灵机 • Kegang Hao：Two Formal Models of Interactive Machine ,Proceedings of The Third Asian Workshop on Foundations of Software, Xi'an, China, November, 2004； 西北大学计算机科学系软件工程研究所

43. 开放网—交互式并行系统的模型 第一节 引言。 第二节 开放网的静态结构。 第三节 开放网的动态行为，开放网的进程。 第四节 开放网及其进程的合成与分解。 第五节 开放网的外部特性，即开放网的黑盒论。 第六节 开放网的层次结构。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

44. “开放网”文章的基本内容 Petri Nets 开放网 封闭系统 开放系统 初值--解答式 交互式 非层次型 层次型 白盒理论 黑盒理论 字-- 字符串(全序) 偏序 西北大学计算机科学系软件工程研究所

45. t T PF PE P T · · t E 一个Petri网的例子 西北大学计算机科学系软件工程研究所

46. t T 0 01 t T PF PE P T · · PF 02 0 PF t E t E 一个开放网的例子（哲学家就餐） 西北大学计算机科学系软件工程研究所

47. 一个开放网的例子（哲学家就餐） t T 0 01 t T PF · PF 02 0 PF t E t E 西北大学计算机科学系软件工程研究所

48. 五个哲学家就餐 t T PE P T · · PF t E 西北大学计算机科学系软件工程研究所

49. Open Nets 在嵌入式模型中的应用 西北大学计算机科学系软件工程研究所

50. 理想的交互式、并行、复杂系统的数学模型。 • 引入了开放网概念，形式地定义了它的静态结构和动态行为， • 讨论了开放网及其进程的合成与分解、开放网的层次结构等问题， • 研究了开放网的外部特性—黑盒理论，引入了网功能的概念。 • 开放网将作为理想的交互式、并行、复杂系统的数学模型。 西北大学计算机科学系软件工程研究所