鮫島俊之蓮見真彦

物理学基礎及び演習 電気電子工学科　１年次E2クラス鮫島俊之蓮見真彦

members 鮫島俊之（さめしまとしゆき）名古屋大学・静岡大学・工学博士・ソニー・Max Plank Institute・東京農工大学・教授講義担当蓮見真彦（はすみまさひこ）東京大学・理学博士・理化学研究所・東京農工大学・学習支援室長演習担当

Introduction １．教科書　タイトル：新・基礎力学 (ライブラリ新・基礎物理学) 　　　　　　　　出版社：サイエンス社 ISBN：978-4781910970 ２．講義ノートはホームページからダウンロード　１）http://www.tuat.ac.jp/~sameken/ 　２）講義ノートのメニューバーをクリック　３）2013年物理学及び演習 (1年次後期) のコーナーの物理 (ppt)をクリック

Introduction ３．演習と宿題は学習支援室蓮見室長が担当する。学習支援室ホームページからダウンロード　１） http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/ 　２）演習問題　及び　宿題　をクリック

Introduction ４．必修科目５．成績評価：　絶対評価 S：100〜90，A：89〜80，B：79〜70，C：69〜60， D：59〜0 Ｓ〜Ｃは単位認定される。E1クラスと同一評価、演習30点宿題20点中間試験＋期末試験　50点

Introduction ６．物理授業用ノートを用意すること７．講義・演習・宿題の流れ講義：毎回所定のテーマの解説をする。演習：前回答案返却→前回問題解説→ 　　　　今回問題配布・実施→今回答案回収宿題：講義前に前回答案回収→ 　　　　演習後今回問題配布

平成24年度電気電子工学科E2　物理学基礎・物理学基礎演習　期末テスト問題抜粋平成24年度電気電子工学科E2　物理学基礎・物理学基礎演習　期末テスト問題抜粋 • 問2 　物理得意のUさんがまたしても力F=(-2x, -8y, 0) [N]を持ちだした。今度は質量m [kg] 長さが2 [m]の剛体棒が図のように棒の一端が原点ＯにありＸ軸上に横たえてある。Uさんはクリスマス時と同じように、時刻0 [s]で重心初速度v=(0,1,0) [m/s]で棒を打ち出すそうである。以下の問題に答えよ。 • 原点Ｏにある棒の端は原点を動かない • が自由に回転できるようにしてある。このと • き棒は原点を支点として反時計回りに回転 • 的運動をするだろう。まず、Uさんの力Fが • 保存力かどうか確かめたい。回答欄①に • 保存力であるか否かに丸をつけよ。そして • 回答欄②に、①の答えの証明を数式を用い • て表せ。棒が重心初速度v=(0,1,0)で打ち出された瞬間の棒の回転運動の慣性モーメントIを回答欄③にmと数値を用いて表せ。

平成24年度電気電子工学科E2　物理学基礎・物理学基礎演習　期末テスト問題抜粋平成24年度電気電子工学科E2　物理学基礎・物理学基礎演習　期末テスト問題抜粋またそのときの角運動量Lを回答欄④にmと数値を用いて成分で表せ。時刻t [s]において重心の位置がrG=(x,y,0)にあるときの棒が受ける力のモーメントNを回答欄⑤に成分で表せ。棒が回転運動を続けるかどうかはmの大きさにかかっている。例にならって回答欄⑥にmの条件を表せ（例はもちろん間違いである。表現の仕方の例である）。⑥を満たした棒の回転運動はどんなだろうか、回答欄⑦にあなたの考えを200字以内の文章で表せ。短い数式を一つ使ってよい。 ①ノムラ　　　　　　　　　　　　　　　　　④　 ②ノムラ　　　　 ⑤ ③

1. 運動の表し方（１） １．１　位置と座標系１．２　二次元極座標と孤度法１．３　位置ベクトルと変位ベクトル１．４　ベクトルの基本的性質

１．１　位置と座標系 質量mの質点Ｐの位置ｒは三次元直交座標系（デカルト座標系）を用いて表すことができる。もし位置に時間変化がある場合、時間の関数を用いて、と書く。二次元表現で表現できる場合もある。一次元表現もある Z P m 0 Y X

１．１　位置と座標系 問：農工大小金井キャンパスは緯度35.699o,経度139.158oにある。農工大小金井キャンパスの地球中心からの位置を直交座標表示してみよう。地球は真球で半径を6378.137kmとする。フジイ

１．２　二次元極座標と孤度法 PからＸ－Ｙ平面に下ろした垂線の足をＱとする。 OXとOQが挟む角をθ、OZとOPが挟む角をφ、 OPの長さをrとすると、であるから、となり、三次元直交座標の成分は　を用いて表される。 Z P m φ O Y θ Q X

１．２　二次元極座標と孤度法 　　　　　　　　を極座標という。 2次元表現もある。 φが常に90°なら物体はＸ－Ｙ平面内にあり、　　　　　　　である。農工大小金井キャンパスは緯度35.699o,経度139.158oにあるから、極座標なら農工大小金井キャンパスの地球中心からの位置は、となる。

１．２　二次元極座標と孤度法 Ｘ－Ｙ平面内、半径aの円の位置の極座標表現は、　　　　　　　と書くことができる。

１．３　位置ベクトルと変位ベクトル 位置Ｐは基準点からの成分表示で表される。数学のベクトルの性質を持っている。大きさがあり、向きがある。位置Ｐ点が少し動いてＰ’になったとしよう。足し算可能（もちろん引き算も可能）

１．３　位置ベクトルと変位ベクトル のようなものを変位ベクトルと呼ぶ。大きさが小さければ、と書いたりする。問　Ｘ－Ｙ平面内、半径rの円の位置がθ＝0からθまで動く時に描く軌跡の円弧の長さを求めよ。 θ＝0からΔθまで少し動いたとき、ベクトルは

１．３　位置ベクトルと変位ベクトル 変位ベクトルは大きさは、三角関数には以下の性質がある。

１．３　位置ベクトルと変位ベクトル Δθは小さいので、2次までの近似とすると、である。よって円弧の長さは、円周の長さは、

１．４　ベクトルの基本的性質 １．ベクトルは成分表示される量２．ベクトルは加算的である。３．掛け算は２種類ある１）内積(inner product, scalar product) 　ベクトル・ベクトル＝スカラー

１．４　ベクトルの基本的性質 ２）外積(outer product, vector product) 　　　　　ベクトルｘベクトル＝ベクトル外積のXYZ成分はYZ→ZX→XYの順番に並べて行けば簡単に求められる。

１．４　ベクトルの基本的性質 位置ベクトルは：位置の時間微分は速度である。速度の時間微分は加速度である。 Z P m 0 Y X

１．４　ベクトルの基本的性質 位置ベクトル速度ベクトル加速度ベクトル

数学の勉強：指数関数 aは実数定義：指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。　　　　　　　　　　　　である。Multiplication rule 　　　　　　　　　　　　である。Powerrule 　　　　　　　　　　　　である。ordinary differential equation a, b はどんな数でも成り立つ。 Euler's formula

数学の勉強：指数関数 aは実数定義：と置く上下を見比べれば

数学の勉強：指数関数 である。　　　定義を使って、

２．運動の表し方（２） ２．１　速さ２．２　速度２．３　加速度２．４　等加速度運動２．５　等速円運動

２．速さ、速度、加速度 位置ベクトルは：位置の時間微分は速度である。速度の時間微分は加速度である。 Z P m 0 Y X

２．速さ、速度、加速度 位置ベクトル速度ベクトル加速度ベクトル

２．速さ、速度、加速度 位置速さ加速度の大きさ

2.4. 等加速度運動 位置ベクトル　の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。物体の運動を説明せよ。速度ベクトル加速度ベクトル・時刻ゼロでの速度ベクトル、加速度ベクトルの向きを求めよ。・十分時間が経ったときの位置、速度、加速度ベクトルの向きを求めよ。シゲノ

2.5. 等速円運動 問　半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの物体の座標ベクトルの成分を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と書くとき、物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。物体の座標ベクトルの成分をと複素指数表示するとき、物体の線速度を求めよ。物体の加速度を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.5. 等速円運動

2.5. 等速円運動 周期Ｔ

３．　力と運動 ３．１　ニュートンの第一法則３．２　ニュートンの第二法則３．３　ニュートンの第三法則３．４　いろいろな力

３．　力と運動 問：　+x方向に磁束密度Bで磁場が働いている。また、荷電粒子が+y方向に速度vで運動している。 (1)磁束密度B,粒子の速度vをベクトル表示せよ。 (2)磁束密度　の中を速度　で運動する荷電粒子には　　　　　　　　　　　　　　　　（１）という力が働く。qは帯電粒子の電荷量である。この式（１）を用いて、荷電子が受ける力の大きさと、その方向を求めよ。ナカムラ

３．　力と運動 問 (1) (2) ∴粒子は-Z方向にvBの大きさの力を受ける。このように、外積は３次元ベクトルを考えた時に初めてでてくる不思議な掛け算である。

３．　運動の３法則 １．慣性の法則２．運動の法則３．作用反作用の法則（運動量保存則） Law of action and reaction (Principle of Momentum Conservation) 問．上記3法則について皆さんの体験を述べよ。ノムラ the principle of inertia Equation of motion

３．　運動の３法則 ちから　　　がある。これはベクトルである。ベクトルだからこう考えることができる。　　　　　　　　のとき　　　　　　　　　である。力のつり合い状態という。このとき運動の形態は維持される。

３．　運動の３法則 N 床に質量mの箱が静止している。箱には重力Fg=mgが働いている。箱が動かないとき、箱が床に置かれた事により発生する垂直抗力Ｎと重力が釣り合っていると考える。静止形態は維持される。身の回りに沢山の類似例がある。実は目に見えないが大気もこんな状態である。気流を考えなければ空気が地表にのっかっており、重力と垂直抗力が釣り合っている。 Fg

３．　運動の３法則 問大気1気圧はパスカル表示で 101325 Pa(=N/m2)である。重力加速度gは9.806 m/s2である。地表に乗っかっている大気の単位１ｍ2あたりの質量を求めよ。フジイ大気地表

３．　運動の３法則 床に静止している質量mの箱を図のように水平に押す。箱が動かないとき、力Ｆに抗して摩擦力Ｒが働き二つの力は釣り合っている。摩擦力は箱が床に置かれた事により発生する垂直抗力Ｎを使って、と表す。

３．　運動の３法則 N 疑問：垂直抗力は上向きだった。しかしＲは横向き（力の向きの反対向き）だった。上向きの力からなぜ横向きの力が生じるのだろう？　　　　　は明らかに大きさに限界がある。よって非常に大きな力を加えれば、　　　　　　　　　　　　　　となって物体は動き始める。 m m k Fg

３．　運動の３法則 力は運動量の時間微分　　　　　　　と表す。だから力を時間積分すると運動量の変化になる。これを力積という。

３．　運動の３法則 v v 問　同じ質量ｍの物体が速さvで真正面衝突する。衝突前の全運動量はである。衝突後も運動量は不変である。衝突後の運動の形態はどうなるか？問　同じ質量ｍの物体二つがばね常数kで繋がっている。外力を受けず重心が静止した状態で振動するとき、全運動量はいくらか。角振動数ωはいくらになるだろうか。シゲノ m m m m k

３．　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ問：質量Mの太陽の周りを回転運動する、質量mの地球を考えよう。地球と太陽の間に働く万有引力以外に外力は無く、重心が静止しているとき、全運動量はいくらか。運動量が保存する作用反作用のルールにてらして地球と太陽の運動を考えよ。ナカムラ M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg r=1.5x1011m ｒ O M

いろいろな力 万有引力弾性力　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘは変位粘性抵抗力力のモーメント　　　　　　　　　　　角運動量こりおり力 mr2ω

３．　運動の３法則 問　質量Mとｍの物体二つがばね常数kで繋がっている。外力を受けず振動するとき、角振動数ωはいくらになるだろうか。　　　　　　　　　になる。ここで、である。換算質量という。Reduced mass M>>mの場合は？　　　　　　　　M=1.5mの場合は？ノムラ M m m m 1.5m k k k 壁

４．いろいろな運動（１） ４．１　放物運動４．２　空気抵抗４．３　束縛運動４．４　単振動

４．いろいろな運動（１） 力は運動量変化をもたらすと学んだ。こんな関係があった。もし一定の力が作用したとき、t秒後の経過を考えると運動量の変化は、になる。これは時間経過がごく短時間の場合は、運動量の変化は僅かであることを示している。

４．いろいろな運動（１） もし予めp=(px,0,0)であり、F=(0,0,Fz)なら、 t秒後には p=(px,0, Fzt)であり、 Δp=(0,0, Fzt)である。即ち、　　　　　　　　　までは力による運動は初速度pxが主役である。そして、　　　　　　のとき、加速度による運動が支配的になる。

鮫島 俊之 蓮見 真彦