Введение в Мат. анализ

1. Введение в Мат. анализ

2. Лекция №1 • Переменная величина • Функция • Предел функции • Основные теоремы о пределах • Вычисление пределов

3. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. В противном случае она называется постоянной. Переменные величины:x, y, z, u Постоянные величины:a, b,c

4. Множество всех числовых значений переменной величины называется Областью изменений этой переменной. Например: областью изменений переменной x=cosα, для всевозможных αесть отрезок [-1;1], т.е. -1≤ x ≤1

5. Окрестностью данной точки Х0называется произвольный интервал (a;b), содержащий эту точку внутри себя. a x0 b X εε x0-εx0x0+εX Часто рассматривается ε- окрестность т. Х0, когда т.Х0 является Центром окрестности. В этом случае число ε>0 называется радиусом ε-окрестности, (x0-ε;x0+ε)

6. В случае, когда известны и область изменения переменной Х, и порядок, в кото- ром она принимает свои числовые значения, будем иметь дело с упорядоченной перемен- ной величиной. Например: • . Переменная величина есть числовая последовательность Хn= 1/n , nЄN, или 1; 1/2; 1/3; 1/4; … 2. Арифметическая прогрессия 3. Геометрическая прогрессия

7. Функция Переменная у называется функциейпеременной х, если каждому значению х из множества Х ставится в соответствие по некоторому правилу одно определенное значение у из множества значений Y. x - независимая переменная, аргумент у – функция (зависимая переменная) X, D(y) - область определения функции Y, E(y) - множество значений функции Обозначения для функции: y; y(x); f(x); F(x);φ(x)

8. У b 0 a x Предел Функции Числоb называется пределом функции y=f(x) при x, стремящимся к а, если для любого ε>0 существует число δ(ε)>0 такое, что для всех х≠a, удовлетворяю- щих неравенству: |x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x)-b|< ε. f(x)→b при х→а lim f(x)=b x→a

9. Геометрический смысл Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Хтакою, что для всех х из этой окрестности, кроме, быть может х=а, соответствующие значения у лежат в ε- окрестности точки b. У b+ε b b-ε a-δа а+δ 0 X

10. Функция f(x) называется бесконечномалой, при х→а (х→∞), если: limf(x)=0 х→а (х→∞) Например: limsinx=0, lim(1/x)=0, функции sinx (х→0) и 1/х (х→∞) есть бесконечно малые. х→∞ х→0

11. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. • Функция, обратная по величине бесконечно большой, есть бесконечно малая. • Функция f(x), обратная по величине бесконечно малой, отличная от 0, есть бесконечно большая, т.е. limf(x)=∞ х→а

12. lim(f+g)= limf + limg • lim(fg)= limf limg • lim(f/g)= limf / limg , limg(x)≠0 • limCf(x)= Climf(x) , C= const. x→а x→а x→а x→а x→а x→а x→а x→а x→а x→а x→а x→а Основные теоремы о пределах. Если существует limf(x) и limg(x), то: x→а x→а .

13. Вычисление пределов 1.Некоторые наиболее употребительные пределы функций. lim(sinx/x)=1 -первый замечательный предел lim(1/x)= ∞ lim(1/x)= 0 lim q = 0 ,|q|<1, n Є N lim √x = √a , a>0 limC=C , C=const x→0 x→0 n→∞ n x→∞ x→а x→а

14. 2. Пределы непрерывных функций. Функция f(x) называется непрерывной в т.х0 , если lim f(x) = f(x0) Отсюда следует правило для вычисления пределов непрерывных функций. К непрерывным в их области определе- ния относятся все известные элементарные функции, а также многочлены. x→x0 • Например: • lim cosх= cos0 = 1 • lim arcsinX= arcsin1 = /2 • lim e = e = 1 • lim (x - 2x - 1) = 8-8-1= -1 x→0 x→1 x 0 x→0 3 2 x→2

15. 3. Пределы сложных функций. Пусть у=F(u(x)), т.е. у – сложная функция. Если F(u) и u(x) – известные элементарные функции, то: lim F(u(x)) = F(limu(x)) x→a x→a

16. Примеры пределов сложных функций 1. (x→∞) (x→∞) (x→∞) (x→∞) 2. x→0 x→0 x→0 x→0