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函 数. 性质. 运用. 及. 2008 年 8 月. 提. 内. 容. 要. ①. 函数是高中数学中最基本、最重要的概念之一，它是. 学习高中乃至大学数学后继课程的基础，特别是学习微积. 分的基础．它象一条纽带，将高中数学的各个分支紧紧地. 连在了一 起．无疑，函数是众多知识交汇的核心，是历. 年高考必考的热点 . 考查的内容主要有函数与反函数、. 函数的性质、指数函数 与对数函数，以及由这些内容所. 反映出来的数学思想方法。 试题除了涉及单一的函数知. 识以外， 在解答题中， 常常表现为函数与方程、不等式.
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函 数 性质 运用 及 2008年8月
提 内 容 要 ① 函数是高中数学中最基本、最重要的概念之一，它是 学习高中乃至大学数学后继课程的基础，特别是学习微积 分的基础．它象一条纽带，将高中数学的各个分支紧紧地 连在了一 起．无疑，函数是众多知识交汇的核心，是历 年高考必考的热点. 考查的内容主要有函数与反函数、 函数的性质、指数函数 与对数函数，以及由这些内容所 反映出来的数学思想方法。 试题除了涉及单一的函数知 识以外， 在解答题中， 常常表现为函数与方程、不等式 的综合，函数与数列的综合,函数与立体几何、解析几何 的综合，函数与导数的综合．
提 内 容 要 ② 复习函数知识，应着重解决如下几类问题: (1)会求函数的解析式、定义域及简单函数的值域，掌握判断和证明函数单调性与奇偶性的方法，能准确地求具体函数的单调区间及函数的最大值和最小值； (2)能准确地求出一些简单函数的反函数，并能利用互为反函数的两个函数图象间的关系解决有关问题； (3)掌握指数函数和对数函数的概念、 图象和性质，能正确判断指数函数和对数函数的单调性，熟练地进行指数和对数运算及函数值大小的比较； (4)能运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
㈠ 函数的定义域： (一) 常从以下几方面考虑：①分式的分母不能为0；②偶次方根的被开方数大于等于0；③零指数的底数不能为0；④对数式的真数大于0，底数大于0且不等式1；⑤分数指数幂转化为根式求解。 知 识 回 顾 注意： ⒈已知 的定义域求 的定义域；或由 的定义域求 定义域,利用f 后面括号内整体的范围相同来求解。 ⒉分段函数的定义域是各段范围的并集。 ㈡函数的值域： 要注意掌握常见函数求值域的方法： ①二次函数的区间最值法； ②函数单调性法； ④反函数法； ③换元法 (注意量的范围)； ⑥数形结合法； ⑤复合函数由内向外求值域； ⑦判别式法。 求值域首先应求函数的定义域。 注意：
㈢ 函数的单调性： (一) ①熟记单调性的定义； 知 识 回 顾 ②能证明函数的单调性； ③能求出常见函数的单调区间； ④能运用函数的单调性求参数的范围。 注意： 1.求函数单调区间首先应求函数的定义域。 2.求函数单调区间可结合导数知识求解。 3.已知函数 f (x)的单调区间求其中含有的参数范围，可转化为其导数f 1(x)>0 (或f 1(x)<0)恒成立的问题。
㈣函数的奇偶性： (一) ①定义域在数轴上关于原点对称； 知 识 回 顾 ② 或 是定义域上的恒等式； ③奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象 关于轴成轴对称图形，反之亦真； ④奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性 相反； ⑤如果 f(x)是偶函数，则 ,反之亦成立； ⑥若奇函数在时有意义，则
㈤函数的对称性： 熟记以下结果: (一) ①函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称 知 识 回 顾 ②函数 y＝f(x)恒有 成立，则f(x)的图像关于 ③函数 y＝f(x)，则的图像关于 ㈥函数的周期性： 若对任意x函数y＝f(x)满足 则Ｔ是函数的一个周期。若Ｔ是函数的一个周期，则kT（k为不等于0的整数）也是函数的周期。 ㈦反函数： ①反函数存在的条件； ③反函数知识的运用. ②求函数反函数的方法；
(二) 复习函数知识时要运用数形结合的思想加深对函数的认识 和理解，掌握函数的图象特征和性质，树立运动变化、广 综 合 运 用 泛联系的观点，巧用函数思想，善于抽象建模，整合函数 性质，是复习好函数知识的关键，求解函数题目的途径。 函数 y＝f(x)满足 (其中x>0且≠0) 【例8】 ①求y＝f(x)的解析式； ②判断y＝f(x)在定义域上的单调性； ③对于y＝f(x)，当x∈[-1，1]在时，解不等式：
(二) 复习函数知识时要运用数形结合的思想加深对函数的认识 和理解，掌握函数的图象特征和性质，树立运动变化、广 综 合 运 用 泛联系的观点，巧用函数思想，善于抽象建模，整合函数 性质，是复习好函数知识的关键，求解函数题目的途径。 【例9】 定义在[－2 ,2]上的偶函数 y ＝f (x)在区间[0,2]上是减函数，且 f (1－m)< f (m)，求实数 m 的取值范围。
(二) 复习函数知识时要运用数形结合的思想加深对函数的认识 和理解，掌握函数的图象特征和性质，树立运动变化、广 综 合 运 用 泛联系的观点，巧用函数思想，善于抽象建模，整合函数 性质，是复习好函数知识的关键，求解函数题目的途径。 函数 y ＝f(x)定义域为R，对任意的实数 m、n，总有 【例10】 当x > 0时， 0< f(x) <1. f(x) ＝1；当x < 0时， f(x) >1. (1)证明： (2)证明：f(x)在定义域R上单调递减； (3) 确定a的取值范围 .
(二) 复习函数知识时要运用数形结合的思想加深对函数的认识 和理解，掌握函数的图象特征和性质，树立运动变化、广 综 合 运 用 泛联系的观点，巧用函数思想，善于抽象建模，整合函数 性质，是复习好函数知识的关键，求解函数题目的途径。 函数y ＝f(x)定义域为N+, f(x)存在反函数 【补例】 函数 y ＝f(x+1)与函数 的图像关于直线 y ＝x对称. (1)求函数y ＝f(x)的解析式； (2)若数列{an}满足:an+1= f (an)， Sn是数列{an}的前n项的和，试求an与Sn.
(二) 复习函数知识时要运用数形结合的思想加深对函数的认识 和理解，掌握函数的图象特征和性质，树立运动变化、广 综 合 运 用 泛联系的观点，巧用函数思想，善于抽象建模，整合函数 性质，是复习好函数知识的关键，求解函数题目的途径。 对于函数f(x)，若存在x0∈R, 使f(x0)＝x0成立, 则x0为f(x) 【例11】 的不动点，已知函数f(x)＝ax2+(b+1)x+(b-1)，其中a≠0. (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点； (2)对任意实数b，函数f(x)的恒有两个相异的不动点, 求实数a的取值范围； (3)在(2)的条件下, 函数y＝f (x)的图像上A、B两点的 横坐标是函数 f (x)的不动点, 且A、B两点关于直线 对称，求b 的最小值.
(二) 复习函数知识时要运用数形结合的思想加深对函数的认识 和理解，掌握函数的图象特征和性质，树立运动变化、广 综 合 运 用 泛联系的观点，巧用函数思想，善于抽象建模，整合函数 性质，是复习好函数知识的关键，求解函数题目的途径。 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时， f(x)是减函数。如果 【例12】 当x∈[ 0, 1]时， f(1－2x2 + 4a 2) + f(4ax－3) ≥0恒成立，试 实数a的取值范围.
(三) 定义在R+上的函数f(x)满足：①对任意的实数 x、y∈R+，都有 10、 ②当x > 1时， f(x) >0. 针 对 练 习 (1)求证： f(x)在R+上是增函数； (2)求证： (3)若 f(2)＝1，解不等式 f(－x) + f(3－x)≥2. 定义在[－1, 1]上的奇函数f(x), f(1)＝1, 对任意的a、b∈ [－1, 1], 11、 且 a+b≠0, 都有 (1)判断 f(x)在[－1, 1]上的单调性并证明； (2)解不等式 ：
(三) 已知函数 f(x)的定义域为D，若存在x0∈D, 使f(x0)＝x0成立，使，则称点 (x0 , x0)为 f(x) 的不动点。 (1)若函数 有两个关于原点对称的不动点，求实数a、b满足的条件； (2)在(1)的条件下，若a＝8，记 f(x)的两个不动点分别为A、B，P为函数 f(x)图象上的点，其纵坐标 yp>3，求点P到直线AB距离的最小值及取得最小值时点P的坐标。 12、 针 对 练 习
