1 / 39

線形写像

線形写像. 　線形写像. Ｕ，Ｖ：Ｒ上のベクトル空間. Ｔ：ＵからＶへの写像. （１）Ｔ（ ｕ ＋ ｖ）＝ Ｔ（ ｕ ）＋Ｔ（ ｖ ）　　（ ｕ，ｖ ∈ Ｕ），. （２）Ｔ（ｃ ｕ ）＝ｃＴ（ ｕ ）　　（ ｕ ∈ Ｕ， ｃ ∈ Ｒ）. Ｔ：線形写像. Ｔ（ ０ U ）＝Ｔ（０・ ０ U ）＝０・Ｔ（ ０ U ）＝ ０ V. Ｕの零ベクトルをＶの零ベクトルにうつす. Ｕ. Ｖ. u. T( u ). 写像Ｔ. v. T( v ). u + v. T( u + v ). Ｒ ｎ から Ｒ ｍ への写像 T A.

taniel
Download Presentation

線形写像

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 線形写像 　線形写像 Ｕ，Ｖ：Ｒ上のベクトル空間 Ｔ：ＵからＶへの写像 （１）Ｔ（ｕ＋ｖ）＝Ｔ（ｕ）＋Ｔ（ｖ）　　（ｕ，ｖ∈Ｕ）， （２）Ｔ（ｃｕ）＝ｃＴ（ｕ）　　（ｕ∈Ｕ， ｃ∈Ｒ） Ｔ：線形写像 Ｔ（０U）＝Ｔ（０・０U）＝０・Ｔ（０U）＝０V Ｕの零ベクトルをＶの零ベクトルにうつす

  2. Ｕ Ｖ u T(u) 写像Ｔ v T(v ) u + v T(u + v ) ＲｎからＲｍへの写像TA TA(x)=Ax (x∈Ｒｎ)　　　　Ａ：m×n行列 TA(x＋ｙ)=A(x＋ｙ)= A(x)＋A(ｙ)= TA(x)＋TA(ｙ) (x，ｙ∈Ｒｎ) TA(cx)=A(cx)= cA(x)= cTA(x) (x∈Ｒｎ，c ∈Ｒ)

  3. 　　線形写像の像と核 Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像 Ｉm（Ｔ）：Ｔの像　　（Ｔ（Ｕ）とも書く） Ｉm（Ｔ）＝｛Ｔ（ｕ）｜ｕ∈Ｕ｝ Ｋer（Ｔ）：Ｔの核　 Ｋer（Ｔ）＝｛ｕ∈Ｕ｜Ｔ（ｕ）＝０v ｝ 定理５.１.１ Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像 （１）Ｔの像 Ｉm（Ｔ）はＶの部分空間である。 （２）Ｔの核Ｋer（Ｔ）はＵの部分空間である。

  4. Ｕ Ｖ Ｉm（Ｔ） 写像Ｔ Ｕ Ｖ 写像Ｔ Ker（Ｔ） 0

  5. 　線形写像の階数と退化次数 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｒａｎｋ（Ｔ）：Ｔの階数 ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｉm（Ｔ）） ｎｕｌｌ（Ｔ）：Ｔの退化次数　 ｎｕｌｌ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｋer（Ｔ）） 定理５.１.２ Ｕ，Ｖ：ベクトル空間 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｎｕｌｌ（Ｔ）＋ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｕ）．

  6. ＲｎからＲｍへの写像TA TA(x)=Ax (x∈Ｒｎ)　　　　Ａ：m×n行列 Ｋer（TA） ＝｛x ∈Ｒｎ｜ Ax ＝０｝ 解空間 A＝[ ａ1 ａ2・・・ａn] Ｉm（ TA ）＝｛ Ax｜ x ∈Ｒｎ｝ ＝｛ x1ａ1＋x2ａ2＋・・・＋xnａn｜x1, ・・・,xn∈Ｒ｝ 列ベクトルで生成されるＲｍの部分空間

  7. 線形写像の表現行列 　表現行列 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｕの基 ｛ｖ1，・・・，ｖm｝：Ｖの基 （Ｔ（ｕ1），・・・，Ｔ（ｕn））＝（ｖ1，・・・，ｖm）Ａ （Ａ：ｍ×ｎ行列） 行列Ａ：Ｕの基｛ｕ1，・・・，ｕn｝，Ｖの基｛ｖ1，・・・，ｖm｝　　　　 　　　　　に関するＴの表現行列

  8. Ｕ Ｖ v1 u1 T(u1) ui 写像Ｔ vi T(ui) vm un T(un) （Ｔ（ u1），・・・，Ｔ（un））＝（ v1，・・・， vm）Ａ

  9. 例） Ｔ：Ｕ＝Ｒ２からＶ＝Ｒ３への線形写像 • 1 • 0 • 3 Ｔ（ｘ）＝　　　　　　ｘ 標準基 100 010 001 10 01 ｅ１＝　　　，ｅ２＝ ｅ’１＝　　 , ｅ’２＝ , ｅ’3＝ • 1 • 0 • 3 (Ｔ(ｅ1)，Ｔ(ｅ2))＝(ｅ’1，ｅ’2，ｅ’3) • 1 • 0 • 3 標準基に関するＴの表現行列　　Ａ＝　　

  10. 　表現行列と基の変換行列 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝， ｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝ ：Ｕの基 ｛ｖ1，・・・，ｖm｝， ｛ｖ’1，・・・，ｖ’m｝ ：Ｖの基 （ｕ’1，・・・，ｕ’n）＝（ｕ1，・・・，ｕn）Ｐ （ｖ’1，・・・，ｖ’m）＝（ｖ1，・・・，ｖm）Ｑ （Ｐ，Ｑ：正則行列） 行列Ｐ，Ｑ：基の変換行列

  11. Ｕ Ｖ e’1 e1 T(e1) ei 写像Ｔ e’i T(ei) e’m en 表現行列Ａ T(en) 変換行列Ｐ 変換行列Ｑ Ｕ Ｖ v1 u1 T(u1) ui 写像Ｔ vi T(ui) vm un T(un) 表現行列Ｂ

  12. 定理５.２.１ Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像 　　　　　　　　　Ｂ＝Ｑ－１ＡＰ． Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn},{ｖ1，・・・，ｖm}に関する表現行列 Ｂ：{ｕ’1，・・・，ｕ’n},{ｖ’1，・・・，ｖ’m}に関する表現行列 線形変換：ベクトル空間から自分自身への線形写像 定理５.２.２ 　　　　　　　　　Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ． ｛ｕ1，・・・，ｕn｝， ｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝ ：Ｕの基 （ｕ’1，・・・，ｕ’n）＝（ｕ1，・・・，ｕn）Ｐ　（Ｐ：変換行列） Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn}に関する表現行列 Ｂ：{ｕ’1，・・・，ｕ’n}に関する表現行列

  13. Ｐ＝［ｐij］nxn （Ｔ（ｕ’1），・・・，Ｔ（ｕ’n）） ＝（Ｔ（ｐ11ｕ1＋・・・＋ｐn1ｕn），・・・，Ｔ（ｐ1nｕ1＋・・・＋ｐnnｕn）） ＝(ｐ11Ｔ(ｕ1)＋・・・＋ｐn1Ｔ(ｕn)，・・・，ｐ1nＴ(ｕ1)＋・・・＋ｐnnＴ(ｕn）） ＝(Ｔ(ｕ1),・・・,Ｔ(ｕn))Ｐ ＝(ｖ1，・・・，ｖm)ＡＰ (Ｔ(ｕ’1),・・・,Ｔ(ｕ’n))Ｐ＝ (ｖ’1,・・・,ｖ’m)Ｂ＝(ｖ1,・・・,ｖm)ＱＢ (ｖ1,・・・,ｖm)ＡＰ＝(ｖ1,・・・,ｖm)ＱＢ Ｂ＝Ｑ－１ＡＰ

  14. 3 0 0 1 Ｔ（ｘ）＝　　　　　　ｘ　　（ｘ∈R２） T(e2)=e2 e2 Ｔ e1 T(e1)=3e1

  15. 固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトル Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 Ｔ（ｕ）＝λｕ　　　（ｕ∈Ｖ，ｕ≠０， λ∈Ｒ） λ：Ｔの固有値 ｕ：（固有値λに属する）Ｔの固有ベクトル 例） 7 -6 3 -2 Ｔ（ｘ）＝　　　　　　ｘ　　（ｘ∈R２） 21 21 8 4 ｕ＝　　　とすると Ｔ（ｕ）＝　　　　＝ 4　 　＝４ｕ　

  16. 　固有空間 Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 Ｗ（λ；Ｔ）＝｛ｕ∈Ｖ｜Ｔ（ｕ）＝λｕ｝　 　固有多項式 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜　　　　Ａ：正方行列 行列Ａの固有値：ｇA(ｔ)＝０　の根（複素根も含む） ＴA（ｘ）＝Ａｘ　　 　Ａｘ＝λｘ 　Ａｘ＝λＥｘ （λＥ－Ａ）ｘ＝０ ｘ（≠０）が存在する必要十分条件： λＥ－Ａが正則行列でない

  17. 定理５.３.１ λがＴAの固有値　　　　ｇA(λ)＝０ 一般に多項式 ｆ（ｔ）＝ａmｔm＋ａm-1ｔm-1＋・・・＋ａ1ｔ＋ａ0 と正方行列Ａに対して ｆ（Ａ）＝ａmＡm＋ａm-1Ａm-1＋・・・＋ａ1Ａ＋ａ0Ｅ と定義する。 定理５.３.２（ケーレー・ハミルトンの定理） ｇA(ｔ)が正方行列Ａの固有多項式ならば 　　　　　ｇA(Ａ)＝０

  18. 一般の場合の固有値と固有空間の計算 Ｔ：ｎ次元のベクトル空間Ｖの線形変換 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｖの１組の基 Ａ：Ｔの｛ｕ1，・・・，ｕn｝に関する表現行列 ｇT（ｔ）：Ｔの固有多項式（＝Ａの固有多項式） ｇT（ｔ）＝ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜ ｇB(ｔ)＝｜ｔＥ－Ｂ｜＝ ｜ｔＰ－１ＥＰ－Ｐ－１ＡＰ｜ 　　 ＝ ｜Ｐ－１（ｔＥ－Ａ）Ｐ｜＝ ｜ｔＥ－Ａ｜＝ｇA(ｔ) 定理５.３.3 Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 λがＴの固有値　　　　ｇT(λ)＝０

  19. 行列の対角化 　同値な行列 Ａ，Ｂ：ｎ次正方行列 Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ　となる正則行列Ｐが存在する Ａ，Ｂは同値である。 行列の対角化 Ａ：正方行列 Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ：対角行列 行列Ａの対角化：正則行列Ｐと対角行列Ｂを求める

  20. 定理５.４.１ Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 λ1, ・・・λr：Ｔの相異なる固有値 Σｄｉｍ（Ｗ（λi；Ｔ））≦ｄｉｍ（Ｖ） r i=1 定理５.４.２ Ａ：ｎ次実正方行列 λ1, ・・・λr：Ａの相異なる実固有値の全体 ＡがＲ上対角化される必要十分条件 Σｄｉｍ（Ｗ（λi；ＴA））＝ｎ． r i=1

  21. ｕｉ１,・・・ｕｉｎi：Ｗ（λi；ＴA）の基 Ｐ＝［ｕ１１・・ｕ１ｎ1・・・ｕｒ１・・ｕｒｎr］ Ｔ（ｕｉｋ）＝Ａｕｉｋ＝λｉｕｉｋ λ１ ｎ1 ・ ０ ・ λ１ ＡＰ＝ＰＢ，　　　Ｂ＝ ・ ・ λｒ ｎr ・ Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ ０ ・ λｒ

  22. 内積空間 　　内　積 ｕ，ｖ：Ｒ上のベクトル空間Ｖのベクトル ２つのベクトルｕ，ｖに対して実数（ｕ，ｖ）を対応させる対応（　，　）が次の４条件を満たす （１） （ｕ＋ｕ’，ｖ）＝ （ｕ，ｖ）＋ （ｕ’，ｖ） （２） （ｃｕ，ｖ）＝ ｃ（ｕ，ｖ） （３） （ｖ，ｕ）＝ （ｕ，ｖ） （４） ｕ≠０　ならば　 （ｕ，ｕ）＞０

  23. 例） ａ1 ａn ｂ1 ｂn ・ ・ ａ＝ ，ｂ＝ ａ，ｂ∈Ｖ（＝Ｒｎ） ・ ・ （ａ，ｂ）＝ｔａｂ＝ａ１ｂ１＋・・・＋ａｎｂｎ Ｒｎの標準的な内積 （１） （ａ＋ａ’，ｂ）＝ ｔ（ａ＋ａ’）ｂ＝ｔａｂ＋ｔａ’ｂ ＝ （ａ，ｂ）＋ （ａ’，ｂ） （２） （ｃａ，ｂ）＝ ｔ（ｃａ）ｂ＝ｃｔａｂ＝ｃ（ａ，ｂ） （３） （ａ，ｂ）＝ｔａｂ＝ｔ（ｔａｂ）＝ｔｂａ＝（ｂ，ａ） （４） ａ≠０　ならば　 （ａ，ａ）＝ｔａａ＞０

  24. 　ベクトルのノルム ∥ｕ∥＝　√（ｕ，ｕ） ｕ のノルム または 長さ 例） 3 -2 Ｖ＝Ｒｎ，　　ｕ＝ ∥ｕ∥＝　√32 + (-2)2 ＝ √ 13

  25. 定理６.１.１ 　内積空間Ｖのノルムについて次が成り立つ 　　　　　　　　　　　　　　　（ｕ，ｖ∈Ｖ，ｃ∈Ｒ） （１）∥ｃｕ∥＝ｃ∥ｕ∥ （２） ｜（ｕ，ｖ）｜≦ ∥ｕ∥ ・∥ｖ∥ 　　　　　（シュヴァルツの不等式） （３） ∥ｕ＋ｖ∥ ≦ ∥ｕ∥ ＋∥ｖ∥　　（三角不等式） ｎ ｎ ｎ （２）　（Σｕｉｖｉ）２≦ （Σｕｉ２） （Σｖｉ２） ｉ＝１ ｉ＝１ ｉ＝１

  26. 　ベクトルの直交 （ｕ，ｖ）＝０ 定理６.１.２ 　零ベクトルでないベクトル　ｕ１，・・・，ｕｒ　が互いに 直交すれば１次独立である。 ｃ１ｕ１＋・・・＋ｃｒｕｒ＝０　　とおく。 ｒ ０＝（ｕｉ，ｃ１ｕ１＋・・・＋ｃｒｕｒ）＝ Σ ｃｊ（ｕｉ，ｕｊ）＝ｃｉ（ｕｉ，ｕｉ） 　 ｊ＝１ （ｕｉ，ｕｉ） ≠０　だから　　ｃｉ＝０　　（１≦ｉ≦ｒ）

  27. 正規直交基と直交行列 　正規直交基 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｖの基 （ｕｉ，ｕｊ）＝δｉｊ　　　（１ ≦ｉ，ｊ≦ｎ） 定理６.２.１　（シュミットの直交化） ｛ｖ1，・・・，ｖn｝：Ｖの１組の基 となる、正規直交基｛ｕ1，・・・，ｕn｝　が存在する。 ＜ｕ1，・・・，ｕr＞R ＝＜ｖ1，・・・，ｖr＞R（１≦ｒ≦ｎ）

  28. ｕ１＝ｖ１／ ∥ｖ１ ∥∥ｕ１ ∥＝１ ｖ’２＝ｖ２－（ｖ２，ｕ１）ｕ１，　　　ｕ２＝ｖ’２／ ∥ｖ２ ∥ （ｕ１，ｕ２）＝０　，　　∥ｕ２ ∥＝１ ＜ｕ1，ｕ2＞R＝ ＜ｕ1，ｖ2＞R＝ ＜ｖ1，ｖ2＞R ｒ ｖ’ｒ＋１＝ｖｒ＋１－ Σ （ｖｒ＋１，ｕｉ）ｕｉ， ｉ＝１ ｕｒ＋１＝ｖ’ｒ＋１／ ∥ｖｒ＋１ ∥ （ｕｒ＋１，ｕｉ）＝０　 （ｖ’ｒ＋１，ｕｉ）＝０　（１≦ｉ≦ｒ）　だから　 ＜ｕ1，・・・，ｕr，ｕr+1＞R＝ ＜ｕ1，・・・，ｕr，ｖr+1＞R ＝　＜ｖ1，・・・，ｖr，ｖr+1＞R

  29. 110 131 2 -1 1 v１＝　　 , v２＝ , v3＝ 110 110 1 1 u１＝＝　　　 　　　　　　　　正規化 ||v１ || √ 2 110 131 -1 1 1 4 1 v’２＝v２－（v２，u１）u１ ＝ － ＝ 　　　 √ √ 2 2 直交化 -1 1 1 1 1 u ２＝v’２＝　　　 　　　　　　　　正規化 || v’２ || √ 3 1 -1 2 5 v’3＝v3－（v3，u１）u１ － （v3，u2）u2＝ 　　　 6 直交化

  30. 定理６.２.２ ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基 　ｕ＝ａ１ｕ1＋・・・ ＋ａnｕn，　ｖ＝ｂ１ｕ1＋・・・ ＋ｂnｕn 　と書くと　　　（ｕ，ｖ）＝ａ１ｂ１ ＋・・・ ＋ａnｂn ｎ ｎ 　　（ｕ，ｖ）＝ Σ Σａｉｂｊ （ｕｉ，ｖｊ）＝ａ１ｂ１ ＋・・・ ＋ａnｂn ｉ＝１ ｊ＝１ 　直交変換 （Ｔ（ｕ） ，Ｔ（ｖ））＝ （ｕ，ｖ）　　　 （ｕ，ｖ∈Ｖ） 定理６.２.３ ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基 Ｔは直交変換　 　 （Ｔ（ｕ1） ，・・・，Ｔ（ｕn）） 　　　　　　　　　　　　　　　　はＶの正規直交基

  31. 　直交行列 ｔＰＰ＝Ｅｎ　　　（Ｐ：ｎ次の実正方行列） 定理６.２.４ Ａ：ｎ次の実正方行列 　　ＴＡ（ｘ）＝Ａｘ　　　　（ＴＡ：Ｒｎ→Ｒｎ）　　と定義する。 Ａが直交行列　 　ＴＡ　が直交変換 定理６.２.５ Ａ：ｎ次の実正方行列　　　Ａ＝｛ａ１，・・・，ａｎ｝ Ａは直交行列　 　 ｛ａ１，・・・，ａｎ｝はＲｎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　の正規直交基

  32. 複素共役 複素数α＝ａ＋bi　（ｉ＝√－１） α＝ａ－bi　： αの複素共役 定理６.３.１ 　実対称行列の固有値は全て実数である。 行列の（上）三角化 Ａ：正方行列 Ｐ－１ＡＰ：上三角行列 行列Ａの（上）三角化：正則行列Ｐと上三角行列 　　　　　　　　　　　　　　Ｐ－１ＡＰを求める

  33. 定理６.３.２ ｎ次実正方行列Ａの固有値が全て実数ならばＡ は直交行列を用いて上三角化できる。 λ１ ＊ ・ Ｐ－１ＡＰ＝ ，　　ｄｅｔ（Ｐ）＝１ ・ ０ λｎ 定理６.３.３ Ａがｎ次実対称行列ならば、次の直交行列Ｐが存 在する。 λ１ ０ ・ Ｐ－１ＡＰ＝ ，　　ｄｅｔ（Ｐ）＝１ ・ ０ λｎ

  34. １ 2 -1 Ａ＝ ２ -2 2 -1 2 1 t-１ -2 1 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝(t-1)2(t+2)+8 -２ t+2 -2 1 -2 t-1 － {(t+2)+8(t-1)} ＝(t-1)2(t+2)-9t+14 ＝t3-12t+16 ＝(t-2)2(t+4) λ＝2,-4 （λＥ－Ａ）ｘ＝０ λ＝2のとき １ -2 1 １ -2 1 ｘ＝０ ｘ＝０ 簡約化 -２ 4 -2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0

  35. x 1 x 2 x 3 1. - - = 0 2 x 3 x x 2 -3 -1 x = 1 2 3 Ａ＝ 1 2 -3 + = 0 - x 2 x 3 x 1 2 3 Ｗ＝｛ x∈Ｒ3｜Ａx ＝０｝ (i) x ＝０ を代入。　Ａ０＝０だから　０ ∈Ｗ (ii) x，y∈Ｗ　とすると　 Ａ(x ＋ y) ＝Ａx ＋Ａy ＝０＋０ ＝０ だから　x＋y∈Ｗ　 (iii)x∈Ｗ，ｃ∈Ｒ　とすると　 Ａ(ｃx) ＝ｃ(Ａx)＝ｃ０＝０ だから　ｃx∈Ｗ

  36. c 1 c 2 c 3 2. 231 312 5 -3 4 312 231 5 -3 4 c１+c２ + c3 ＝ 0 321 132 -3 5 4 231 312 5 -3 4 ＝ 0 1 3 -3 0 -7 14 0 -5 10 解が一意に定まらない。 1 3 -3 0 1 -2 c１ ＝ c２ ＝c3 ＝ 0　以外の解を持つから１次従属 0 1 -2 1 0 3 0 1 -2 0 0 0

  37. x1 x2 x3 x4 x5 3. = c１ とする。 1 2 3 1 -5 = c2 x x 4 5 2 0 -1 3 4 3 1 4 -7 10 x1+3c2 = 0 x1 =ー3c2 1 2 3 1 -5 x2 = ー5c1 +7c2 x2+5c1ー7c2 = 0 0 -4 -7 1 14 x3 =3c1 ー2c2 x3ー3c1 +2c2 = 0 0 -5 -5 -10 25 = c１ x 1 2 3 1 -5 4 = c2 x 0 1 1 2 -5 5 0 -5 3 1 0 -3 7 -2 0 1 0 -4 -7 1 14 ２次元 1 0 1 -3 5 １組の基 0 1 1 2 -5 x ＝ c１+c２ 0 -5 3 1 0 -3 7 -2 0 1 0 0 -3 9 -6 1 0 0 0 3 0 1 0 5 -7 0 0 1 -3 2 ， c１ c2

  38. 4. = c１ とする。 = c2 x x x1 x2 x3 x4 2 4 1 2 1 0 x1+2c1ーc2 = 0 x1 =ー2c1+c2 0 0 1 1 = c１ 2 4 3 1 x 2 1 2 1 0 x3 =ーc2 x3+c2 = 0 0 0 1 1 = c2 x 0 0 1 1 4 -2 1 0 0 1 0 -1 1 1 2 0 -1 x ＝ c１+c２ 0 0 1 1 0 0 0 0 c１ c2 (ii) rank(T)=２ (i) null(T)=２ -2 1 0 0 1 0 -1 1 201 311 Ker(T)の１組の基 Im(T)の１組の基 ， ，

  39. 5. 13 -30 Ａ＝ 5 -12 t-１3 30 ｇT(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝ t2-t-6 ＝(t-3)(t+2) (i) -5t+12 (ii) λ＝3,-2 （λＥ－Ａ）ｘ＝０ (iii) 31 -10 30 λ＝3のとき ｘ＝０ Ｗ（3；Ｔ）＝｛c c∈Ｒ｝　 -5 15 21 -15 30 λ＝-2のとき ｘ＝０ Ｗ（-2；Ｔ）＝｛c c∈Ｒ｝　 -5 10 3 2 3 0 P＝ B＝P-1AP ＝ 1 1 0 -2

More Related