Предел ФНП

1. Предел ФНП Пусть функция z = f(M) определена на множестве D , M(x1, x2,…,xn)  Rn,M0(x10, x20,…,xn0). • Определение. (По Коши) Число А называют пределом функцииz = f(M) в точке М0 (при MM0), если такое, чтоMD,удовлетворяющей неравенству0<(M,M0)<, выполняется неравенство |f(M) - A|<. • Краткая символическая запись этого определения Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

2. Непрерывность ФНП • Пусть функция u = f(M) определена на множестве D и в его предельной точке М0. • Определение 1. Функция u = f(M) называетсянепрерывной в точкеМ0,если • 1) f(M) определена в точке М0 и некоторой ее окрестности; • 2) существует ; • 3). Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

3. Непрерывность ФНП • Определение. Предельные точки множества D, в которых нарушается определение непрерывности функции, называютсяточками разрыва функции. • Определение. Частным приращением функцииu = f(M)вточкеМ0по аргументуxkназывается величина • Определение. Функцияu = f(M)называется непрерывной в точкеМ0по переменнойxk,если . Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

4. Непрерывность ФНП • Теорема.Если функцияu = f(x1, x2, …, xn),определена в окрестности точкиM0(x10, x20,…,xn0) и непрерывна в ней по совокупности переменных, то она непрерывна в этой точке и по каждой переменной. • Для непрерывных ФНП, имеют место теоремы, аналогичные основным теоремам о непрерывных функциях для случая одной переменной. Перечислим их. • Теорема. (Об арифметических операциях над непрерывными функциями). • Теорема. (О композиции непрерывных функций).  • Теорема.Всякая элементарная функция многих переменных непрерывна на множестве своего определения. Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

5. Частные производные • Определение. Величина называетсячастной производной от функцииu=f(x1,x2,…,xn) по i-ой переменной и обозначаетсясимволом или символом . • Замечание.При вычислении частной производной по какой-то переменной меняется только эта переменная, и все остальные переменные выступают как константы. Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

6. Непрерывность ФНП Пустьu = f(M), M(x1, x2,…,xn) , M0(x10, x20,…,xn0) и (x1 – x1 0) = x1 , (x2 – x2 0) = x2 , … (xn – xn 0) = xn . Величина u = f(M) – f(M0)или называется полным приращениемфункции f(x1, x2, …,xn)  в точке M0. • Определение 2. Функцияu = f(M) называетсянепрерывной в точкеМ0, если Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

7. Дифференцируемость ФНП • Определение. Функцияu = f(x1, x2, …, xn)  называется дифференцируемой в точкеM0(x10, x20,…,xn0) , если её полное приращение в этой точке имеет вид , или где Аi, i=1,2,…,n - числа, о() – бесконечно малая величина высшего порядка малости, чем . Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

8. Дифференциал ФНП • Определение. Линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции называется дифференциаломфункции u= f(M) и обозначается символом d f(M). • С геометрической точки • зрения дифференциал для • z = f (x, y) представляет • приращениеаппликаты • касательнойплоскости. Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

9. Теорема 1. Если функция u = f(x1, x2, …, xn) дифференцируема в точке M0, то она непрерывна в этой точке. • Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если функция дифференцируема в точке M0, то в этой точке у нее существуют все частные производные и , , i=1,…n. • Теорема 3.  (Достаточное условие дифференцируемости) Если функция u = f(x1, x2, …, xn)имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точкиM0, причём эти производные непрерывны в точке M0, то функцияu = f(x1, x2, …, xn)дифференцируема в точке M0. • Следствие. Если функцияz = f (x, y)имеет непрерывные частные производные в точкеM0, то имеет полный дифференциал в этой точке ив некоторой окрестности точкиM0 выполняется равенство Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

10. Геометрический смысл частных производных Пустьz = f(x, y), (x, y)D.По определению частной производной имеем: т.е.есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке(x0, y0, z0), гдеz0 = f(x0, y0). Аналогично, естьтангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x0, y0, z0), гдеz0 = f(x0, y0),. Физический смысл частной производной состоит в том, что она определяет скорость изменения функции в точке M0 в направлении оси OXk. Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010

11. Определение.Касательной плоскостью Т к поверхности S в точке M0называется плоскость, содержащая касательные ко всевозможным кривым, принадлежащим поверхностиS и проходящим через точкуM0 . • Определение. Нормальной прямой N к поверхности S в точкеM0называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точкеM0. Бер Л.М. Функция нескольких переменных ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 96 от 19.03.2010